精品解析：天津市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测数学试题

2026届高三年级第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集和交集的运算求解. 【详解】，，， ，∴. 故选：B. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（ ） A. 变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 B. 变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 C. 变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 D. 变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性相关系数越接近1，表示两个变量之间的相关性越强，线性相关系数的正负表示两个变量之间呈正相关关系或负相关关系． 【详解】因为线性相关系数，， 所以变量x与y之间呈正相关关系，变量u与v之间呈负相关关系． 因为|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越高，所以x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性． 故选：C． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数排除D，根据排除C，根据当时，排除B即可求解. 【详解】由题意要使得函数有意义，则，且， 这表明函数定义域关于原点对称， 且，从而函数是奇函数，故排除D， 由，排除C， 当时，，排除B. 故选：A. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可先确定，，，又即可求解． 【详解】，，， 又， ． 故选：A． 6. 等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，根据条件得到方程，求出首项和公差，得到，，裂项相消法求和即可. 【详解】设公差为，则， 解得， 故， 所以， 所以的前10项和为. 故选：A 7. 已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，利用正四棱锥的特征，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，在中，利用勾股定理构建方程，即可求出球的半径，求得球的体积. 【详解】如图，正四棱锥外接于球， 过作棱锥的高，过球心且交于与的交点， 连接，设球的半径为， 则，， 且， 所以， 即，解得， 所以球的体积为. 故选：A 8. 已知函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合可知，函数在上只有两个零点，则函数在上有五个零点，由可求出的取值范围，根据题意可得出关于的不等式，即可解得正数的取值范围. 【详解】当时，由，可得， 作出直线和函数的图象如下图所示： 由图可知，直线和函数的图象有两个交点， 因为函数恰有个零点，所以，函数在上有个零点， 当时，因为，则， 所以，，解得， 故选：B. 9. 已知抛物线：的准线经过双曲线：的左焦点F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线相交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出离心率即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 所以. 故选：D 二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分） 10. 若复数，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】复数， 所以. 方法二： . 11. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解. 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为. 故答案为： 12. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据弦长求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，又，所以. 故答案为： 13. 甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为________；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据全概率公式及独立事件的概率乘法公式，分类讨论甲第二局获胜的不同情况，求和得甲第二局获胜的概率；再根据条件概率公式，求出各事件的概率，根据公式求出条件概率. 【详解】第一局乙同学获胜的概率为，则第一局甲同学获胜的概率为 对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为， 若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为. 故甲同学第二局比赛获胜的概率. 比赛三局即结束，则甲连胜三局或乙连胜三局， 设事件为“比赛进行三局即结束”，事件为“乙取得比赛最终胜利” 则，， 故. 故答案为：；. 14. 在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先向量分解，可以用表示出，再根据向量数量积即可求出；以为原点，为轴建立坐标系，则可求出点，，坐标，分别求出，即可求解. 【详解】由题意知， 而， 所以， 由向量夹角公式可求出，因为所以可求得 又因，所以， 解之可得或（舍）； 以为原点，为轴建立坐标系，则可知点，， ，设点则， 所以， 又因，所以当时最小，最小值为. 故答案为： 15. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，且，，则实数t的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先得出，由表达式画出函数图像，再分类讨论与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解. 【详解】由已知关于x的不等式的解集为得， 当时，， 的图象如图所示： ①当直线在图中的位置时，， 解得， 因为为方程的两根， 所以，而. 则， 即，解得，所以； ②当直线在图中的位置时，且，得； 此时，. 则，得，所以. 综上所述：. 故答案为： 三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）设 ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式和三角形内角和定理即可求解； (2) ①结合（1）的结论，利用余弦定理解求解； ②先利用正弦定理得到，根据边角的大小关系和同角三角函数的关系得到， 然后利用二倍角公式和两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：，则， 因为在中，，所以， 则有，因为，所以，， 故. 【小问2详解】 ①由（1）知：，在中，因为， 由余弦定理可得：，则. ②在中，由正弦定理可得：，即， 所以，因为，所以，则为锐角， 所以，则， ， 所以. 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）在轴上存在点，使得为定值． 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，进而即得椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为, 由题意可得，解得， ， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆的方程，可得， 设，则． 设，则 ， 若为定值， 则，解得． 此时点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得 不妨设， 若，则，，． 综上，在轴上存在点，使得为定值． 19. 已知数列的前n项和为，对任意，， （1）证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. （2）设数列，其中，设. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设，求使得成立的最大正整数n的值.（其中符号表示不超过x的最大整数） 【答案】（1） 任意，①， 当时，，解得； 当时，②， 由①-②得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 则. . （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义分析求解即可； （2）（ⅰ）先求得，结合题设分析可得数列是以为首项，以为公差，项数为的等差数列，可得，结合裂项相消法求解即可； （ⅱ）先由题设可得，利用作差法及二项式定理可证得当时，，进而得到，进而求得，再解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得，则， 当时，， 可知数列的对应项构成以为首项，以为公差的等差数列， ， ， . （ⅱ） ， 下证当时，: ①显然恒成立， ②， ， ， ，故， ， ，即， 又， 因此满足不等式的最大正整数. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1） （2）①实数的取值范围是； ② 由①知，， 要证，只需证，即证明， 令，则 则在上单调递增，∴， 即； 取，则， 则， 令，则，， 设，则，则在上单调递增， 则，即，故 要证，只需证， 令，则且， 只需证明． 令，则， ∴在上单调递减，∴， 即，从而得证. 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）先求出时函数的表达式，再对其求导，得到切线斜率，最后结合切点坐标求出切线方程. （2）①先求出导函数分和两种情况得出单调性及极值计算求参；②利用放缩法证明．左侧证；右侧构造，证． 【小问1详解】 当时，， 将代入可得， ，， 切线方程为，即. 【小问2详解】 ①由， 得， 当时，，则在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意； 当时，若，，则在上单调递减， 若，则在上单调递增， ∴时，取得极小值，也即为最小值， 又∵当时，，当时，， ∵函数有两个零点，则， 即，即， 由于，则函数在上是增函数，且， ∴不等式的解为， ∴实数的取值范围是； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（ ） A. 变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 B. 变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性 C. 变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 D. 变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线：的准线经过双曲线：的左焦点F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线相交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分） 10. 若复数，则___________ 11. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 12. 若直线被圆截得的弦长为2，则 ______. 13. 甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为________；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为________. 14. 在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________. 15. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，且，，则实数t的取值范围为________. 三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）设 ①求的值； ②求的值． 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知数列的前n项和为，对任意，， （1）证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. （2）设数列，其中，设. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设，求使得成立的最大正整数n的值.（其中符号表示不超过x的最大整数） 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $