江苏省苏州市2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟卷（十二）

苏州市2025-2026学年第一学期初三数学期末模拟卷（十二） 一．选择题（共10小题） 1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2且m≠0 B．m≥2 C．m≤2且m≠0 D．m≥2且m≠0 2．一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：68，68，83，82，90，90，75该组数据的中位数是（　　）A．63； B．82； C．90； D．75。 3．如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的弦．若，则∠B的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．64° 第3题第4题第5题第7题 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A′B′C，若点A的对应点A′恰好落在边AB上，连接AB′，则tan∠B′AC的值为（　　） A． B． C． D． 5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4，则球的半径长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 6．已知二次函数y＝（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）﹣2a﹣3（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与BO的延长线相交于点E，C为半圆O的中点，AC交BE于点F．若，则弧AC的长是（　　） A．π B．2π C．3π D． 8．已知二次函数，在b取不同值的情况下，部分函数值y与x的对应关系如下表： b … ﹣6 ﹣4 0 2 4 … x … * 4 0 ﹣2 ﹣4 … y … * 0 ﹣4 0 8 … 则下列结论：①当x＝﹣b时，y有最小值；②无论b取何值，二次函数的图象始终经过一个定点； ③所有y的最大值中，有最小值﹣4；④当﹣3＜b＜2时，y的值始终为负数．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，E、F分别是AB、BC上的动点，连接DF、EF，M、N分别为DF、EF的中点，则MN的最小值是（　　） A． B． C．1 D．2 第9题第10题 10．如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞2或 B．或0＜k＜2 C．k＞1或k＜﹣3 D．k＞1或k＜﹣3或k＝﹣2 二．填空题（共10小题） 11．如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为210°，黄色部分扇形的圆心角度数为90°．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是 　 　 ． 第11题第12题第13题 12．《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其大意为：今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小．设其横截面为⊙O，用锯子去锯这个木材，锯口深AB为1寸，锯道长CD为1尺．由此可得这块圆柱形木材横截面的直径是 　 　 尺．（注：1尺＝10寸） 13．如图，已知一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6），当y1＜y2时，x的取值范围为 　 　 ． 14．函数y1＝x2+2x﹣3的图象与函数y2＝﹣x+b的图象交于A，B两点，若AB＝5，则当y1＞y2时自变量x的取值范围是 　 　 ． 15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 　 　 ． 16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，C为弧上一动点，且CA平分∠BCD，，有如下说法：①AD＝AB；②三角形ABC是等边三角形；③⊙O的半径为2；④BC+CD＝AC；⑤四边形ABCD最大面积是．其中正确的有　 　 个． 第15题第16题第17题 17．如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　 　 ． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是 　 　 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝13，则k＝　 　 ． 第18题第19题 20．如图1，OA是⊙O的半径，点M是OA的中点，点N在⊙O上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，MN的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 21．计算：•tan30°﹣（π﹣2026）0+|﹣4|． 22．大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C．4.6≤视力≤4.8，中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8； 抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如右上表： （1）填空：a＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数． 23．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值． 24．如图，菱形ABCD中，AB＝10cm，sinA，DE⊥AB，垂足为E，连接BD． （1）求对角线BD的长； （2）点P为边AB上一动点，且动点P以1cm/s的速度沿边AB由点A向点B运动，设点P运动的时间为t（s）（0＜t≤10）．当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与△CDP相似？ 25．如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，连接AD，交直线BC于点G． （1）填空：点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； （2）试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由； （3）若点P为二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）位于第一象限图象上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求的最大值，并求出此时点P的横坐标． 26．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E，延长EA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：AC平分∠BAE； （2）若，求tan∠ADE的值． 27．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），点Q的坐标为（4﹣n，4﹣m），那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点P（3，0）的“相关点”点Q的坐标为（4，1）． （1）当m＝2时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　 　 ； （2）点P的“相关点”点Q的坐标为（5，2），一次函数y＝2x﹣b的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证MP＝MQ； （3）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若m＝2，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 28．如图，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，3），点C在第一象限，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标． 29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+2tx+c（a≠0）经过点（1，2t+c﹣1），点A（t﹣1，y1），B（t+2，y2）在抛物线G上． （1）求a的值； （2）将抛物线G向右平移2个单位长度得到抛物线G′，点C（2t+2，y3）在抛物线G′上，且总有y2＜y3＜y1，求t的取值范围． 30．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 7．【解答】解：设OE交⊙O于点L，连接OA、OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴90°﹣∠OAC＝90°﹣∠OCA，∵AE切⊙O于点A，∴AE⊥OE，∴∠OAE＝90°， ∵C为半圆O的中点，∴，∴∠COE＝∠COB180°＝90°， ∵∠EAF＝90°﹣∠OAC，∠EFA＝∠OFC＝90°﹣∠OCA，∴∠EAF＝∠EFA， ∵OF＝EF，∴EA＝EF，OE＝2EF＝2， ∴OA3， ∵sin∠AOE，∴∠AOE＝30°， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝120°，∴2π，故选：B． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 8．【解答】解：根据表中b＝0，x＝0，y＝﹣4代入二次函数， ∴c＝4，∴二次函数的解析式为yx2﹣bx+b﹣4，∵a0，对称轴为x＝﹣b， ∴二次函数的图象开口向下，当x＝﹣b时，y有最大值，∴结论①错误； ∵yx2﹣bx+b﹣4，令x﹣1＝0，即x＝1，此时y， 故二次函数的图象始终经过一个定点（1，），故结论②正确； ∵二次函数yx2﹣bx+b﹣4的对称轴为直线x＝﹣b，当x＝﹣b时， 设M＝ymax，故M为b的二次函数，对称轴为b＝﹣1， 此时Mmin，∴所有y的最大值中，有最小值，故结论③错误； 对于二次函数yx2﹣bx+b﹣4，考虑其判别式， ∵Δb2+2（b﹣4）＝b2+2b﹣8＝（b+4）（b﹣2）， Δ为b的二次函数，开口向上，故当﹣4＜b＜2时，Δ＜0，亦即当﹣3＜b＜2时，Δ＜0， 此时，二次函数yx2﹣bx+b﹣4与x轴无交点，故函数值始终为负数，故结论④正确． 综上，②④正确，故选：C． 【点评】本题以表格数据推理形式考查了二次函数的图象与性质、图象过定点问题、最值、根的判别式、图象与x轴的交点问题、函数与方程思想，熟练掌握函数与方程思想以及二次函数的图象性质是解题关键． 9．【解答】解：如图，连接DE，过点D作DG⊥AB于点G， ∵M、N分别为DF、EF的中点，∴MN是△DEF的中位线，∴MNDE，∴当DE最小时，MN最小， 此时点E与点G重合，即MN的最小值为DG的长，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4， ∴∠DAG＝90°﹣∠A＝30°，∴AGAD＝2，∴DG2， ∴MN的最小值为DG，故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 第9题第10题 10．【解答】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为E，由条件可知D（3，4）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2，把D（3，4）代入得到4＝a（3﹣1）2，解得a＝1， 用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 16．【解答】解：由条件可知∠ACB＝∠ACD，∴，∴AB＝AD，故①正确，符合题意； 由条件可知∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，又∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形，故②正确．符合题意； 如下图所示，连接OD、OB，过点O作OE⊥BD，则， ∴OB＝2OE，，设OB＝2x，则OE＝x， 在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，∴，解得：x＝1， ∴OB＝2x＝2，∴⊙O的半径是2，故③正确，符合题意； 图1图2图3 如图2所示，在AC上截取CF＝CD，连接DF，∵∠DCF＝60°， ∴△DCF是等边三角形，∴DF＝DC，∠FDC＝60°， ∵∠ADF+∠BDF＝∠ADB＝60°，∠BDF+∠BDC＝∠FDC＝60°，∴∠ADF＝∠BDC， 在△ADF和△BDC中，，∴△ADF≌△BDC（SAS），∴AF＝BC， ∵AC＝AF+CF＝DC+BC，故④正确，符合题意； 如图3所示，设M为BD的中点，过点M作AM⊥BD， ∵△ABD是等边三角形，∴，， ∵，∴，在Rt△ABM中， ∴，∴当△BCD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大， ∴当点C在的中点时△BCD的面积最大，∵⊙O的半径为2，∴点C到线段BD的最大距离是2×2﹣3＝1，∴△BCD的最大面积是， ∴四边形ABCD的最大面积是， 故⑤错误，不符合题意；故答案为：4． 【点评】考查圆内接四边形性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 17．【解答】解：∵OM⊥AB，点A坐标为（1，0），∴OA＝OB＝1， ∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∴OD∥BC，ODBC， ∴当BC是⊙M的直径时，线段OD取得最大值，如图， ∵点M坐标为（0，1），∴OM＝1， 在Rt△OBM中，BM， ∴BC＝2BM＝2，∴OD， 即线段OD的最大值为．故答案为：． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键． 18．【解答】解：因为BF⊥AE，所以∠AFB＝90°，则点F在以AB为直径的圆上. 取AB的中点M，连接DM与⊙M交于点F′，则当点F在F′处时，DF取得最小值． 在Rt△ADM中，DM，则DF′．即DF的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系及圆周角定理，由BF⊥AE得出点F的运动轨迹是解题的关键． 在Rt△ABC中，sin∠ABC． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 24．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝10cm，∴AD＝AB＝10cm， ∵DE⊥AB，∴sinA，∴DE＝6cm，∴AE8cm，∴BE＝AB﹣AE＝2（cm）， ∴BD2（cm）． （2）∵AP＝tcm，∴PE＝|t﹣8|（cm），∴PD， ∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴∠APD＝∠CDP， ∴当AP：PD＝DP：CD时，△PAD∽△DPC，∵PD2＝AP•CD，∴t2﹣16t+100＝10t， ∴t＝13或t＝13（舍去）， 当PA：DC＝PD：DP时，△PAD∽△DCP，∴AP＝CD＝10cm，∴t＝10， ∴当t＝13或t＝10时，以A，D，P为顶点的三角形与△CDP相似． 【点评】本题考查相似三角形的判定，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由锐角的正弦求出DE的长；判定△ADP和△PDC相似，要分两种情况讨论． 25．【解答】解：（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝3或x2＝﹣1， ∵点A在点B左侧，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），故答案为：（﹣1，0），（3，0）； （2）是定值，把x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得y＝﹣3a，∴点C的坐标为（0，﹣3a）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（3，0），C（0，﹣3a）， ∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝ax﹣3a， 过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，∴AH∥DF，∴△DFG∽△AHG，∴， ∵点A的坐标为（﹣1，0），∴H（﹣1，﹣4a），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点为D（1，﹣4a），∴F（1，﹣2a），∴，∴是定值，这个定值为； （3）过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M， ∴H（﹣1，﹣4a），设P（m，am2﹣2am﹣3a），则M（m，am﹣3a）， ∴PM＝am2﹣2am﹣3a﹣am+3a＝am2﹣3am，∵AH∥y轴，PM∥y轴，∴△PMQ∽△AHQ， ∴（m）2， ∴当m时，的最大值为，此时点P的横坐标为． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 26．【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAE＝∠OCA， ∵AC＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠CAE，∴AC平分∠BAE； （2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠DAE＝∠BAF，∠AED＝∠F， ∴△ADE∽△ABF，∴，∴AD＝AO，在Rt△OCD中，∵sinD， ∴∠D＝30°，∴tan∠ADE＝tan30°． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 27．【解答】（1）解：当m＝2时，P（2，n）， ∵反比例函数y的图象经过点P，∴n1， ∴点P的“相关点”点Q的坐标是（3，2），故答案为：（3，2）． （2）证明：∵点P的“相关点”点Q的坐标为（5，2），∴点P的坐标为（2，﹣1）． ∵一次函数y＝2x﹣b的图象经过点Q（5，2），∴2＝2×5﹣b，∴b＝8． ∵一次函数y＝2x﹣8的图象与x轴交于点M，∴点M的坐标为（4，0）． 过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，如图1， ∴∠PEM＝∠QFM＝90°，PE＝1，EM＝4﹣2＝2，QF＝2，FM＝5﹣4＝1． ∴PE＝FM，EM＝QF．∴△PEM≌△MFQ（SAS）．∴MP＝MQ． （3）解：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和点O（0，0） ∴，解得：．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x． 当m＝2时，点P的坐标为（2，n），点Q的坐标为（4﹣n，2）． 当n≥2时，过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，如图2， ∴∠PEA＝∠QFA＝90°，PE＝n，EA＝4﹣2＝2，QF＝2，FA＝4﹣（4﹣n）＝n． ∴PE＝FA，EA＝QF．∴△PEA≌△AFQ（SAS）．∴AP＝AQ． ∵，∴AQ＝3CQ．过点C作CD⊥x轴于点D，则CD∥QF． 当点Q在线段AC上时，∵QF∥CD，∴△AQF∽△ACD，∴，即， ∴ADn，CD，∴OD＝OA﹣AD＝4n，∴C（4n，）， ∵点C在抛物线y＝﹣x2+4x上，∴﹣（4n）2+4（4n），解得：n1（舍去），n2； 当点C在线段AQ上时，如图3，过点C作CD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，则CD∥QF．∵AC+CQ＝AQ，即ACAQ＝AQ，∴． ∵CD∥QF，∴．∴．∴． ∴点C的横坐标为．∴点C的坐标为． ∵点C在抛物线y＝﹣x2+4x上，∴． 解得：，∵n≥2，∴n＝3． 当0＜n＜2时，且点C在AQ延长线上时，如图4，同理可得：C（4n，）， ∴﹣（4n）2+4（4n），解得：n或n（舍去）； 当0＜n＜2时，且点C在线段AQ上时，如图5，同理可得：C（4n，）， ∵点C在抛物线y＝﹣x2+4x上，∴（4n）2+4（4n）． 解得：n＝3±，∵0＜n＜2，∴n＝3． 当n＜0时，如图5，∵AP＝AQ＜CQ，∴不符合CQAP．综上，n＝3±或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，理解并应用新定义是解题关键． 28．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0），（0，3），∴OA＝1，OB＝2， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $