寒假作业07 指数与指数函数-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

寒假作业07 指数与指数函数 要点回顾 知识点1 n次方根 1.n次方根的定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x= x=± x=0 x不存在 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作=0. (3)①当n为奇数时=a(n∈N*，且n>1). ②当n为偶数时=|a|=(n∈N*，且n>1). 知识点2 根式与分数指数幂的互化 1.根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 2.实数指数幂的运算 1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 2）实数指数幂的运算法则 (1)aras=ar+s(a>0，r，s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0，r，s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R). (4)拓展：①=ar-s(a>0，r，s∈R)； ②(a>0，b>0，r∈R). 知识点3 指数函数 1.指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，+∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 知识点4 单调性的应用 1.比较幂的大小 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 2.简单的指数不等式的解法 反思感悟　(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 题型巩固练 一、题型一 指数运算 1．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 2．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 3．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）由指数幂的运算公式，可得： . （2）由指数幂的运算公式，可得： . 4．（1）化简求值： （2）已知，求的值 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值即可； （2）利用平方关系，整体代换求解. 【详解】（1） （2） . . . . . 二、题型二 指数函数概念 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数求值. 【详解】由于， 则， 所以. 故选：A 6．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 7．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 8．若函数 是指数函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、题型三指数函数过定点问题 9．函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，结合求解即可. 【详解】令，即，再由，所以，所以图象恒过. 故选：B. 10．函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 故选：A 11．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质求解即可. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点． 故答案为： 12．已知直线过函数图象的定点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定函数定点得到，将待求式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 四、题型四有关指数函数的性质 13．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定的定义域，根据复合函数单调性的求法可求得结果. 【详解】由得：或，即定义域为； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为. 故选：A. 14．已知函数为偶函数，则（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合指数幂的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， 又因为， 可得，即 所以，解得. 故选：B. 15．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递增，再由一元二次函数的性质求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题设及指数复合函数的单调性知，解得. 故选：C. 16．已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定函数，利用指数函数的性质，结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 17．已知函数，． (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明： (3)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上的单调递减，证明见详解 (3) 【分析】（1）由函数定义域定义建立不等式，即可求得的定义域； （2）通过分离常数后，判断函数在上的单调性，然后由定义法证明结论； （3）研究函数在上的值域，从而得到，由（2）中结论得到，从而表示出的范围，结合基本不等式得到的最大值，然后由所在区间，建立不等式求得的取值范围． 【详解】（1）∵，即，∵，∴， ∴，∴， ∴的定义域为. （2）， ∴函数在上的单调递减， 任取，且， 则， ∵，∴，，，即， ∴， 即函数在上的单调递减， （3）∵，∴ 由（2）可知， 当时，，则，即， 当时，，则，即， ∵，且，∴，∴ 由（2）可知函数在上的单调递减， ∴，∴， ∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴， 当，，显然， 当时，，要想， 则，即. ∴. 五、题型五比较大小 18．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】因为为上的减函数，故，故， 又为上的增函数，故，故. 故选：A. 19．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 20．若，则，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数函数的图象，数形结合，可判断各项的正确性. 【详解】作函数，的草图，如下： 设，则 当时，，故C可能成立； 当时，； 当时，，故A可能成立. 综上，BD不可能成立. 故选：BD 能力提升练 一、单选题 1．已知，则化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分数指数幂的运算性质化简即可. 【详解】， 故选：C. 2．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质判断A，D，利用指数函数的性质判断B，C即可. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 且，所以，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减， 且，所以，故B错误； 对于C，因为函数在上单调递增， 且，所以，故错误； 对于D，因为函数在上单调递增， 且，所以，故D正确． 故选：D． 3．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 4．已知x，y为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性及充要条件的概念得解. 【详解】因为为上单调递增函数， 所以当时，，当时，， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C 6．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，据此可得，然后由题意可得答案. 【详解】因距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半， 则， 设，则. 故选：B 二、多选题 7．下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 【答案】CD 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，根据指数函数的单调性判断即可；C选项，根据复合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，当时，此时在定义域内单调递减，由，根据单调性可得，B错； C选项，函数中， 令，在上递增，在上递减， 又在R上单调递减， 因此函数的单调增区间是，C正确； D选项，函数中，由得， 即函数图象过点，D正确． 故选：CD 8．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性可判断BCD. 【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 故选：ABD 9．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的单调性、奇函数的性质，结合指数型函数的最值性质逐一判断即可. 【详解】由，所以，故A正确； ， 因为， 所以为奇函数，故B正确； 因为的定义域为， 所以选项C不正确； 当时，，所以，即， 当时，， 即，所以无最值， 故选：ABD 三、填空题 10．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 11．已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数单调性列出关于的不等式组求解即可. 【详解】因为函数是上的严格减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 12．已知函数，则满足的实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令， 的定义域为，， ， 所以为奇函数， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（不需证明，写出结论即可）；若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义得出，结合指数幂的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）判断出是上的单调增函数，将所求不等式变形为，可得出对恒成立，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）为奇函数，， 又 . ，即. （2）是上的单调增函数，理由如下： 任取、且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数， 等价于， ，即对恒成立， ，解得，故实数的取值范围是. 14．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求证：在上单调递增； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可. （2）根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可. （3）根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，     此时，则，满足题意， 故实数的值为． （2）由（1）可得， 任取，且， 则， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即，         故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． （3）由（2）可得，要使得在区间上有解， 只需，         而当时，，所以，     所以，所以， 故实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业07 指数与指数函数 要点回顾 知识点1 n次方根 1.n次方根的定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x= x=± x=0 x不存在 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作=0. (3)①当n为奇数时=a(n∈N*，且n>1). ②当n为偶数时=|a|=(n∈N*，且n>1). 知识点2 根式与分数指数幂的互化 1.根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 2.实数指数幂的运算 1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 2）实数指数幂的运算法则 (1)aras=ar+s(a>0，r，s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0，r，s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R). (4)拓展：①=ar-s(a>0，r，s∈R)； ②(a>0，b>0，r∈R). 知识点3 指数函数 1.指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，+∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 知识点4 单调性的应用 1.比较幂的大小 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 2.简单的指数不等式的解法 反思感悟　(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 题型巩固练 一、题型一 指数运算 1．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 2．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 3．计算： (1)； (2). 4．（1）化简求值： （2）已知，求的值 二、题型二 指数函数概念 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 7．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 8．若函数 是指数函数，则的取值范围是 . 三、题型三指数函数过定点问题 9．函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 10．函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ． 12．已知直线过函数图象的定点，则最小值为 ． 四、题型四有关指数函数的性质 13．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数为偶函数，则（　　） A． B．0 C． D．1 15．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 17．已知函数，． (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明： (3)若，，，求的取值范围． 五、题型五比较大小 18．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 20．若，则，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 能力提升练 一、单选题 1．已知，则化为（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 4．已知x，y为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 8．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 9．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 三、填空题 10．函数的定义域是 ． 11．已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是 . 12．已知函数，则满足的实数m的取值范围是 ． 四、解答题 13．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（不需证明，写出结论即可）；若对，恒成立，求实数的取值范围. 14．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求证：在上单调递增； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $