精品解析：贵州省新高考协作体2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

贵州省新高考协作体2026届高二下学期第二次月考 数学 命题组长：王贵兰 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前3项和为18，，则（ ） A. 18 B. 15 C. 14 D. 10 4. 相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 当每增加1时，一定增加1.5 B. 当每增加13时，一定增加8 C. 与呈负相关 D. 5. 某校宣传部有名学生，其中高一年级名，高二年级名，从这名学生中随机选名组织学校艺术节的宣传活动，则这名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正四面体的三个顶点在球的球面上，设四面体的体积为，球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线C：的左、右焦点，过点的直线与双曲线左，右两支分别交于点P，Q，若，右焦点在线段PQ的中垂线上，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D. 已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 10. 如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿DE折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 二面角的余弦值为 11. 若数列符合：（，，p为常数），则称为等方差数列，下列关于等方差数列的描述，错误的是（ ） A. 数列的通项公式是关于n的一次函数 B. 存在某个等方差数列为等差数列 C. 若，则 D. 对于等方差数列，若存在前2k项和为0，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为______． 13. 已知向量满足，，，则______． 14. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么当时，______；函数在上的“倒值区间”为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角B； （2）求的取值范围． 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 17. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，请完成以下列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为、，记，求的分布列与期望． 参考公式：，． 附： 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点． （1）求证：； （2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为60°，求三棱锥的体积． 19. 以直线：和直线：为渐近线的双曲线C过点． （1）求双曲线C的标准方程． （2），是C的两个顶点，P是C上的动点，过点P且垂直于的直线与C交于另一点Q，设直线和相交于点H． ①求点H的轨迹的方程； ②在①的条件下，设，，直线与相交于点R，直线与相交于点T，且，．求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省新高考协作体2026届高二下学期第二次月考 数学 命题组长：王贵兰 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，根据交集的定义计算即可得出结果. 【详解】先解集合 ， 因为 等价于 ， 解得 ，即 . 集合 ， 所以. 故选：C 2. 已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则可计算出复数，进而可得出复数的虚部； 【详解】因为 所以的虚部为 故选：D. 3. 已知等差数列的前3项和为18，，则（ ） A. 18 B. 15 C. 14 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得等差数列首项与公差，据此可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则, ，则. 从而. 故选：A 4. 相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 当每增加1时，一定增加1.5 B. 当每增加13时，一定增加8 C. 与呈负相关 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的意义可判断AB的正误，根据回归系数的正负可判断C的正误，根据回归方程过样本中心可求，从而可判断D的正误. 【详解】对于A，因为回归直线方程为，故当每增加1时，增加约为 ， 故A错误； 对于B，因为回归直线方程为，故当每增加13时，增加约为， 故B错误； 对于C，因为，故与呈正相关，故C错误； 对于D，，故，故，故， 故D正确； 故选：D. 5. 某校宣传部有名学生，其中高一年级名，高二年级名，从这名学生中随机选名组织学校艺术节的宣传活动，则这名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件从这名学生中随机选名组织学校艺术节的宣传活动，这名学生来自不同年级， 则. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设及两角差的正弦公式可得答案. 【详解】因,则，. 则. 故选：C 7. 已知一个正四面体的三个顶点在球的球面上，设四面体的体积为，球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正四面体结构性质、体积公式和球体的体积公式计算即可. 【详解】设球的半径为，则； 因为为正四面体， 所以可得， 则底面正三角形的高为，面积为，过点作底面的垂线段，垂足为， 则由正四面体的结构性质可知E为的中心，也是的重心，连接. 则，，在直角三角形中， 正四面体的高为， 则，所以， 故选： 8. 已知，是双曲线C：的左、右焦点，过点的直线与双曲线左，右两支分别交于点P，Q，若，右焦点在线段PQ的中垂线上，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题可设，为中点，则，，再根据双曲线的定义可得，证明，所以，，然后在中利用勾股定理计算可得出与的关系，最后求得离心率. 【详解】如图：设为中点， 因为，设，则，，， 又因为，， 所以， 因为，所以， 所以，. 在中，， 在中，，即， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D. 已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式、正态分布的性质、平均数和方差公式以及百分位数的公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A：因为随机变量，所以， 所以，A错误； 对于B：因为随机变量，， 所以，所以， 所以，B正确； 对于C：因为某4个数据的平均数为，方差为3， 那么这四个数据的总和为，且. 所以加入一个数据5后，五个数据之和为，此时平均数为， 方差为，C正确； 对于D：. 对于甲组数据，第30百分位数为第二项30，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 对于乙组数据，第30百分位数为第二项，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 那么根据题意可得，，解得，所以，D错误. 故选：BC. 10. 如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿DE折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 二面角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，利用向量的数量积、向量夹角的余弦公式逐项计算异面直线是否垂直、线面角、异面直线的夹角的余弦值以及二面角的余弦值. 【详解】因为，，所以， 所以，将沿DE折起，折叠后点的对应点为， 所以，又平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以两两垂直， 所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以. 所以，所以， 所以不垂直，A错误； ，所以与所成角的余弦值为 ,B正确； 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 而，所以直线与平面所成角的正弦值为 ，C正确； 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 所以，所以二面角的余弦值的绝对值为 ，D错误. 故选：BC. 11. 若数列符合：（，，p为常数），则称为等方差数列，下列关于等方差数列的描述，错误的是（ ） A. 数列的通项公式是关于n的一次函数 B. 存在某个等方差数列为等差数列 C. 若，则 D. 对于等方差数列，若存在前2k项和为0，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐个选项举特例即可判断. 【详解】A选项，若，则数列的通项公式不是关于n的一次函数，A错误； B选项，当，且为常数列时，符合题意，B正确； C选项，， 若，，则， 例如，则C错误； D选项，当，，时， 前4项和为0，此时，但是，D错误； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和为16求出，再利用赋值法可求系数之和. 【详解】因为二项式系数之和为16，故，所以， 在中令，故所有项的系数之和为， 故答案为：. 13. 已知向量满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平方及化简得，再由得出，联立解得即可. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. 14. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么当时，______；函数在上的“倒值区间”为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，通过时解析式，求得时解析式.由解析式得函数对称轴，并求函数最小值.讨论当时，由函数单调性列出方程，由配方法解得的值；当时，由函数最小值求得，找矛盾舍去；当时，由函数单调性列出方程，整理方程找到矛盾舍去. 【详解】当时，， 则， ∵，∴， 当时，，， 当时，函数在上单调递减， ∴，即是方程的两根， 整理，得，即， ∴，则或或， ∴，即为函数的一个“倒值区间”． 当时，函数在上的最小值为，即，，不满足，舍去， 当时，函数在上单调递增， 则，则两式相减得， 即，∵， ∴， 又∵，，∴，则，显然矛盾，舍去. 故函数在上的“倒值区间”为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角B； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理进行角化边，即可得解； （2）利用是锐角三角形，且，解得角的范围，再将用进行表示，再运用差角的正弦公式与辅助角公式等进行化简，最后结合角的范围，即可得解. 【小问1详解】 由题可得，，由余弦定理， 可得等式左边， 故有，得，, 故. 【小问2详解】 在锐角中，由，得，故， 且，， 即，解得. ， 因为，故， 故，则， 即的取值范围为. 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） ∵，∴， 即，又， ∴， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到数列相邻两项的关系，即可得证； （2）由（1）求得通项公式，由分组求和求得数列的前n项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，∴， ∴， 则 . 17. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，请完成以下列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为、，记，求的分布列与期望． 参考公式：，． 附： 【答案】（1） 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 ，有关， （2）， 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 零假设体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题意得如下列联表： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由表格中的数据可知，四个年龄段的人比为， 利用分层抽样的方法抽取的人中，年龄分别在、的人数为、， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点． （1）求证：； （2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为60°，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 因为，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直证得线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作于点，过作于点，连接. 因为，所以， 又平面，所以平面. 所以为二面角的平面角，为. 又，所以. 又是边长为2的等边三角形，为中点，所以， 所以为直角三角形，且，. 所以， 所以. 又， 所以. 所以. 19. 以直线：和直线：为渐近线的双曲线C过点． （1）求双曲线C的标准方程． （2），是C的两个顶点，P是C上的动点，过点P且垂直于的直线与C交于另一点Q，设直线和相交于点H． ①求点H的轨迹的方程； ②在①的条件下，设，，直线与相交于点R，直线与相交于点T，且，．求证：为定值． 【答案】（1） （2）①； ②设，由，，则直线方程为：， 由直线方程与椭圆方程联立，消可得： ， 设，则， 同理可得直线方程为：， 由直线方程与椭圆方程联立，消可得： ， 设，则， 再由可得：， 由可得：， 则， 再代入可得： ， 又因为点满足椭圆方程，所以， 即, 故为定值. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求双曲线方程即可； （2）①利用交轨法来求交点轨迹方程；②利用方程组思想，结合韦达定理和向量的坐标运算，来证明为定值. 【小问1详解】 根据题意可设双曲线方程为：， 代入点，可得：， 即， 故双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 ①设，且，则，由（1）可得 则直线方程为：， 直线方程为：， 上面两式相乘，可得的轨迹方程：，且 因为点在双曲线上，则， 即可得的轨迹方程为：， 故点H的轨迹的方程为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $