2026年 九年级数学中考一轮复习 数与式 知识点分类计算能力达标训练题

2026年春九年级数学中考一轮复习《数与式》 知识点分类计算能力达标训练题（附答案） 一、有理数的运算 1．计算： (1)             (2)         (3)             (4)    2．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 3．观察下列各个等式的规律： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：；… (1)直接写出第四个等式； (2)观察规律，请你写出第个等式； (3)探究并计算：． 4．按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 5．【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 二、实数的运算 6．求下列各式中的x； (1)； (2)． 7．计算：． 8．计算： (1) (2) 9．已知a、b、c满足：． (1)______，______，______； (2)设m是c的整数部分，n是c的小数部分，试求的值； (3)判断以a、b、c为边的三角形的形状并说明理由． 10．小明在一本数学资料上看到这样一道题：计算． 小明的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小明检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算． 三、整式的运算 11．计算： (1)； (2)； (3) 12．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 13．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0；（填“”、“”或“”） (2)化简：． 14．先化简，再求值：已知，求的值． 15．已知两个一次式分别是和． (1)当时，求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 16．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 17．观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 18．【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 20．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 四、因式分解 21．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； 22．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 23．阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 24．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 25．多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 五、分式的运算 26．计算： (1)． (2)． (3)． 27．分式计算 (1) (2) 28．先化简，再求值：，其中． 29．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 六、二次根式的运算 30．计算： (1) (2) (3) 31．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 32．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 33．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 34．阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 参考答案 1．解：(1)  , = , =-24 ; (2) ,     =, =; =; (3) , =, =, =6; (4) , =, =; =1. 【点睛】本题主要考查有理数的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握有理数运算法则. 2．（1）解：， ； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ． 3．（1）解：根据题意，第四个等式为； （2）解：根据前四个等式可得出规律，第个等式为； （3）解：， ， ， ． 4．解：第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 80 320 … 5．解：（1）由题意得，∵图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， ∴图③中得到的式子为：． 故③中得到的算式为：， 故答案为：； （2）由（1）知，满足要求的算式为：． 发现的规律为：； 故答案为：，； （3）由上述规律可知， ， 故答案为：2025． 6．（1）解：等式变形为， ∴； （2）解：等式变形为， 即， ∴． 7．解：原式 ． 8．（1）解：原式； （2）解：原式． 9．（1）解：根据题意得：，，， 解得：，，； （2）解：∵，， ∴， ∵m是c的整数部分，n是c的小数部分，， ∴，， ∴； （3）解：直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 10．（1）解：小明的错误：小明在取绝对值符号时出错了，结果应该是． 原式 ． （2）解：原式 ． 11．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 12．（1）解： ； （2）解：由（1）得：， ∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：， ∴x的值为6． 13．（1）解：由数轴得：， ， 故答案为：； （2）解： ． 14．解： ； 当时，原式 ． 15．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：能，理由如下： ， ∵为正整数， ∴也为正整数， ∴ ，能被6整除． 16．（1）解：地砖面积为空地面积减去花园面积， 即 故地砖面积为． （2）解：当，， ， 元， 故购买所需地砖需要元． 17．（1）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （2）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （3）解：令， 根据（2），当，（即）时， 有， 所以， 即． 18．解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 19．（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； （2）解：，， ； （3）解：原式， ， ， ． 20．（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 22．（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 23．解：（1） ； （2） ； （3） ， 根据是由多项式通过“多项式分裂重组法”分解得到， ， ，，． 24．解：（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 25．（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ，， ，， ，， 则三边为2，2，1，满足，可构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 26．（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 27．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．解：原式 ， 当时，原式 ． 29．（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 30．（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 31．解：， 得， 则， 即， ∴， ∴． 32．（1）解：， 即的周长为； （2）解： （元） 即购买装饰画需要花费元． 33．（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 34．（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $