广东省广州市仲元中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年广东省广州市仲元中学高一（上）月考数学试卷（1月份） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.函数的大致图像为(    ) A. B. C. D. 3.已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为(    ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4.已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知，满足，则值为(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时图中点开始计时，则下列说法错误的是(    ) A. 点P第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D. 点P距离水面的高度米与时间秒之间的函数解析式为 7.已知，则是的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知三个锐角，，满足，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知函数，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数 10.已知函数，下列关于该函数结论正确的是(    ) A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 在上不单调 D. ，有4个零点 11.已知函数，其中，下列命题中正确的是(    ) A. 若，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为0 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为      . 13.若不等式在恒成立，则k的取值范围是______. 14.定义在R上的函数满足，且关于对称，当时，，则      注； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分计算：的值； 计算的值； 若，求的值. 16.本小题15分已知函数 求的图象的对称轴、单调递增区间； 当时，求的最值，以及取得最值时x的取值； 当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. 17.本小题15分某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益单位：万元与研发投入资金单位：万元的关系为，项目乙研发期望收益单位：万元与研发投入资金单位：万元的关系为，，且， 求实数a，b，c的值； 已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润. 18.本小题17分已知函数，，当时，恒有 求的表达式及定义域； 若方程有解，求实数t的取值范围； 若方程的解集为，求实数m的取值范围． 19.本小题17分已知函数，的最小正周期为 求实数的值； 若函数在上恰有8个零点，求的最小值； 设函数，证明：有且只有一个零点，且 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：由题意全集，集合， ， 则，故C正确． 故选： 由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案． 本题考查了对数的运算，集合的运算，是基础题． 2.【答案】C  【解析】解：根据题意，函数， 在上，，，则有，排除D， 在上，，，，排除A、 故选： 根据题意，分析和上的符号以及函数的解析式，排除A、B、D，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值符号的分析，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得， 当k为偶数时，可得为第一象限角，满足，满足题意， 当k为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意， 故为第一象限角． 故选： 由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解． 本题主要考查了象限角的判断，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：函数的定义域为R， 且， 即且， ，， 又， 实数m的取值范围是 故选： 把函数的定义域为R，转化为且，分离参数m求解得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 5.【答案】B  【解析】解：因为， 所以， 可得， 所以 故选： 利用，结合两角和的正弦公式求出，再根据，展开后即可求得答案． 本题考查了两角和差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 6.【答案】B  【解析】解：设点P距离水面的高度为米与时间秒之间的函数解析式为，， 由题意，，， 所以解得 因为， 所以， 则， 当时，， 所以，则， 又， 则， 综上，，故D正确； 今，则，若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确． 故选： 设点P距离水面的高度为米与时间秒之间的函数解析式为，由题意可求A，B，可求函数最小正周期，利用三角函数周期公式可求，当时，，可得，结合，可求，即可判断D；利用正弦函数的性质即可逐项判断 本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 7.【答案】A  【解析】解：设，因为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 又，在单调递增，所以函数在单调递增， 若，即， 所以，即，此时“”是“”的充分条件； 当时，即，所以， 即，即，此时“”是“”的必要条件； 综上所述“”是“”的充要条件． 故选： 设，先判断函数为奇函数，再判断函数的单调性，进而可得“”是“”的充分条件，再由时，判断出“”是“”的必要条件，可得结果． 本题考查奇偶函数的性质的应用及函数的单调性的应用，充要条件的判断方法，属于基础题． 8.【答案】D  【解析】解：根据锐角、、满足， 可得，， 所以，即， 整理得， 结合，解得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为 故选： 分别求出、的表达式，根据同角三角函数的平方关系推导出、的关系，结合基本不等式进行求解，可得的最大值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 9.【答案】AC  【解析】解：根据的周期， 可得的最小正周期为，故A项正确； 函数的定义域满足， 化简得，故B不正确； 若，则，解得，故C正确； 由正切函数的单调性，可知在区间上是增函数， 在每个周期上为增函数，且它的图象是不连续的曲线， 因此，不能说在其定义域上是增函数，故D不正确． 故选： 根据题意利用正切函数的图象与性质，对各项逐一加以验证，可得答案． 本题主要考查正切函数的图象与性质及其应用，属于基础题． 10.【答案】ABD  【解析】解：对于A，定义域为 ， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为 ，所以的一个周期是，故B正确； 对于C，令，则化为，， 又在上单调递增，在单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，由C选项分析，同理可得在上单调递增， 可得简图如下： 又的最大值为 ，所以，与有4个交点， 故选项D正确． 故选： 利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项． 本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 11.【答案】AD  【解析】解：对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确； 对于B，当时，，周期在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次， 每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B错误； 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误； 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确． 故选： 对于A，由三角函数图象变换规律分析判断；对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断；对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断；对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可． 本题考查了正弦函数的图象与性质、三角函数图象的变换规律和函数零点的计算，属于难题． 12.【答案】2  【解析】解：设扇形的圆心角弧度数为，半径为r， 则周长为， 面积为， 解得，； 所以扇形圆心角的弧度数为 故答案为： 设扇形的圆心角弧度数为，半径为r，根据题意列方程组，即可求得r和的值． 本题考查了扇形的周长与面积计算问题，也考查了方程思想，是基础题． 13.【答案】  【解析】解：，，，， ， 不等式可化简为：，即， 则，， 又在单调递减，， 故答案为： 由x的范围判断的符号，去掉绝对值，将k分离，构造新函数并判断函数的单调性，求出最值代入即可． 本题考查了三角函数的单调性、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：定义在R上的函数满足，可得的图象关于直线对称，即有， 由关于对称，可得，即为， 即有，即为R上的奇函数，则，， 又，即有，的最小正周期为4， 当时，，可得，解得， 可得，， 则 故答案为： 由已知条件可得，，即为R上的奇函数，推得的最小正周期为4，求得，结合周期计算可得所求和． 本题考查函数的对称性和奇偶性、周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 15.【答案】；  ；    【解析】因为， 所以 ； 由于， 所以，可得 根据，可知的终边不在坐标轴上，所以， 可得 利用诱导公式与两角的正弦公式可求值； 根据，利用两角和的正切公式进行求解，即可得到本题的答案； 利用二倍角的三角函数公式，结合同角三角函数的基本关系将所求式化简为关于的分式，然后代入数据求出答案． 本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 16.【答案】对称轴，增区间为；   当时，取最小值，当时，取最大值2；     【解析】依题意，， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为，； 当时，， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2； 依题意，当时，有解， 而，即当时，有解， ，当时，令， 函数在上单调递减，当时，，即，而， 所以实数a的取值范围是 根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质求解． 由，确定，结合正弦函数的最值求解． 化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案． 本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 17.【答案】解：由，， 可得，解得， 故； 设项目甲研发投入资金为x万元，则项目乙投入万元，投资收益为y， 则 ，其中， 则 ， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元．  【解析】由，结合解析式可得答案； 设项目甲研发投入资金为x万元，则项目乙投入万元，投资收益为y，由题可得 y表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案． 本题考查了函数的最值，属于中档题． 18.【答案】解：当时， ， 即， 即， 整理得恒成立， ， 又， 即，从而 ， ， ，或， 的定义域为 方程有解， 即， ， ， ， ，或， 解得，或， 实数t的取值范围， 方程的解集为， ， ， ， 方程的解集为，故有两种情况： ①方程无解，即，得， ②方程有解，两根均在内， 则解得分 综合①②得实数m的取值范围是  【解析】由已知中函数，以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到的表达式； 由中函数的表达式，转化为一个方程，分离参数，根据的定义域即可求出． 根据对数的运算性质，可将方程，转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程的解集为，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，属于中档题． 19.【答案】解：因为的最小正周期为， 所以， 解得； 当时，令， 解得或，， 要使最小，则m，n均为零点， 若，则大于m的7个零点为：， 得，则此时，， 若，则大于m的7个零点为：， 得，则此时，； 因为， 所以的最小值为； 证明：由可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为 所以根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点； ②当时，因为单调递增，单调递减， ， 所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，， 因为， 所以， 所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以  【解析】由三角函数周期计算公式可得答案． 由题可得零点表达式，要使最小，则m，n均为零点，据此可得答案； 由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明． 本题主要考查了三角函数的性质，考查了函数的零点问题，属于难题． 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $