精品解析：广东省汕头市潮阳区六校联盟2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级第三次核心素养质量测评（数学试卷） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握其定义和表示形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”及表示形式“”进行判定即可求解． 【详解】解：A、，含有一个未知数，不符合题意； B、，含有两个未知数，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、方程中不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2. 已知的半径为2，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内， （d即点到圆心的距离，即圆的半径）判断即可． 【详解】解：的半径为2，， ∴点A在内． 故选：A． 3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 5. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故选：D． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式解答即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴ 故没有实数根， 故选：B． 7. 中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为：． 故选：A． 8. 某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设拱桥的圆心为，连接、，设拱桥的半径为，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为，连接、， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，，， 则， ， 在中，根据勾股定理，可得： ， 即：， 解得：， 故选：． 9. 一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， 是等边三角形， ， 则这个正多边形的边数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的图象，得，根据函数图象分布性质解答即可． 本题考查了函数图象的分布，熟练掌握分布规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线开口向上，故， 抛物线与y轴交于负半轴， 故， 由抛物线的对称轴在原点的左侧， 故， 故， 故的图象经过一、三、四象限，的图象经过二、四象限， 故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，关于原点对称，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据原点对称的两个点，横坐标，纵坐标分别互为相反数，解答即可． 本题考查了点的对称，熟练掌握对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据点，关于原点对称， 得， 故． 故答案为：． 12. 成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“刻舟求剑”描述的事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”的概念是解题的关键． 随机事件：指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件：在一定的条件下重复进行试验时必然会发生的事件；根据上述概念辨析即可求解． 【详解】解：成语“刻舟求剑”描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能 ． 13. 若关于x的方程的两根为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．根据一元二次方程的根与系数关系可知，，将算式的值代入中即可求解． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 则． 故答案为：2． 14. 把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：先向左平移2个单位，得到，再向上平移2个单位． 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作于点，有矩形的性质得到，，根据题意可得，，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵顶点在函数的图象上， ∴， ∵点是矩形内的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（ 1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （ 2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 所以； 【小问2详解】 或 所以 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 17. 为了落实“2·15”专项行动，某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目． （1）甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为______； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，那么选中“羽毛球”项目的概率为； （2）分别用、、、表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【小问1详解】 解：甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分别用、、、表示篮球、足球、排球、羽毛球，列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的情况有12种，即甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的概率是． 答：甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的概率是． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是单位 （1）画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的； （2）请直接写出，，三点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），， 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系中图形的位置可知：，，． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某商家购进一批产品，成本为元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元． （1）求关于的函数关系式． （2）当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？ 【答案】（1） （2）当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据一次函数的性质，设关于的函数关系式为，通过计算即可得到答案； （2）结合（1）的结论，首先得到线上和线下的月利润总和，在结合题意列一元二次方程并求解，即可得到答案. 【小问1详解】 ∵售价每增加元，线下月销量就减少件， ∴设关于的函数关系式为 ∵售价为元时，线下月销量为件， ∵， ∴， ∴关于的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，线上和线下的月利润总和 依题意得：， 整理得：， ∴ ∴，， 要让顾客得到更多优惠， ∴ ∴当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠． 【点睛】本题考查了一次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解. 20. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 21. 如图，在直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点M、N，连接、、． （1）证明：； （2）若，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形的边长为2， 依题意，得，，， 则，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得，，，，，得到，然后证明出即可； （2）如图所示，过点O作于点H，根据题意证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． （1）在图1中，若为的直径，求证：与相切； （2）在图1中，若为的直径，，求的度数； （3）在图2中，若，求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∵为的半径， ∴与相切． （2） （3） 证明：如图，连接，在上截取，连接， ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵，， ∴是等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切； （2）先判断出，得出，进而求出，即可求出答案； （3）连接，在上截取，先判断出是等边三角形，得出，进而判断出是等边三角形，得出，进而判断出，得出，即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查圆的切线判定、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键． 23. 如图1，抛物线的顶点A坐标为． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2，点在y轴上．点在x轴上，轴，交抛物线于点D．求证：； （3）在（2）的条件下，轴，交直线于点E．将绕点E顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：∵轴，，点D在抛物线上， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】本题这一天考查了求抛物线解析式、二次函数及其图象的性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点式求解即可； （2）由题意可得：，即可，再根据两点间距离公式可得即可证明结论； （3）由题意可得E点坐标为，如图：将绕点E 顺时针旋转得到线段，则、，即、；然后分别把两点代入抛物线解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点A坐标为， ∴，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得E点坐标为． 如图，将绕点E 顺时针旋转得到线段． ∴，． ∴，． 当在抛物线上时， ∴．解得：． 当在抛物线上时， ∴．解得：． ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级第三次核心素养质量测评（数学试卷） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为2，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 5. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 7. 中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，关于原点对称，则_____ 12. 成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“刻舟求剑”描述的事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 13. 若关于x的方程的两根为，则_________． 14. 把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程 （1） （2） 17. 为了落实“2·15”专项行动，某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目． （1）甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为______； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是单位 （1）画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的； （2）请直接写出，，三点的坐标． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某商家购进一批产品，成本为元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元． （1）求关于的函数关系式． （2）当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？ 20. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 21. 如图，在直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点M、N，连接、、． （1）证明：； （2）若，求k的值． 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． （1）在图1中，若为的直径，求证：与相切； （2）在图1中，若为的直径，，求的度数； （3）在图2中，若，求证：． 23. 如图1，抛物线的顶点A坐标为． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2，点在y轴上．点在x轴上，轴，交抛物线于点D．求证：； （3）在（2）的条件下，轴，交直线于点E．将绕点E顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $