15.3.1 等腰三角形 课时2 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

八上数学 RJ 第2课时 第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 15.3 等腰三角形 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理. 2.能够利用等腰三角形的判定进行计算和证明，发展推理能力. 3.能用尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形，发展空间观念. 学习目标 复习 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形. 利用定义可以判定一个三角形是不是等腰三角形. 符号语言： 如图，在△ABC中，∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形. 课堂导入 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 D C A B 2 1 （ （ ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB=AC. ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD， 证明：如图，过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 在△ABD与△ACD中， 已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 符号语言： 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C， ∴△ABC为等腰三角形 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线， AD∥BC.求证：AB=AC． 分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C． 又AD平分∠CAE ∴∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 跟踪训练 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形. 证明：在△ABD和△DCA中， AB=DC， BD=CA， AD=DA， ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC， ∴AE=DE(等角对等边）. ∴ △AED是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 a h 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 作法：如图 . (1)作线段 AB=a； (2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； (3)在MN 上取一点C，使 DC=h； (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. a h A B M N D C 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 例3 如图，在△ABC中，∠BAD=∠C，BE平分∠ABC. 求证：△AEF是等腰三角形 证明：∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵∠BAD=∠C ， ∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠C. ∵∠AFE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠CBE+∠C, ∴∠AFE=∠AEB ， ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 新知探究 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°. 分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. A D B C 1 2 解：∵∠A=36°，∠C=72°, 则由三角形的内角和得，∠ABC=72°, ∴AB=AC. ∵∠DBC=36°， ∴∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°, ∴∠2=∠A， ∴BD=AD, 随堂练习 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°. 分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. ∵∠1是△ABD的一个外角， ∴∠1=∠A+∠2=36°+36°=72°. ∴∠1=∠C， ∴BD=BC, ∴△ABC，△ADB，△BCD都是等腰三角形. A D B C 1 2 随堂练习 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 解：是. 由折叠可得，∠EBD=∠CBD. ∵AD∥BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE， ∴△EBD是等腰三角形. B C A D E F 随堂练习 3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB. 求证OC=OD. A B D C O 解：∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∵AB∥CD， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠C=∠D. ∴OC=OD. 随堂练习 4.在△ABC中，OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN∥BC. 求证：△AMN的周长=AB+AC. 证明：∵ OB平分∠ABC， ∴∠1=∠2. 又 ∵MN∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3. ∴OM=BM. 同理得，ON=CN. O A B C M N 1 2 3 4 5 6 随堂练习 4.在△ABC中，OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN∥BC. △AMN的周长=AB+AC吗？为什么？ ∵ MN=OM+ON， O A B C M N 1 2 3 4 5 6 ∴MN=BM+CN， ∴ △AMN的周长=AM+MN+AN = AM+BM+CN+AN =AB+AC. 随堂练习 等腰三角形 定义法 等角对等边 判定定理法 有两边相等的三角形是等腰三角形 尺规作图 判定 已知底边及底边上的高作等腰三角形 课堂小结 $$