专题7.2.1-2平行线及其判定【八大考点+八大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦平行线及其判定核心知识点，系统梳理平行线定义、平行公理、推论及同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等五种判定方法，构建从概念到公理再到具体应用的逻辑递进学习支架。 资料通过表格记忆结构化呈现判定依据与适用场景，结合影院座位、铁轨等生活实例培养数学眼光，规范几何语言表述提升推理意识与表达能力。课中辅助分层教学，课后高分演练助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题7.2平行线及其判定 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1. 平行线定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：a∥b（直线a平行于直线b）。 知识点2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 ▶ 易错点：若点在直线上，无法作该直线的平行线。 知识点3. 平行公理的推论（传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。几何语言：若a∥c，b∥c，则a∥b。 知识点4、平行线的判定方法（重点） 判定方法 1：同位角相等，两直线平行 文字表述：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。几何语言：∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。 判定方法 2：内错角相等，两直线平行 文字表述：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行。几何语言：∵∠3=∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行 文字表述：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补（和为180∘），则这两条直线平行。几何语言：∵∠4+∠2=180∘（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。 判定方法 4：平行公理推论（传递性判定） 文字表述：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。几何语言：∵a∥c，b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行）。 判定方法 5：垂直于同一直线的两直线平行（平面内专属） 文字表述：在同一平面内，若两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。几何语言：∵a⊥c，b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）。 表格记忆 判定依据 关键条件 适用场景 同位角相等 角相等 截线同侧，易识别的角关系 内错角相等 角相等 截线两侧，被截线内部的角关系 同旁内角互补 角和为180∘ 截线同旁，被截线内部的角关系 平行传递性 都平行于第三条直线 无直接角关系，有中间平行线搭桥 垂直同一直线 同一平面内，都垂直第三条直线 有垂直条件，证平行 【题型探究】 题型一：两直线的位置关系 【例1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（    ） A．一定与两条平行线都平行 B．可能与两条平行线都相交或都平行 C．一定与两条平行线都相交 D．可能与两条平行线中的一条平行或相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理和两直线的位置关系，平面内，两条直线只有平行和相交两种位置关系，那么同一平面内，一条直线和两条平行线的位置关系要么都相交，要么都平行，据此可得答案． 【详解】解：A、一条直线和两条平行线不一定都平行，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，一条直线和两条平行线可能与两条平行线都相交或都平行，原说法正确，符合题意； C、一条直线和两条平行线不一定与都相交，原说法错误，不符合题意； D、一条直线不可能和两条平行线中的一条平行或相交，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南商丘·月考）电影《哪吒之魔童闹海》的总票房截至2月18日已突破123.2亿元，暂列全球影史票房榜第8位，同时登顶全球动画电影票房榜．某影院1号厅正在播放《哪吒之魔童闹海》，若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．已知该影厅共有15排，20列座位，以下说法正确的是（    ） A．第3排和第3列所在的直线是平行关系 B．第5排和第10排所在的直线是相交关系 C．第2列和第18列所在的直线没有交点 D．第4排和第6列所在直线的交点一定是第6排的第4个座位 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，根据若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．一一判断即可． 【详解】解：．第3排和第3列所在的直线是垂直关系，原说法错误，故该选项不符合题意； ．第5排和第10排所在的直线是平行关系，原说法错误，故该选项不符合题意； ．第2列和第18列所在的直线没有交点，原说法正确，故该选项符合题意； ．第4排和第6列所在直线的交点一定是第4排的第6个座位，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题主要考查平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．根据平行线的定义选择． 【详解】解：A．应该是不相交的两条直线，故错误； B．还有平行的情况，故错误； C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确； D．应该是在同一平面内，故错误． 故选：C． 题型二：平行公理及推论 【例2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可． 【详解】解∶ ，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选∶D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】该题主要考查了平行公理及推论，平行线的定义，熟记平行公理及推论，平行线的定义是解题的关键． 根据平行公理及推论，平行线的定义解答即可． 【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故A选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误，不符合题意； 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，故C选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 题型三：同位角判断直线平行 【例3】．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 【举一反三1】 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定方法；根据同位角相等，两直线平行即可判断 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，和互补就可以判断的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行线的判定的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， 令， ∴， 即，和互补， ∴只有和互补就可以判断； 故选：D； 题型四：内错角相等判断直线平行 【例4】．（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 题型五：同旁内角互补判断直线平行 【例5】．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上．下列能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，对每个选项逐一进行分析． 【详解】解：A、与是内错角，若，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，符合题意； B、与，是同位角，但不能判定，不符合题意； C、与，既不是同位角，也不是内错角，所以不能判定，不符合题意； D、，与不是同旁内角，所以不能判定，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理，准确判断角之间的关系是否符合判定定理的要求． 3．（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 题型六：垂直于同一直线的两直线平行 【例6】．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江·假期作业）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；据此逐个判断得结论． 【详解】解：A：若，，则，故该说法错误，不符合题意； B：若，，则，故该说法错误，不符合题意； C：若，，则，故该说法错误，不符合题意； D：若，，则，故该说法正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利．更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．根据“垂直于同一直线的两直线平行”进行解答即可． 【详解】解：在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是：“垂直于同一直线的两直线平行”． 故选：B． 题型七：判断可以使平行成立的条件 【例7】．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），本选项不符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，本选项符合题意； C、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），本选项不符合题意； D、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 题型八：平行线的综合问题 【例8】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 【举一反三】 1．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·全国）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）  （2）（3）   见解析 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．过一点有无数条直线与已知直线平行． B．平面内三条直线，，，如果，，那么． C．相等的角一定是对顶角． D．如果，，那么． 【答案】B 【分析】本题考查平行公理的推论，平行线的判定，对顶角定义及垂直关系的判断，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此可判断A；根据平行公理的推论可判断B；根据对顶角的定义可判断C；根据同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可判断D． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，过直线上一点，没有直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； B、如果，，那么，原说法正确，符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； D、同一平面内，如果，，那么，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，下列推理错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可以推出平行，逐项判断即可． 【详解】解：A、，由同位角相等，两直线平行，可得，推理正确，选项错误； B、，由同旁内角互补，两直线平行，可得，推理正确，选项错误； C、，由内错角相等，两直线平行，可得，推理正确，选项错误； D、，没有位置关系，无法判断平行，推理错误，选项正确； 故选：D 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 7．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 二、填空题 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 9．（25-26七年级上·吉林长春·期末）小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结的这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的正确的基本事实的序号为_____． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查直线，线段，垂直的性质，平行公理和平行线的判定，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：①两点确定一条直线，正确； ②两点之间直线最短，错误，应为两点之间线段最短； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ④过一点有且只有一条直线与这条直线平行，错误，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤同位角相等，两直线平行，正确． 故答案为：①③⑤ 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 11．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是____________（填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 【答案】等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理和垂直的定义，首先利用已知角的度数，通过等量代换得到同位角，依据同位角相等判定与平行；再根据垂直的定义得到直角，计算出和的度数，通过等量代换得到这两个同位角相等，进而判定与平行． 【详解】解：(已知) (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)； 又， (等式的性质)； 同理可得； (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， 故答案为：等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行． 15．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 16．（24-25七年级下·江西赣州·期末）请把下面的推理过程补充完整，并在括号里注明理由． 如图，已知平分，平分，，求证：． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （    ）， （平角等于）， ___________， （已知）， （    ）， ， ___________（    ）， （    ） 【答案】角平分线的定义，，同角的余角相等，，等量代换，内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定和角平分线的定义等知识，证明是关键． 根据角平分线的定义，再根据已知得到，即可证明． 【详解】证明：平分（已知） （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （平角等于）， ， （已知）， （同角的余角相等）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，同角的余角相等，，等量代换，内错角相等，两直线平行 17．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2平行线及其判定 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1. 平行线定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：a∥b（直线a平行于直线b）。 知识点2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 ▶ 易错点：若点在直线上，无法作该直线的平行线。 知识点3. 平行公理的推论（传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。几何语言：若a∥c，b∥c，则a∥b。 知识点4、平行线的判定方法（重点） 判定方法 1：同位角相等，两直线平行 文字表述：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。几何语言：∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。 判定方法 2：内错角相等，两直线平行 文字表述：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行。几何语言：∵∠3=∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行 文字表述：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补（和为180∘），则这两条直线平行。几何语言：∵∠4+∠2=180∘（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。 判定方法 4：平行公理推论（传递性判定） 文字表述：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。几何语言：∵a∥c，b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行）。 判定方法 5：垂直于同一直线的两直线平行（平面内专属） 文字表述：在同一平面内，若两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。几何语言：∵a⊥c，b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）。 表格记忆 判定依据 关键条件 适用场景 同位角相等 角相等 截线同侧，易识别的角关系 内错角相等 角相等 截线两侧，被截线内部的角关系 同旁内角互补 角和为180∘ 截线同旁，被截线内部的角关系 平行传递性 都平行于第三条直线 无直接角关系，有中间平行线搭桥 垂直同一直线 同一平面内，都垂直第三条直线 有垂直条件，证平行 【题型探究】 题型一：两直线的位置关系 【例1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【举一反三】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（    ） A．一定与两条平行线都平行 B．可能与两条平行线都相交或都平行 C．一定与两条平行线都相交 D．可能与两条平行线中的一条平行或相交 2．（24-25七年级下·河南商丘·月考）电影《哪吒之魔童闹海》的总票房截至2月18日已突破123.2亿元，暂列全球影史票房榜第8位，同时登顶全球动画电影票房榜．某影院1号厅正在播放《哪吒之魔童闹海》，若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．已知该影厅共有15排，20列座位，以下说法正确的是（    ） A．第3排和第3列所在的直线是平行关系 B．第5排和第10排所在的直线是相交关系 C．第2列和第18列所在的直线没有交点 D．第4排和第6列所在直线的交点一定是第6排的第4个座位 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 题型二：平行公理及推论 【例2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【举一反三】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 题型三：同位角判断直线平行 【例3】．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【举一反三1】 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，和互补就可以判断的角是（   ） A． B． C． D． 题型四：内错角相等判断直线平行 【例4】．（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A．B．C． D． 题型五：同旁内角互补判断直线平行 【例5】．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上．下列能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型六：垂直于同一直线的两直线平行 【例6】．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江·假期作业）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利．更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 题型七：判断可以使平行成立的条件 【例7】．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八：平行线的综合问题 【例8】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【举一反三】 1．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 3．（25-26七年级下·全国）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．过一点有无数条直线与已知直线平行． B．平面内三条直线，，，如果，，那么． C．相等的角一定是对顶角． D．如果，，那么． 3．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，下列推理错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 7．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 9．（25-26七年级上·吉林长春·期末）小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结的这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的正确的基本事实的序号为_____． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 11．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是____________（填序号）． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 14．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 15．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 16．（24-25七年级下·江西赣州·期末）请把下面的推理过程补充完整，并在括号里注明理由． 如图，已知平分，平分，，求证：． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （    ）， （平角等于）， ___________， （已知）， （    ）， ， ___________（    ）， （    ） 17．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $