专题 7.5 相交线考点与题型专题训练（5大考点14类题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.5 相交线考点与题型专题训练（5大考点14类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 1 【考点一】对顶角与邻补角 1 题型 1：识别图形中的对顶角与邻补角 1 题型 2：利用对顶角相等进行角度计算 2 题型 3：利用邻补角互补进行角度计算 3 题型 4：两条直线相交的基础角度推理 4 【考点二】两条直线垂直 5 题型 5：识别垂线并判断垂直关系 5 题型 6：利用垂直的定义计算角度 6 题型 7：理解 “垂线段最短” 并解决最短路径问题 7 题型 8：计算点到直线的距离 8 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 9 【考点三】对顶角与邻补角的综合推理 9 题型 9：含角平分线的角度综合计算 9 题型 10：利用方程思想求未知角度 10 题型 11：复杂图形中的对顶角与邻补角识别与证明 11 【考点四】垂直的综合应用 12 题型 12：垂直与角平分线的综合推理 12 题型 13：垂线段最短的实际应用 13 【考点五】相交线与生活场景的建模应用 14 题型 14：建筑与工程中的垂直与距离问题 14 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】对顶角与邻补角 题型 1：识别图形中的对顶角与邻补角 1．（23-24七年级下·四川·月考）如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 2．（23-24七年级下·山东日照·月考）如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 题型 2：利用对顶角相等进行角度计算 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，直线相交于点O，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）直线与相交于点，，平分，求的度数． 3．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）如图，直线与直线相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 4．（23-24七年级下·吉林·月考）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 题型 3：利用邻补角互补进行角度计算 1．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，，，点，，在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数是 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线与直线相交于点，平分，，则是多少度？ 4．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，直线与相交于O，是的平分线，，． (1)求的度数； (2)试说明平分． 题型 4：两条直线相交的基础角度推理 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为(    ) 因为， 所以(依据：______) A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．同位角相等 2．（24-25七年级下·山西晋中·月考）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是 ． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 4．（22-23七年级上·江西南昌·期末）如图，将一副标准的三角尺按如下四种不同位置摆放． (1)图①中，与的关系是__________，理由是__________； (2)图②中，与的关系是__________，理由是__________； (3)图③中，与的关系是__________，理由是__________； (4)图④中，与的关系是__________，理由是__________． 【考点二】两条直线垂直 题型 5：识别垂线并判断垂直关系 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一对邻补角的角平分线互相 ．（填写它们的位置关系） 题型 6：利用垂直的定义计算角度 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 题型 7：理解 “垂线段最短” 并解决最短路径问题 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 2．（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 4．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 题型 8：计算点到直线的距离 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西朔州·月考）如图，点在直线上，，，，，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为_____． ②直接写出和的大小关系． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 4．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点三】对顶角与邻补角的综合推理 题型 9：含角平分线的角度综合计算 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知直线和相交于点O，平分，，则下列结论中：①；②；③；④．正确的为（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 4．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 题型 10：利用方程思想求未知角度 1．（天津市西青区205-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）在中，比大，比大，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，射线，将分割成，，，三个角，若其中的一个角是其他两个角的和的2倍，我们称射线，为的“美妙分割线”．已知，为的“美妙分割线”，，，则的度数为 ． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 4．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线相交于点．∠，若，求的度数． 题型 11：复杂图形中的对顶角与邻补角识别与证明 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是 ． 3．（24-25七年级下·吉林白城·月考）如图，直线、相交于点O，把分成两部分． (1)写出图中的对顶角：__________，的邻补角：__________； (2)若且，求的度数． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【考点四】垂直的综合应用 题型 12：垂直与角平分线的综合推理 1．（23-24七年级下·河北邢台·月考）下图是投影屏上出现的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容，则回答错误的是（    ） 如图，是直线上一点，，是的平分线，于点．求的度数．（请补全下面的解题过程） 解：是直线上一点，， § ． 是的平分线， @ ．（角平分线的定义） ． 于点，（已知） ，（&） __#_．    A．“§”表示130 B．“@”表示 C．“&”表示垂直的定义 D．“#”表示35 2．（2024·江西上饶·二模）如图，直线，相交于点，，垂足为点．当直线绕着点在内部转动，是的角平分线，若，则，则关于的函数关系式为 ． 3．（2025七年级上·重庆·专题练习）已知直线，，交于点，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，证明：． 4．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，、、在一条直线上，已知，平分，． (1)若，求的度数． (2)当___________时，是的角平分线． 题型 13：垂线段最短的实际应用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，在线段的延长线上有一个动点，连接，已知平分．请问：当点运动时，的值是否发生变化？如果不发生变化，求出这个比值；如果发生变化，请说明理由． 3．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）动点与角 如图，是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，的度数是多少？ (3)若（），请直接用含的式子表示的度数． 【考点五】相交线与生活场景的建模应用 题型 14：建筑与工程中的垂直与距离问题 1．（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.5 相交线考点与题型专题训练（5大考点14类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 1 【考点一】对顶角与邻补角 1 题型 1：识别图形中的对顶角与邻补角 1 题型 2：利用对顶角相等进行角度计算 3 题型 3：利用邻补角互补进行角度计算 6 题型 4：两条直线相交的基础角度推理 8 【考点二】两条直线垂直 11 题型 5：识别垂线并判断垂直关系 11 题型 6：利用垂直的定义计算角度 13 题型 7：理解 “垂线段最短” 并解决最短路径问题 16 题型 8：计算点到直线的距离 18 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 21 【考点三】对顶角与邻补角的综合推理 21 题型 9：含角平分线的角度综合计算 22 题型 10：利用方程思想求未知角度 25 题型 11：复杂图形中的对顶角与邻补角识别与证明 28 【考点四】垂直的综合应用 31 题型 12：垂直与角平分线的综合推理 31 题型 13：垂线段最短的实际应用 35 【考点五】相交线与生活场景的建模应用 37 题型 14：建筑与工程中的垂直与距离问题 37 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】对顶角与邻补角 题型 1：识别图形中的对顶角与邻补角 1．（23-24七年级下·四川·月考）如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义求解即可． 【详解】解：的对顶角是， 故选C 2．（23-24七年级下·山东日照·月考）如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念．根据对顶角和邻补角概念逐项判断即可．有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．熟练掌握两者定义是解题的关键． 【详解】解：图①和没有公共顶点，故和不是一组对顶角，故A不符合题意； 图②中的其中一边不是的反向延长线，故和不是一组对顶角，故B不符合题意； 图③中和相加不等于，所以和不是邻补角；故C不符合题意； 图④中和两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 题型 2：利用对顶角相等进行角度计算 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，直线相交于点O，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，由对顶角的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）直线与相交于点，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等，角平分线的定义是解题的关键． 根据对顶角相等得出，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵与是对顶角，根据对顶角相等的性质， ∴ ∵平分， ∴． 3．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）如图，直线与直线相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据平角的定义可得，再由角平分线的定义可得，最后再由对顶角相等即可得解； （2）设，，则，，由角平分线的定义可得，再由平角的定义求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：， 理由：设，，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·吉林·月考）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：50． 题型 3：利用邻补角互补进行角度计算 1．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，，，点，，在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是角的和与差．熟练掌握余角与补角定义，平角的定义，是解题的关键． 根据已知条件即可求出，然后根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C，O，D在同一条直线上， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，对顶角，邻补角的含义，先根据角平分线定义得出，再根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线与直线相交于点，平分，，则是多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线以及平角的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键．先根据邻补角互补求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：直线与直线相交于点，， ， 平分， ， ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，直线与相交于O，是的平分线，，． (1)求的度数； (2)试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了对顶角相等、角平分线、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）先根据邻补角可得，再根据角平分线的定义即可得； （2）先根据角的和差可得，再根据对顶角相等可得，则可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． （2）解：由（1）已得：， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴平分． 题型 4：两条直线相交的基础角度推理 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为(    ) 因为， 所以(依据：______) A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义是正确判断的关键．根据“同角的补角相等”进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以(依据：同角的补角相等) 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西晋中·月考）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是 ． 【答案】同角的补角相等 【分析】本题考查对顶角相等，补角的性质，根据同角的补角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴和都是的补角， ∴依据同角的补角相等可得， 故答案为：同角的补角相等． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 【答案】见解析 【分析】本题考查了等角的补角相等．利用邻补角的关系求得，，据此即可证明． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 4．（22-23七年级上·江西南昌·期末）如图，将一副标准的三角尺按如下四种不同位置摆放． (1)图①中，与的关系是__________，理由是__________； (2)图②中，与的关系是__________，理由是__________； (3)图③中，与的关系是__________，理由是__________； (4)图④中，与的关系是__________，理由是__________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等判断即可； （2）利用平角的定义判断即可； （3）利用邻补角的性质计算即可； （4）利用周角减去2个直角即可． 【详解】（1）解：如图①，， ∵， ∴； （2）如图②，， ∵， ∴； （3）如图③，， ∵， ， ∴； （4）如图④，， ． 【点睛】本题考查了余角和补角，结合图形找出与之间的关系是解题的关键． 【考点二】两条直线垂直 题型 5：识别垂线并判断垂直关系 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 【答案】B 【分析】钟表上，时针每小时移动，每分钟移动；分针每分钟移动．垂直时，时针与分针的角度差为或（但最小角度为90°）．通过计算各时刻时针与分针的角度差，可判断是否垂直． 本题重点考查的是钟面角问题，明确某一时刻，分针与时针所成角的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 时针速度：，分针速度：． A、 时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； B、时整， 时针角度， 分针角度， 角度差，垂直，正确，符合题意； C、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； D、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一对邻补角的角平分线互相 ．（填写它们的位置关系） 【答案】垂直 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，垂直．从位置上看，邻补角的顶点相同，它们的角平分线也经过这个顶点；从大小上看，邻补角的和为，故它们的角平分线的夹角就是，即垂直． 【详解】解：因为邻补角的大小关系：和是180度， 所以两个角的平分线组成的角的度数为：． 所以一对邻补角的角平分线的位置关系是互相垂直． 故答案为：垂直． 题型 6：利用垂直的定义计算角度 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，掌握好余角和对顶角的概念是解题关键． 由可得，，从而计算出，根据对顶角相等，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型 7：理解 “垂线段最短” 并解决最短路径问题 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 2．（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 4．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 题型 8：计算点到直线的距离 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的性质； 根据直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段最短，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵点是直线外一点，在直线上，且，，， ∴直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短可得：点到直线的距离小于或等于， 故选：D； 2．（24-25七年级下·山西朔州·月考）如图，点在直线上，，，，，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为_____． ②直接写出和的大小关系． 【答案】(1)； (2)①4；②． 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）根据点到直线的距离解答即可； （3）根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为． 故答案为：4； ②∵，， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）线段的长度是点P到直线的距离， 故答案为：； （3）如图：， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点三】对顶角与邻补角的综合推理 题型 9：含角平分线的角度综合计算 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知直线和相交于点O，平分，，则下列结论中：①；②；③；④．正确的为（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角、角的概念、角平分线的定义，灵活运用以上知识点是解题的关键． 先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差求出，进而求出的度数，最后利用角的和差求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①②③正确． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可． 本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3) 【分析】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 4．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得，进而根据，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型 10：利用方程思想求未知角度 1．（天津市西青区205-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）在中，比大，比大，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理应用，熟练掌握三角形内角和定理，是解题的关键．利用三角形内角和为，设为，表示出和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，射线，将分割成，，，三个角，若其中的一个角是其他两个角的和的2倍，我们称射线，为的“美妙分割线”．已知，为的“美妙分割线”，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，一元一次方程的应用，设，则，根据“美妙分割线”定义∶其中一个角是其他两个角和的2倍，分三种情况，列出关于x的方程求解即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据“美妙分割线”定义∶其中一个角是其他两个角和的2倍， 分三种情况讨论 情况1∶ 即 解得：，符合题意； 情况2∶ 即无解， 情况3∶ 即 解得：，符合题意； 综上的度数为或， 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)是的角平分线，理由见解析． 【分析】本题考查的是一元一次方程的几何应用，对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，几何图形的角度运算，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键． （1）根据对顶角相等求出的度数，设，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ， ， 解得， ； （2）解：是的角平分线，理由如下： 由（1）得． ， 又平分， ， 又， ， 是的角平分线． 4．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线相交于点．∠，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的性质和角的和差关系，解题的关键是利用邻补角求出的度数，再结合角的比例关系列方程求解．设，由，得，列方程，求解即可． 【详解】解：设， ， ， ， 根据邻补角得：， ， 即， 解得：， 故， 题型 11：复杂图形中的对顶角与邻补角识别与证明 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 【答案】C 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，邻补角与对顶角的性质，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角、有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的性质与角平分线的定义，掌握邻补角和为180°、角平分线平分角是解题的关键． 先利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角的和为得到的度数，最后结合与的数量关系，列方程求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵与是邻补角， ∴， 设，由，得， ∵， ∴， 解得， 故的度数是． 故答案为80°． 3．（24-25七年级下·吉林白城·月考）如图，直线、相交于点O，把分成两部分． (1)写出图中的对顶角：__________，的邻补角：__________； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)，与 (2) 【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义即可得解； （2）由对顶角的性质可得，由可得，由邻补角的定义可得，最后再根据即可得解． 本题主要考查了对顶角、邻补角的性质以及角的和差的计算．熟练掌握对顶角、邻补角的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的对顶角是， 的邻补角是与， 故答案为：，与 （2）解：∵，且， ∴， 又∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可； （2）设，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）由图可知：的对顶角为，的邻补角为． （2）设，则． ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴ ∴． 【考点四】垂直的综合应用 题型 12：垂直与角平分线的综合推理 1．（23-24七年级下·河北邢台·月考）下图是投影屏上出现的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容，则回答错误的是（    ） 如图，是直线上一点，，是的平分线，于点．求的度数．（请补全下面的解题过程） 解：是直线上一点，， § ． 是的平分线， @ ．（角平分线的定义） ． 于点，（已知） ，（&） __#_．    A．“§”表示130 B．“@”表示 C．“&”表示垂直的定义 D．“#”表示35 【答案】D 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、垂直定义、角的互余等知识，根据题中步骤，按要求求解即可得到答案，熟练掌握角平分线定义、垂直定义，数形结合表示出角的和差倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：是直线上一点，， ． 是的平分线， ．（角平分线的定义） ． 于点，（已知） ，（垂直的定义） ． 综上所述，“§”表示130；“@”表示；“&”表示垂直的定义；“#”表示25； 故选：D． 2．（2024·江西上饶·二模）如图，直线，相交于点，，垂足为点．当直线绕着点在内部转动，是的角平分线，若，则，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】先由角平分线定义得：，由垂直定义和角的和差，再根据，得到与的关系，进而得解． 【详解】∵是的角平分线，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案是． 【点睛】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，补角的定义，由，，推导出关于的函数关系式是解本题的关键． 3．（2025七年级上·重庆·专题练习）已知直线，，交于点，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用两角之差算出，然后利用互补计算出即可； （2）先算出，再算出即可论证结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的和差倍分、角平分线、垂直的定义、邻补角的定义，关键是角的和差倍分． 4．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，、、在一条直线上，已知，平分，． (1)若，求的度数． (2)当___________时，是的角平分线． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了角度的计算能力，角平分线，邻补角的相关计算，关键是能准确理解并运用邻补角、角平分线和垂直的定义． （1）运用邻补角和角平分线的定义进行计算、求解； （2）运用角平分线和垂直的定义进行求解． 【详解】（1）解：在一条直线上， ， ， 平分， ， ， ； （2）由（1）可得，， ． ， 当是的角平分线时，， ， 当时，是的角平分线， 故答案为：10． 题型 13：垂线段最短的实际应用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，在线段的延长线上有一个动点，连接，已知平分．请问：当点运动时，的值是否发生变化？如果不发生变化，求出这个比值；如果发生变化，请说明理由． 【答案】 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的定义，二元一次方程的应用，设，，由角平分线的定义可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）动点与角 如图，是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，的度数是多少？ (3)若（），请直接用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，邻补角互补，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据结合图形可得，根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）先求得进而根据，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：，， ； （3）解：当时， ， 平分， ， ． 【考点五】相交线与生活场景的建模应用 题型 14：建筑与工程中的垂直与距离问题 1．（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    【答案】3米（答案不唯一） 【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：米，米， 点A到的距离d小于或等于4米， 点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）． 故答案为：3米（答案不唯一）． 【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据垂线段最短的性质进行解答解答． 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $