精品解析：黑龙江省智研联盟2025-2026学年高一上学期1月第一次联合考试数学试题

黑龙江省智研联盟 2025-2026学年度上学期1月份第一次联合考试 高一年级数学学科试卷 本试卷共150分，共4页.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用集合的关系、集合的交并补集的定义求解. 【详解】解：由题得，所以选项A错误； ，所以选项B错误； ，所以选项C正确； ，所以选项D错误. 故选：C 2. 已知函数，则下面结论中不正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数在区间有最大值为 D. 函数在区间单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式、两角差的余弦、正弦公式化简函数，然后结合正弦函数的性质判断各选项． 【详解】 ， 因此其最小正周期是，A正确； 时，，是其图象的一条对称轴，B正确； 时，，， 在上递减且，在上递增， 所以时，取得最小值，时，取得最大值，C正确，D错误， 故选：D． 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过中间值即可比较大小. 【详解】易知， ， ， 所以， 故选：C 4. 已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分析知的值域为，当时，，要使的值域为，则，且，即可求出a的取值范围. 【详解】因为的值域为，所以的值域为. 当时，. 当时，①若，即，，此时不满足条件. ②若，即，，此时的值域不可能为. ③若，即，，要使的值域为，则，即 解得：或，又因为，所以. 故选：B. 5. 当时，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值． 【详解】， 当时，， 所以，即时，． 故选：B． 【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式． 6. 设函数的定义域是，对于以下四个命题： ①若是奇函数，则也是奇函数； ②若是严格增函数，则也是严格增函数； ③若是严格减函数，则也是严格减函数； ④若存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点． 其中正确命题的个数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数定义可证得是奇函数，知①正确； 根据复合函数单调性可确定的单调性，知②③的正误； 根据函数与其反函数图象关于对称，可确定与的交点在上，知与有交点，知④正确. 【详解】对于①，为奇函数，， ，为奇函数，①正确； 对于②，是严格增函数，是严格增函数， 由复合函数单调性可知：是严格增函数，②正确； 对于③，是严格减函数，是严格减函数， 由复合函数单调性可知：是严格增函数，③错误； 对于④，对于（4），比如函数，的零有无数个，但是函数没有零点，即(4)不正确. 故选：B. 7. 函数（）的图象关于直线对称，在区间上任取三个实数，，，总能以，，的长边构成三角形，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，从而2f（x）min＞f（x）max且f（x）max＞0，由此能求出实数h的取值范围． 【详解】函数（）的图象关于直线对称 即 ,当时， ，即由三角函数的单调性可知在区间上， 则在区间上任取三个实数，，，总能以，，的长边构成三角形， 且 ，即 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 8. 对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下： （1）不等式变形为. （2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误. （3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，，则 B. 若正数，满足，则的最小值为 C. 函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，构造函数，再结合条件，利用函数的奇偶性，即可求解；对于B，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对于C，利用复合函数的单调性的求法，直接求出的增区间，从而得，即可求解；对于D，利用倍角公及辅助角公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，令 ， 易知的定义域为，关于原点对称，又， 所以为奇函数， 所以，又， 所以，故选项A正确； 对于选项B，因为正数，满足，则， 当且仅当，即时取等号，所以选项B正确； 对于选项C，由，得到， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又为减函数，所以的增区间为， 所以，解得，所以选项C错误； 对于选项D，因为， 所以选项D正确， 故选：ABD. 10. 对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数有4个单调区间 D. 函数有最大值为1，无最小值 【答案】ABCD 【解析】 【分析】写出函数解析式，结合函数图象即可得解. 【详解】根据题意可得：， 作出函数图象可得： 所以该函数是偶函数，有三个零点，四个单调区间，当x=±1时取得最大值为1，无最小值. 故选：ABCD 【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，作出函数图象便于解题. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确. 【详解】画出的图象如下图所示， 由于关于的方程有四个不等实根，，，， 由图可知，故A选项正确. 由图可知关于直线对称，故， 由解得或， 所以， ，当时，，所以B选项错误. 令，，， ，是此方程的解， 所以，或， 故 ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 由图象可知， ，，， 由，解得或， 由，解得或， 所以， ①. 令或， 所以①的等号不成立，即，故C选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是________________ 【答案】,且 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意有，解得且， 故函数的定义域为，且. 故答案为：,且. 13. 若时，取得最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】 （其中，）， 当取最大值时，，∴ ， ∴． 故答案为： 14. 给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________. ①； ②函数有个零点； ③函数的图象关于点对称． ④已知，函数的图象过点，则的最小值是. 【答案】②③ 【解析】 【分析】①分别判断三个数的取值范围进行比较； ②利用函数零点与方程的关系转化为两个函数图象交点问题进行判断； ③判断函数的奇偶性，利用图象平移进行判断； ④利用基本不等式的性质进行求解判断. 【详解】①log0.53＜0，1，0＜（）0.2＜1， ∴log0.53＜（）0.2，故①错误， ②函数f（x）＝log4x﹣2sinx有5个零点； 由f（x）＝log4x﹣2sinx＝0得log4x＝2sinx， 作出函数y＝log4x和y＝2sinx的图象如图： 由图象两个函数有5个交点，即函数f（x）有5个零点，故②正确， ③由0得x（x﹣4）＜0，得0＜x＜4， 则lgx﹣lg（4﹣x）， 则f（x+2）＝lg（x+2）﹣lg（4﹣x﹣2）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x）， 设g（x）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x）， 则g（﹣x）＝lg（2﹣x）﹣lg（2+x）＝﹣（lg（x+2）﹣lg（2﹣x））＝﹣g（x）， 即g（x）是奇函数，关于原点对称，则函数的图象关于点（2，0）对称．故③正确， ④已知a＞0，b＞0，函数y＝2aex+b的图象过点（0，1）， 则2a+b＝1， 则（）（2a+b）＝2+13+23+2， 当且仅当，即b时取等号，即的最小值是3+2，故④错误， 故正确的是②③， 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点、指对函数单调性的应用及对数函数对称性的问题，综合性较强，有一定的难度． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简可得结果； （2）利用对数的运算性质化简可得，由题意推导出，解之即可. 【详解】（1）原式； （2）由已知可得，且，则， 即，也即， 因为，则，于是有，即． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）若为锐角，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角变换公式可得，利用整体法可求单调减区间. （2）利用两角差的余弦可求的值. 【小问1详解】 ， 令，则， 故函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由可得， 因为锐角，故，而， 故，所以， 而. 17. 已知正数，，满足. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据正数加法的性质，结合基本不等式进行证明即可； （2）运用分析法，结合已知等式的变形、三个正数的均值不等式进行证明即可. 【详解】（1）因为，，为正数，且，所以， ，故. （2）分析法：要证：， 只需要证：， 即要证：， 即要证：，① 而，② ，③ 将②③两式相乘，即得待证的①式. 以上每步均可逆，所以原不等式得证. 【点睛】本题考查了已知等式证明不等式问题，考查了基本不等式的应用，考查了用分析法证明不等式，正确的代数式和等式的变形是证明的关键. 18. 一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%. （1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】 （1）由题意可得池每小时剩余原来的，设池要用小时才能把污物的量减少一半，则，两边取对数，计算可得所求值； （2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定，池每小时剩余原来的，可得，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的， 设池要用小时才能把污物的量减少一半， 则，可得， 则池要用7小时才能把污物的量减少一半； （2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定， 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的， 可得，即， 可得， 可得． 则、两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定． 【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的值城 （2）若关于的方程有两个不等根，求的值； （3）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，， 【解析】 【分析】 （1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域； （2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值. （3）令，，，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，再结合（2）知，的取值范围. 【详解】（1）在区间单调进减， 而，，故函数的值域为． （2）因为在单调递减，在单调递增， ，则有，即 故，所以 （3）令，由（1）知 令，因为在单调减，在单调递增， 且，， 则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1； 当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1. 令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于： 对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根， 且有两个不等根，只有一个根，则必有 结合二次函数的图象，则有，解之得， 此时；，则其根，故必有. 【点睛】本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省智研联盟 2025-2026学年度上学期1月份第一次联合考试 高一年级数学学科试卷 本试卷共150分，共4页.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则下面结论中不正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数在区间有最大值为 D. 函数在区间单调递增 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 当时，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域是，对于以下四个命题： ①若是奇函数，则也是奇函数； ②若是严格增函数，则也是严格增函数； ③若是严格减函数，则也是严格减函数； ④若存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点． 其中正确命题的个数是（ ）． A. B. C. D. 7. 函数（）的图象关于直线对称，在区间上任取三个实数，，，总能以，，的长边构成三角形，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，，则 B. 若正数，满足，则的最小值为 C. 函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为 D. 10. 对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数有4个单调区间 D. 函数有最大值为1，无最小值 11. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是________________ 13. 若时，取得最大值，则______． 14. 给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________. ①； ②函数有个零点； ③函数的图象关于点对称． ④已知，函数的图象过点，则的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）若为锐角，，求的值． 17. 已知正数，，满足. 求证：（1）； （2）. 18. 一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%. （1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的值城 （2）若关于的方程有两个不等根，求的值； （3）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $