专题1.1 三角形内角和定理 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形内角和定理 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 三角形内角和定理 考点梳理 1、定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 典例引领 考向01 三角形内角和定理的证明 【例1】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 考向02 与平行线有关的三角形内角和问题 【例2】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 考向03 与角平行线有关的三角形内角和问题 【例3】如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，，根据等式的性质变形得，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． 故选：C． 考向04 三角形内角和定理的应用 【例4】已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，两个三角形全等，对应角相等是解题的关键． 利用全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：， ，（全等三角形对应角相等）， 在中， （三角形内角和定理）， ， ． 故选：． 考向05 三角形折叠中的角度问题 【例5】如图，数学课上甲同学将三角形纸片沿折叠，使点落在边上处，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的折叠性质（轴对称性质）以及角的和差计算，解题的关键是理解折叠前后对应的角相等，即，从而发现平分的关系．根据题目描述，得出和关于直线对称．根据轴对称的性质，对应角相等，所以，即可求解． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上处， 根据折叠的性质得：， ， ， ， 故选：C． 对点提升 【对点1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【对点2】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【对点3】已知分别是的中线和高，是的角平分线． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，，延长中线到点，使得，连接．填空： ①由已知可证得，其理由是 （从中选一个填空），的长为 ； ②中线长的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，构成三角形的条件，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）①根据三角形中线的定义可得，则可利用证明得到；②根据三角形三边的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：①∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②在中，， ∴， ∴； 【对点4】满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由勾股定理逆定理，是直角三角形，． B．设，，，则，， ，是直角三角形，． C．，又， ，，是直角三角形． D．设，，，则，， ，不是直角三角形． 不是直角三角形的是D． 故选：D． 【对点5】如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 考点02 三角形的外角性质 考点梳理 1、外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） 2、外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角； 三角形外角和为360度. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 典例引领 考向01 三角形外角的定义及性质 【例1】如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，通过构造辅助线(延长线段)，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质，逐步推导角度关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵在中，是外角， ∴． ∵在中，是外角， ∴． 故选：C． 对点提升 【对点1】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质及平行线的性质．如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解， 【详解】解：如图， 由图可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 考点03 多边形内角和定理 考点梳理 1、n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 考点04 多边形的外角和 考点梳理 多边形的外角和为360°． 特别说明：1、在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； 2、正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； 3、多边形的外角和为360°的作用是： ①已知各相等外角度数求多边形边数； ②已知多边形边数求各相等外角的度数． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列四个条件中，能确定为直角三角形的是（    ） A．在中，，都是锐角 B．的三个内角的度数之比是 C．在中， D．的三个外角的度数之比是 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及直角三角形的判定条件,逐项分析各条件是否能确保三角形有一个角为即可得出结果，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、和都是锐角，但可能为锐角或钝角,不能确定直角三角形，故A不符合题意； B、设三个内角为，，，则，解得，故三个角的度数分别为，，，有一个直角，能确定直角三角形，故B符合题意； C、由，，可得，由，可得，即，不能确定直角三角形，故C不符合题意； D、设三个外角为，，，则，解得，故三个外角分别为，，，对应内角为，，，不能确定直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 2．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质得出，利用三角形内角和定理得出，根据翻折的性质得出相等的角，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得，， 即， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 4．在中，的对边分别是．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴ ∴不是直角三角形，则符合题意； B．∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，则不符合题意； C．∵， ∴ ∴是直角三角形，则不符合题意； D．∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，则不符合题意． 故选：A． 5．在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，，∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故不是直角三角形，符合题意； D、∵，且， ∴，即， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 6．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 7．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线性质得，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．如图所示，直线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， ， ． 故选：． 9．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的定义、三角形的内角和定理及其外角性质等知识．利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出可证明，进而可判断②；延长交于，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， 在中，，， ． ， ，故正确； ，， ． ， ， ， ， 在和中， ，故正确； 如图所示，延长交于， ， 又，， ， ，， ， ， 又，， ， ，， ，即，故正确； 综上所述，其中正确的结论是． 故选：D． 10．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出可证明，进而可判断②；延长交于，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， 在中，，， ． ， ，故正确； ，， ． ， ， ， ， 在和中， ，故正确； 如图所示，延长交于， ， 又，， ， ，， ， ， 又，， ， ，， ，即，故正确； 综上所述，其中正确的结论是． 故选：D． 二、填空题 11．如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．若，则 ． 【答案】 【分析】先利用长方形的直角性质，结合已知角求出的度数；再根据折叠的性质得到与相等；最后利用平角的定义计算出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴，． 由折叠知， ∴． 故答案为：． 12．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 14．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 15．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 三、解答题 16．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 【答案】(1)②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理； （1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可； （2）由得出，再由即可求解． 【详解】（1）解：①作为条件，再结合已知条件：,， 能利用“”证明，故①不符合题意； ②作为条件，可得出，即，再结合已知条件：,，就能利用“”证明，故②符合题意； ③作为条件，无法证明，故③不符合题意； 故答案为：②． （2）解：根据（1）中添加的条件, ∵， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴， ∵． 17．已知点E，M分别是的边，上的点，点F在边的延长线上，满足，点D在外部，且，，与相交于点O，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，当，时，若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）先证明，再根据“”证明即可； （2）根据，得出，，证明，得出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 18．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 19．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，见解析 (3)存在，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】该题考查的是三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识．  （1）先根据直角三角板的性质求出及的度数，进而可得出的度数；由，，可得出的度数，进而得出的度数；  （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；  （3）分，，，及进行解答． 【详解】（1）解：，，  ，  ，  ．  故答案为；  ，，  ，  ．  故答案为； （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形内角和定理 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 三角形内角和定理 考点梳理 1、定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 典例引领 考向01 三角形内角和定理的证明 【例1】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 考向02 与平行线有关的三角形内角和问题 【例2】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 考向03 与角平行线有关的三角形内角和问题 【例3】如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考向04 三角形内角和定理的应用 【例4】已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考向05 三角形折叠中的角度问题 【例5】如图，数学课上甲同学将三角形纸片沿折叠，使点落在边上处，若，则（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B． C． D． 【对点2】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【对点3】已知分别是的中线和高，是的角平分线． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，，延长中线到点，使得，连接．填空： ①由已知可证得，其理由是 （从中选一个填空），的长为 ； ②中线长的取值范围是 ． 【对点4】满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【对点5】如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 考点02 三角形的外角性质 考点梳理 1、外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） 2、外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角； 三角形外角和为360度. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 典例引领 考向01 三角形外角的定义及性质 【例1】如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 考点03 多边形内角和定理 考点梳理 1、n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 考点04 多边形的外角和 考点梳理 多边形的外角和为360°． 特别说明：1、在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； 2、正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； 3、多边形的外角和为360°的作用是： ①已知各相等外角度数求多边形边数； ②已知多边形边数求各相等外角的度数． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列四个条件中，能确定为直角三角形的是（    ） A．在中，，都是锐角 B．的三个内角的度数之比是 C．在中， D．的三个外角的度数之比是 2．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A．B．C．D． 4．在中，的对边分别是．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C．，， D． 5．在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 6．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．若，则 ． 12．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 13．如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 14．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则 ． 15．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 3、 解答题 16．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 17．已知点E，M分别是的边，上的点，点F在边的延长线上，满足，点D在外部，且，，与相交于点O，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，当，时，若，求线段的长． 18．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 19．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 20．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $