精品解析：海南省海口中学、三亚中学2025--2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

海口中学三亚中学2025-2026学年度第一学期期末考试九年级数学（海口中学卷） 时量：100分钟 分值： 120分 一.选择题（每小题3分，共36分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. 2 C. D. 4 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看到的图是（ ） A. B. C. D. 3. 安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点关于轴对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 6. 明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 10. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 11. 已知，是方程的两根，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（ ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二.填空题（每小题3分，共12分） 13. 因式分解：____． 14. 如果，且的三边长分别为、、，的最短边长为，那么的周长为___． 15. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为_________． 三.解答题（本大题共72分） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； …… （1）按照以上规律，填空： ①当时，； ②猜想：． （2）兴趣小组经过探究还发现： …… 综合以上探究，猜想：，并给出推理证明． 19. 粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； （2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图； （3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 21. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点A、B的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 22. 在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长． 孙阳的做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________． （2）赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长． 任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程． （3）李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口中学三亚中学2025-2026学年度第一学期期末考试九年级数学（海口中学卷） 时量：100分钟 分值： 120分 一.选择题（每小题3分，共36分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看到的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟记三视图的定义是解题关键．根据左视图的定义“从左面观察物体所得到的视图是左视图”即可得． 【详解】解：从左面看到的图是， 故选：D． 3. 安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为； 故选C． 4. 若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点关于轴对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，轴对称的性质，根据点在第二象限的特征和到坐标轴的距离，确定的坐标，再求关于轴对称的点的坐标． 【详解】解：点在第二象限， 的横坐标为负，纵坐标为正． 点到轴的距离为， ，又， ． 点到轴的距离为， ，又， ． 点的坐标为 ． 点是点关于轴的对称点， 点的横坐标为，纵坐标为． 点的坐标为． 故选：A． 5. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：根据表格可知：天数为天的人数最多，故众数为 共有个数据， 将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和，故中位数为 故选：B． 6. 明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为，根据“跑完一圈明明比妹妹少用”列出方程即可． 【详解】解：设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为， 根据题意，可得． 故选：B． 7. 如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理；在中,，，得到，据此解答即可． 【详解】解：由正方形的面积计算可知，， ∵在中，， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据菱形的性质，推出为等边三角形，证明，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故选C． 11. 已知，是方程的两根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式． 利用一元二次方程根与系数的关系式得，，就可以算出结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（ ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二.填空题（每小题3分，共12分） 13. 因式分解：____． 【答案】x(x-9) 【解析】 【分析】根据提取公因式法分解因式，即可． 【详解】x(x-9)， 故答案是：x(x-9)． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键． 14. 如果，且的三边长分别为、、，的最短边长为，那么的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为3， 两个三角形的最短边为6，3， 的周长的周长， 的周长， 的周长， 故答案为：． 15. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的系数k的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键． 根据的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数k的几何意义和所在的象限，确定k的值即可 ． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理．过作 于，得到正方形，利用正方形的性质可得结论；过作 于，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， ，重合时，有， 点的坐标为； 如图，过作 于，     ，， ， ，， ， ， 由三角形内角和定理可得：， ，， ， 设， 则，，， ，， ， 解得，， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 三.解答题（本大题共72分） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查含三角函数的实数混合运算、解一元二次方程，（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂及三角函数，再进行加减计算； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴，． 18. 为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； …… （1）按照以上规律，填空： ①当时，； ②猜想：． （2）兴趣小组经过探究还发现： …… 综合以上探究，猜想：，并给出推理证明． 【答案】（1）①；② （2）n，，， 证明：， ， ， ， ， ， 所以左边右边，猜想成立． 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②． （2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可． 【小问1详解】 解：①当时，； ②猜想：． 故答案为：①，31；②； 【小问2详解】 略 19. 粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； （2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图； （3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）20，10，90 （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 21. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点A、B的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）、，直线的解析式为 （2）或 （3）所有符合条件的点的坐标为，， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【小问1详解】 解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵、， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴当，时，如图中点，过作轴于， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 同理当，时，如图中点，此时； 当，时，如图中点，此时为中点，则, 综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，． 22. 在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长． 孙阳的做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________． （2）赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长． 任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程． （3）李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________． 【答案】（1） （2） 解：∵是等边三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图，则，，，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）或7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，，证明；推出，利用勾股定理求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，得到，，，，证明，推出，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求解即可； （3）分点在上，点在延长线上，两种情况，同理（2）即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点H， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在上时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 当点在延长线上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或7． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $