精品解析：吉林省和龙市2026届高三上学期期末学科质量检测数学试题

2025-2026 学年第一学期高三学科质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本卷考察内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的几何意义可得. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 2. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，而， 故，解得， 故选：B 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，， 故， 故选：B. 4. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 5. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图像，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，故排除A； 对于B，函数的定义域为，故排除B； 对于D，恒成立，当且仅当时等号成立，故排除D. 故选：C. 6. 某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A. 16时 B. 17时 C. 18时 D. 19时 【答案】D 【解析】 【分析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可． 【详解】解：由题意可知，时，， 由五点法作图可知：如果当时，函数取得最大值可得：，可得， 此时函数，函数的周期为：， 该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足， 如果当时，函数取得最小值可得：，可得， 此时函数，函数的周期为：， 时，，如图： 该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足， 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题． 7. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由根据题意可得切线，即可得切线斜率. 8. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，，利用二倍角的余弦公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由三角函数的定义可知，，， 则， 因为，其中， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6 D. 已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由方差的性质：即可求解；对B，根据百分位数的定义即可求解；对C，根据极差和平均数的定义即可求解；对D，根据平均数的定义即可求解. 【详解】对A，，，，，，的方差为2， ，，，，，的方差为，故A对； 对B，数据8，9，10，11，12共个数，， 故数据8，9，10，11，12的第80百分位数是：，故B对； 对C，数据0，1，2，4的极差为：，平均数为：， 故极差与平均数之积为：，故C错； 对D，一组不完全相同的数据，，，的平均数为， ，故， 故，故D对. 故选：ABD. 10. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面截正方体所得的截面面积为9 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】连接，求得，利用勾股定理的逆定理可判断A；取的中点，连接，利用线面位置关系可得平面，可判断B；连接，可得截面为四边形，求得面积可判断C；利用四边形为梯形，可判断D. 【详解】对于A，连接， 因为分别为的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又易求得， 所以，所以不垂直于， 所以不垂直于，故A错误； 对于B，取的中点，连接， 由E、F、G分别为的中点，所以可得， 又平面，平面，所以平面， 又易得，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，又， 所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确. 对于C，连接，因为E、F分别为的中点， 所以易得，且，则四点共面， 所以平面截正方体所得的截面为四边形， 由题意可得， 所以四边形为等腰梯形，所以梯形的高为， 所以四边形的面积为，故C错误； 对于D，易知，又因为E、F分别为的中点， 所以，且，则四点共面， 所以四边形为梯形，又为相交直线， 所以存在实数使得，又因为且， 所以，所以存在实数使得，故D正确. 故选：BD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴，轴，原点均对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题定义可得双纽线方程.对于A，可分别用替换原方程的验证方程是否不变即可；对于B，可根据求出的范围；对于C，将双纽线方程分离出一个,再求另一侧的最大值；对于D，联立直线与双纽线方程，使其仅有唯一解即可. 【详解】根据双纽线的定义可得，,整理化简得： . 对于A：分别用替换原方程的,方程不变，故A正确； 对于B：对化成关于的一元二次方程得， ，舍去负根，得：. ,两边平方后化简， 得,解得, 即,故B正确. 对于C：易知当最大时，必不在坐标原点，因此可写为： ,当时取到等号， 因此,即双纽线上任意一点到原点的距离都不超过，故C正确. 对于D：直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点， 联立与双纽线方程,整理得： ,解得或. 要使方程只有唯一解，则,解得或,故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 13. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望__________. 【答案】1.52 【解析】 【分析】根据题意，X的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列. 【详解】由题意，X的取值分别为1，2，3. ，，. ∴李明参加考试次数X的分布列为： X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 . 故答案为：. 14. 抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____. 【答案】. 【解析】 【分析】利用抛物线性质，可得焦点在轴上，即椭圆的，再利用角平分线的性质，结合正弦定理可证明，，然后利用已知条件可求得，再利用导数来求切线方程，构造递推关系，可判断等比数列，问题即可求解. 【详解】因为焦点在轴上， 所以椭圆的焦点在轴上，故，且， 由是的内心，交轴于，连接，则平分， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 其中，故，又， 所以式子①与②相除得：， 根据已知条件：，故， 同理可得，， 由椭圆定义可知，， ，解得，即焦点坐标为，所以抛物线方程为， 由，故抛物线在处的切线方程为， 即，又，故， 令得，，因为，所以， 所以是首项16，公比的等比数列， 即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. （1）求三人中恰有两人命中目标的概率； （2）在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率. 【答案】（1）0.45； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）根据间接法和条件概率公式计算即可； 【小问1详解】 根据题意，设“甲命中目标”，“乙命中目标”，“丙命中目标”，“三人中恰有两人命中目标”， 则，，，， 故 ； 【小问2详解】 设目标至少被击中一次为事件，则，故， ， 因为事件（甲命中目标）发生，则事件（目标至少被击中一次）必然发生，所以， 故，所以， 所以. 16. 如图，与所在平面垂直，且． （1）证明：． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 延长，过点作，交于点，连接. 由平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由，得， 故，. 又，得，则，即. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由，知，，，， 所以，，因为， 所以，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，由面面垂直性质定理证明平面，再证明，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论. （2）分别求出平面与平面的法向量，然后利用平面夹角公式求解即可. （3）求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的法向量， 又， 设平面的法向量为， ， 令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 所以点到平面的距离为. 17. 已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设条件结合以及等比数列的定义即可求解； （2）由错位相减法即可求解； （3）将恒成立问题转化为对任意恒成立，再求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为数列的前项和满足， 所以当时，， 当时，， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）， 所以数列的前项和， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）若对任意恒成立， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 因为为上的减函数，所以， 所以. 18. 如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：分别延长线段与双曲线交于，由于， 由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点， 关于原点对称，故， 设，且， 联立，，， 所以. 由两点距离公式，， 所以， 由韦达定理，， （ii）证明：设，由(i)知，即：， 由双曲线的定义知，， 由于，根据平面几何知识，， 所以， ， 由椭圆定义知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 由得，其方程为， 所以当点在双曲线上运动时，点在椭圆上运动. 【解析】 【分析】（1）先由平行关系得到线段比例与纵坐标关系，设出直线方程并联立双曲线方程，再通过消元与代数运算求出直线斜率. （2）（ⅰ）利用双曲线的对称性得到线段等量关系，设直线方程并联立双曲线，结合韦达定理与两点距离公式，化简证明表达式为定值. （ⅱ）先由(i)的结论得到线段长度关系，再结合双曲线定义与平行线分线段成比例，推出点P到两焦点的距离之和为定值，最后根据椭圆定义确定椭圆方程. 【小问1详解】 双曲线两个焦点坐标为， 由可知，，故， 两条平行线设为， 分别与联立，得， 进而有 将②-①×9得，，代入①式得， 因为，所以，故，所求斜率为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由： 由于，所以与的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点. 不妨设的两个零点为，，的两个零点为，， 则有， 因为，得，① 所以，② 又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况： （1）当时，即，，，成等差数列，则有，③ 由②③得， 代入①得，，④ 又，⑤ 将④代入⑤式可得， 由等差数列性质及，可得，从而有， 可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在； （2）当时，即，，，成等差数列，则，③ 由②③得，同理得，，④ 又，⑥ 将④代入⑥式可得， 代入③可得，解得，， 这与④矛盾，故实数不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得答案； （2）求导，判断的单调性，求出极值，列式运算得解； （3）由，得与的零点个数相同，所以与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可. 【小问1详解】 由， 当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，. 故有两个零点，即，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年第一学期高三学科质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本卷考察内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A. 16时 B. 17时 C. 18时 D. 19时 7. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6 D. 已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则 10. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面截正方体所得的截面面积为9 D. 存在实数使得 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴，轴，原点均对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 13. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望__________. 14. 抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. （1）求三人中恰有两人命中目标的概率； （2）在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率. 16. 如图，与所在平面垂直，且． （1）证明：． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 17. 已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $