专题03二元一次方程组题型突破讲义（1）(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题03二元一次方程组题型突破讲义（1） 一.二元一次方程：认识 “双未知数” 小伙伴 ✅核心定义：两个未知数 + 未知数项次数都是 1，缺一个都不行，单独未知数的系数不能为 0！ ✅解题关键：它的解是一对数，有无数个，凑对让等式成立就对啦～ ✅小技巧：判断是否为二元一次方程，先看未知数个数，再验项的次数，最后看系数！ 二.二元一次方程组：给双未知数找 “专属搭档” ✅核心定义：两个二元一次方程组队，还得有相同的两个未知数，才算正宗方程组！ ✅解题关键：方程组的解是 “唯一搭档”，要同时满足组里两个方程，一个都不能偏～ ✅小要点：判断方程组是否为二元一次，只需看组内每个方程是否符合二元一次要求！ 三.解二元一次方程组：消元大法，化繁为简 ✅核心思路：消掉一个未知数，把 “二元” 变学过的 “一元”，轻松搞定！ 方法 1：代入消元法 ——“用一个表示另一个，代进去就消元” (1)挑一个方程变变形，用 x 表示 y（或 y 表示 x）； (2)代入另一个方程，消去一个未知数，解出一元一次方程； (3)代回变形式，求出另一个未知数，搭档就找齐啦！ 方法 2：加减消元法 ——“系数凑相等 / 相反数，加减就消元” (1)给方程乘适当数，让同一个未知数系数相等（相减消元）或相反（相加消元）； (2)两方程相加 / 相减，消去一个未知数，解出一元一次方程； (3)代回原方程求另一个未知数，完美收官！ 基础 过关题 1.二元一次方程的定义辨析 2.二元一次方程的解的判定 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的验证 能力 提升题 5.代入消元法解二元一次方程组 6.加减消元法解二元一次方程组 7.构造方程组求解 8.已知方程组的解求参数值 拓展 拔高题 9.方程组的特殊解法 10.由方程组解的情况求参数 11.二元一次方程组错解复原问题 12.方程组相同解问题 【题型1.二元一次方程组的定义辨析】 1．把方程改写成用含的式子表示的形式是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程，等式的性质，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键在于准确理解二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数均为的方程是二元一次方程，据此逐一判断各选项． 【详解】解：、方程含，的次数为，不符合定义，故不是二元一次方程； 、方程含两个未知数和，且次数均为，符合定义，故是二元一次方程； 、方程含三个未知数，不符合定义，故不是二元一次方程； 、方程化简后为，只含一个未知数，不符合定义，故不是二元一次方程； 故选：． 3．下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，根据概念逐个判断即可得答案． 【详解】解：方程，含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； 方程，含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件； 式子不是等式，仅为代数式，不构成方程； 不等式属于不等式而非等式，不符合二元一次方程的定义， 综上，只有是二元一次方程，共1个， 故选：A． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是整理方程后，保证含项的系数不为． 要使方程是关于，的二元一次方程，需先整理方程，保证，的系数不为，且方程含两个未知数． 【详解】解：将原方程移项得，合并同类项得， ∵这是关于，的二元一次方程， ∴的系数，即. 故答案为：. 5．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求出、的值后即可求解． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的定义，解一元一次方程，已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 【题型2.二元一次方程的解的判定】 6．下列各组数满足方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否成立即可． 【详解】解：方程是， 对于选项A：， 代入得，成立； 对于选项B：， 代入得，不成立； 对于选项C：， 代入得，不成立； 对于选项D：， 代入得，不成立． ∴只有选项A满足方程． 故选:A． 7．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 8．若是方程和的公共解，则的值为 ． 【答案】246 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确的计算是解题的关键． 将给定的解代入两个方程，分别求出和的值，然后计算表达式． 【详解】解：将，代入方程 ， 得 ， ∴ ． 代入方程 ，得 ， ∴ ． 则 ． 故答案为：246． 9．班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有 种； 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 设羽毛球拍x副，乒乓球拍y副，根据总价列出方程，化简得，求正整数解，需为整数且，得，3，5，对应，4，1，故有3种方案． 【详解】解：设购买羽毛球拍x副，乒乓球拍y副， 则， 两边除以10得， ∵x，y为正整数， ∴需为正整数且， 即为2的倍数且， ∴，3，5， 当时，；当时，；当时，． 因此购买方案有3种． 故答案为：3． 解答题 10．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．五进制数，其各数位上的数字为0，1，2，3，4，将五进制数表示成各数位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数． 例如：（规定，当时，），即五进制数1234转换为十进制数就是194． (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，将m与n对调，新的两位数比原两位数小54．这个十进制的两位数可能是______（写出所有可能的结果）； (2)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是（1）中的一个两位数，则这个五进制的三位数是______． 【答案】(1)71，82，93 (2)333 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出二元一次方程，进行求解即可； （2）设三位数上的各数位的数字均为，利用进制之间的转化关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 即， ∵，，且均为整数， ∴或或， ∴这个十进制的两位数可能是71，82，93； （2）设三位数上的各数位的数字均为，由题意，转化为十进制的数为， ∵为整数， ∴转化后的数是31的倍数， 故，解得， 故这个五进制的三位数是333． 【题型3.二元一次方程组的判定】 11．把含有相同未知数的 个 联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的 叫作二元一次方程组的解． 【答案】 两 二元一次方程 公共解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组是由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的，且方程组的解是使二元一次方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此可得答案． 【详解】解：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解． 故答案为：两；二元一次方程；公共解． 12．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 13．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 14．若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 【题型4.二元一次方程组解的验证】 15．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 16．在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 17．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 18．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 【题型5.代入消元法解二元一次方程组】 19．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 20．在方程中，用含的代数式表示为： ，当时， ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是解二元一次方程，解答本题的关键是熟练掌握方程的灵活变形，熟悉移项、合并同类型、系数化为1的步骤． 要把方程，用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，再化y项的系数为1，最后把代入即可得到结果． 【详解】解：， ， 当时，， 故答案为：，． 21．若是方程组的解，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解方程组常用的方法是加减法和代入法． 把方程组的解代入原方程组，使方程组转化为关于a和b的二元一次方程组，再解方程组．即可求出a、b． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 解得：， 故答案为：，． 22．若单项式与是同类项，则a，b的值分别是（    ） A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－1 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义、解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法、同类项的定义是解答本题的关键． 两个单项式为同类项，则对应字母的指数相等，据此列出关于和的方程组并求解. 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ 由①得：③， 将③代入②得：， 解得， 将代入③得：， ∴方程组的解为 故，的值分别为， 故选：A． 解答题 23．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把①变形为③，把③代入②即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）把①代入②即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （2）解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是 【题型6.加减消元法解二元一次方程组】 24．已知二元一次方程组则的值是（   ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体代入解法，解题关键是观察方程的结构特征，利用整体相加的方法直接得到 的值，避免了繁琐的代入消元或加减消元步骤． 通过将两个方程直接相加，整体求出的值． 【详解】解：∵ 方程组为： ①+②： ． ∴ 的值为． 故选：A． 25．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 26．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的公共解问题，掌握先求公共解，再代入求参数的方法是解题的关键． 通过解不含参数的方程得到公共解，再代入含参数的方程求出的值，最后计算乘方． 【详解】解：联立方程， 解得 将代入 得 两式相加得，即． ． 故答案为：． 27．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 解答题 28．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 【题型7.构造方程组求解】 29．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 30．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了解二元一次方程组，代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算定义，利用已知条件建立方程组求解参数和，再代入求值 【详解】解：，且， ∴ 解得： ， ． 故答案为：． 31．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时， ． （2）若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 32．十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则 ； （2）已知，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 33．对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了新定义问题，二元一次方程组的应用，解题的关键掌握新定义运算法则． ①将代入判断即可；②根据题意列出二元一次方程组求出x，y的值，然后代入判断即可；③根据定义得到，然后结合自然数，且，逐个代入求解判断即可． 【详解】①当且时， 代入定义得，即，正确； ②当且时， 解得， ∴，错误； ③当，时，，即， ∵自然数，且， ∴ ∴ ∴当时， ∴（舍去）或0或1， ∴或2； ∴当时， ∴或1或2， ∴或6或7； ∴当时， ∴或2或3， ∴或10或12； ∴当时， ∴或3或4， ∴或15或17； ∴当时， ∴或4或5， ∴或20或22； ∴当时， ∴或5或6， ∴或25或27； 综上所述，满足条件的的值有17个，故③错误． 综上，其中正确的个数是1． 故选：B． 【题型8.已知方程组的解求参数值】 34．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值． 把代入方程组，得出关于a，b的方程组，再根据加减消元法解方程组求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴． 故答案为：15． 35．若方程的解满足，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加得，化简可得，又由得到，求解即可解答． 【详解】解：方程组两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 36．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的解满足、互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 37．若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键． 由与互为相反数，可得，代入到方程组中得到、的值，进而可得的值． 【详解】解： 与互为相反数， ， 将代入中得：， 解得， ， 将，代入中得：， 解得， 故选：A． 解答题 38．已知方程组中互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解二元一次方程组，根据相反数的定义得出，把代入方程组得到一个新的二元一次方程组，利用代入法求解即可得出m的值． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， 把代入方程组， 得： 把②代入①得：， 解得： 【题型9.方程组的特殊解法】 39．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 【详解】解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 40．已知方程组则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值. 【详解】解：给定方程组： 将两个方程相加，得：， 化简，得：， 两边同时除以，得：， 故答案为：． 41．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 42．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，理解二元一次方程的解的计算是关键． 根据题意，将原方程组变形得，结合原方程组的解得到，由此即可求解． 【详解】解：， 将方程组变形得，， ∵的解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【题型10.由方程组解的情况求参数】 43．已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故选：D． 44．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解法一：联立方程和解出，，再代入求出的值即可． 解法二：两个方程相加，再建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解法一：联立方程组， 解得， 将，代入， 得， 解得， 解法二： ，得 ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：5． 45．已知关于的方程组，如果它的解与互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据方程组整理得到，再结合它的解与互为相反数，推出，解之，即可解题． 【详解】解：关于的方程组， 由①②得， 它的解与互为相反数， ， 解得； 故答案为：． 46．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 解答题 47．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【题型11.二元一次方程组错解复原问题】 48．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 49．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出的值后即可根据平方根的定义得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴的平方根为1和， 故选：A． 50．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 【题型12.方程组相同解问题】 51．方程组中，①；②；③；④解相同的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：解方程组①得； 解方程组②得； 解方程组③得； 解方程组④得； 则解相同的是①④， 故选：C． 52．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 53．已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 解答题 54．若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题03二元一次方程组题型突破讲义(1) 01 重难点 .二元一次方程：认识“双未知数”小伙伴 核心定义：两个未知数+未知数项次数都是1，缺一个都不行，单独未知数的系 数不能为0！ 解题关键：它的解是一对数，有无数个，凑对让等式成立就对啦~ 小技巧：判断是否为二元一次方程，先看未知数个数，再验项的次数，最后看系数！ 二.二元一次方程组：给双未知数找“专属搭档” 核心定义：两个二元一次方程组队，还得有相同的两个未知数，才算正宗方程组！ 解题关键：方程组的解是“唯一搭档”，要同时满足组里两个方程，一个都不能 偏~ 小要点：判断方程组是否为二元一次，只需看组内每个方程是否符合二元一次要求 三.解二元一次方程组：消元大法，化繁为简 核心思路：消掉一个未知数，把“二元”变学过的 “一元”，轻松搞定！ 方法1：代入消元法一一“用一个表示另一个，代进去就消元” 1)挑一个方程变变形，用x表示y(或y表示x); (2)代入另一个方程，消去一个未知数，解出一元一次方程； (3)代回变形式，求出另一个未知数，搭档就找齐啦！ 方法2：加减消元法一一“系数凑相等/相反数，加减就消元” (1)给方程乘适当数，让同一个未知数系数相等（相减消元）或相反（相加消元）； (2)两方程相加/相减，消去一个未知数，解出一元一次方程； (3)代回原方程求另一个未知数，完美收官！ 05 题型梳理 基础 1.二元一次方程的定义辨析 2.二元一次方程的解的判定 过关题 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的验证 能力 5.代入消元法解二元一次方程组 6.加减消元法解二元一次方程组 试卷第1页，共3页 提升题 7.构造方程组求解 8.已知方程组的解求参数值 拓展 9.方程组的特殊解法 10.由方程组解的情况求参数 拔高题 11.二元一次方程组错解复原问题 12.方程组相同解问题 基础过关题 【题型1.二元一次方程组的定义辨析】 1.把方程3x+y=1改写成用含x的式子表示y的形式是：y= 2.下列方程是二元一次方程的是() A.x2-2y=0B.x+2y=1 C.x-y+z=0 D.2x-2=4+x 3.下列式子中2x-3y=5,3x-y+2z=0,2x+4y,5x-y>0中，是二元一次方程的有() 个 A.1 B.2 C.3 D.4 4.若ax-2y=x+1是关于x,y的二元一次方程，则a的取值范围是 5。已知2x-2=0是关于x、y的二元一次方程，则m=一 【题型2.二元一次方程的解的判定】 6.下列各组数满足方程x-2y=3的是() x=3 x=4 x=2 x=1 A. B c. y=0 y=1 y=-1 D. 1y=-2 x=2 7.已知=1是关于，y的二元一次方程红+3y=1的一个解，则k的值是（） A.-2 B.-1 C.1 D.2 y=3是方程3x-3y=m和5x+y=n的公共解，则㎡-3n的值为】 [x=-2 8.若 9.班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍 每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有 种； 解答题 10.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二 试卷第1页，共3页 进一就是二进制.五进制数，其各数位上的数字为0,1,2,3,4，将五进制数表示成各数 位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数， 例如：(1234)，=1x53+2×52+3×5+4×5°=194（规定，当a≠0时，a°=1），即五进制数 1234转换为十进制数就是194. (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m,十位上的数字是n,将m与n对调，新的两 位数比原两位数小54.这个十进制的两位数可能是 (写出所有可能的结果) (②)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是(1)中 的一个两位数，则这个五进制的三位数是 【题型3.二元一次方程组的判定】 11.把含有相同未知数的个 联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组. 我们把二元一次方程组中两个方程的」 叫作二元一次方程组的解。 12.下列方程组中，是二元一次方程组的是() 3x-y=5 x+3=1 A. B. 2y-z=6 (y=x2 5x+2y=1 x+y=2 C.=-1 D. y-2x=4 13.下列说法中，正确的是() x-3y=9 A. xy=2 是二元一次方程组 x=3 B.方程x+3y=6的解只有 y=1 2x-y=3 C.方程2x-y=3的解必是方程组 (3r+y=1的解 x+m=4 D.由方程组 可得出x与y之间关系是x+y=-1 y-3=m x-(m-1)y=5 14.若 xm+(n-3)y=3 是关于x,y的二元一次方程组，则m”= 【题型4.二元一次方程组解的验证】 试卷第1页，共3页 1点。下列二元一次方程组中，以为解的是（) x+y=0 x+y=0 A. B. x-y=1 x-y=-1 C. x+y=0 x+y=0 D. x-y=2 x-y=-2 16布0y.@子 y=x-2 4x-3y=2 x=2 2r-3y=4'③ 3r-y=12' 3-4y=-2中，解是 y=2 的有() A.①和③ B.②和③ C.①和④ D.②和④ 17.已知关于x,y的二元一次方程ax+by=的部分解如表1，关于y的二元一次方程 a2x+b2y=c2的部分解如表2，则关于x,y的二元一次方程组 ax+by=G的解是一 a,x+by=c2 表1 -2 5 8 y -19 -12 -5 2 9 表2 -1 2 5 11 -70 -46 -22 2 26 18.已知方程-2x+y=4的三个解 x=-1x=0.x=方程x+y=1的三个解为 y=2;y=4;y=6, x=-2x=-山x=0则方程组 -2x+y=4, y=3;y=2;y=1. 的解为 x+y=1 能力提升题 【题型5.代入消元法解二元一次方程组】 19.已知方程3x-5y=9,用含x的式子表示y为() A.y=9-3x B.x=-9-5y 9+5y D.y= 3x-9 5 3 C.x=3 5 试卷第1页，共3页 20.在方程3x-y=5中，用含x的代数式表示y为：y=一，当x=3时，y=_ 4 x=24 2x+ay=87 21.若 y=13 是方程组 hx-5y-7=0的解，则a=一，b= 2.若单项式2)与写y是同类项，则a,b的值分别是（) A.3,1 B.-3,1 C.3,-1 D.-3,-1 解答题 23.用代入法解下列方程组： 2x-y=2① (1) 4x+5y=11② x+y=3① (2) 5x-3(x+y)=1② 【题型6.加减消元法解二元一次方程组】 x+2y=4 24.己知二元一次方程组 则x+y的值是() 2x+y=5 A.3 B.-1 C.0 D.-2 25.已知关于x,y的二元一次方程组 x+=2m-5的解满足x-y=4,则m的值为（) 3x-y=4m+1 A.-1 B.7 C.1 D.2 2x+3y=33x-2y=11 26.若关于x,y的方程组 x-y=1有相同的解，则(a+b2“的值 和 ax-by =-5 为」 ax+by=4,① 27.已知关于x,y的方程组 现甲看错了①中的a,得到方程组的解为 ax-by=-5.② =-2乙看错了②中的6，得到方程组的解为 x=1 x=1 则a= b y=-1 解答题 28.用加减消元法解下列方程组： Jx-y=1① (1) 3x+2y=8② 试卷第1页，共3页 2x+3y=7① (2) 3x+2y=8② 【题型7.构造方程组求解】 29.二元一次方程组 红+k+2y=6的解，y的值相等，则k的值为() 3x+2y=10 A.2 B.1 C.2 D. 2 30.定义运算“*”，规定x*y=ax2+by,其中a,b为常数，且1*2=5,2*1=6，则 2*3= 31.定义：数对x,y)经过运算p可以得到数对x,y,记作0x,y)=x',y）,其中 「x'=ax+by y'=ax-by (a,b为常数).如当a=1,b=1时，p(-2,3)=(1,-5). (1)当a=2,b=1时，p(1,0)= (2)若02,1)=(0,4)，则a= ,b= 32.十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与 方便.把关于x的多项式用符号∫(x)的形式来表示，把x等于a的多项式的值用f(a来表 示 例如：当x=1时，f(x=x2-2x-3的值记为f1)=12-2×1-3=1-2-3=-4. (1)已知f(x)=2x-5,则f(2)=■ (2)已知f(x)=ax2+bx-4,若f(2)=-6,f-1)=0,则f(3= 33.对有理数a、b、c定义一种新运算G,规定G(a,b,c=ax+by-c.下列说法： ①当Ga,b,c=0时，若x=y=1,则a+b=c; @当510号1c(号2断，则5-(--好。 ③当G(a,b,c=0时，若x=3,y=2,自然数a、b满足a-b≤1，且a≤5，则满足条件 的c的值有15个. 其中正确的个数是() 试卷第1页，共3页 A.0 B.1 C.2 D.3 【题型8.已知方程组的解求参数值】 x=2 34.已知 y=-3 是关于x,y的二元一次方程组 ax+by=-4 2ax-by=10 的解，则a+7b的值为 [3x-y=4k-5 35.若方程 的解满足x+y=2024,则k= 2x+6y=k [2x+y=-3m 36.方程组 的解满足x、y互为相反数，则m为() 2y+x=4m+5 A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 x+2y=2a-1 37.若关于x,y的方程组 的解满足x与y互为相反数，则a的值是() x-y=6 A.-1 B.1 C.2 D.4 解答题 3x+5y=m+2 38.已知方程组 中x与y互为相反数，求m的值. 2x+3y=m 拓展拔高题 【题型9.方程组的特殊解法】 2x+y=10 39.己知方程组 则x-y等于() x+2y=8 A.1 B.0 C.-1 D.2 40.已知方程组 T2x+y=17 x+2y=10 则x+y的值为 2a-3b=13 a=8.3 2(x+2)-3(y-1)=13 41.若方程组 3a+5b=30.9 的解是 b=1.2’ 则方程组 x+2+5y-=30.9的解是() x=8.3 A. B. =10.3 C. (6.3 y=1.2 y=1.2 y=2.2 D.t=10.3 y=0.2 x=4 42.若方程组 ax+by=G的解是 ax+bay=c2 y=2’则方程组 3a,x+2by=a-G的解是— 3a,x+2b2y=a2-c2 试卷第1页，共3页 【题型10.由方程组解的情况求参数】 [3x+4y=k+2 43.已知方程组 的解满足x+y=2,则k的值为() 2x+y=4 A.-2 B.-4 C.2 D.4 x+2y=3m-1 44.若关于x,y的方程组 的解满足2x+3y=19,则m的值为 x+y=5 3x+y=k 45.已知关于x,y的方程组 x-y=4k+3'如果它的解x与y互为相反数，那么k= 4x-3y=6 46.已知m是整数， 方程组 有正整数解，则m的值为() 6x-my=26 A.4 B.-4 C.±4 D.4或5 解答题 47.对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by,x⊕y=ax-by,其中a,b是常数.已 知1#1=1,302=8. (1)求a,b的值； x=4-m】 (2)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x+y=3,求m的值； x⊕y=5m 【题型11.二元一次方程组错解复原问题】 ax+5y=15① 48.甲、乙两人共同解方程组 4r-y=-22由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解 为：乙看错了方程2中的6，得到方程组的解为 x=5 y=4'则10a+b的值 4=加-22时，甲看错了方程(1)中的a,解得 ax+5y=15(1 49.己知：甲、乙两人同解方程组 x=5 子乙看错了2)中的，解得 =-4'则a+b的平方根为() A.1和-1 B.2和-2 C.3和-3 D.4和-4 试卷第1页，共3页 50.两位同学在解方程组 ✉+7y=3时。甲啊学正魔地解出乙同学因把c抄错了 ax+by=2 x=-1 x=-3 解得 =-2则a,b,c正确的值应为() A.a=-3,b=-l,c=-5 B.a=1,b=-1,c=-10 C.a=2,b=-4,c=-10 D.a=3,b=1,c=-10 【题型12.方程组相同解问题】 x=y4 x+2y=5 x-2y=5 [x+2y=5 51.方程组中，① 2x+y=4:② 2r-y=4:③ 2 x-5:④ 2 解相同的是() x+ y= 2 2 A.①② B.①③ C.①④ D.②③ 2x+3y=3「3x-2y=11 52.若关于x、y的方程组 (ar-y=-5和 bx-ay=1 有相同的解，则(a+b)25的值为() A.0 B.-1 C.1 D.2021 [5.x+2y=3m「x-2y=3 53.已知方程组 和 ax+5y=45x+by=1 有相同的解，则a+4b的平方根是， 解答题 54.若关于x,y的方程组 3x+2y=1与方程组 bx+ay=4 ax-by=2 4x-y=5 的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)(4a+b202的值. 试卷第1页，共3页