精品解析：贵州省遵义市第四中学2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题

遵义四中2027届高一上学期期末质量监测 数学 命题组长：张鹏 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，不共线.若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一支田径队有男运动员56人，女运动员40人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员14人，则女运动员被抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，则（ ） A. 506 B. 1024 C. 1012 D. 2024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，值域是的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么的取值范围是 D. 11. 已知函数，，则下列结论成立的有（ ） A. 可能没有零点 B. 若，则有四个零点 C. 若，则有唯一零点 D. 若有五个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从装有2个红球和2个绿球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件为“所取两个球至少有一个绿球”，事件为“所取两个球恰有一个红球”，则_____. 13. 已知函数，则_____. 14. 如果函数在定义域内的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间.已知函数，若函数存在等域区间，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）设，，用，表示. 16. 随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. （1）请写出样本空间并求样本点个数； （2）设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 17. 某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 （1）估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； （3）已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 18. 遵义市是全国著名的“红色旅游城市”，全年游客络绎不绝.该市某酒店2024年“标间”的价格为400元/间，整年的入住房间数为.该酒店为提高收益，决定在2025年对“标间”的价格进行调整，价格在288元/间至388元/间上下浮动.经过测算，若酒店标间价格下调至元/间时，新增入住间.设每间“标间”的成本费用（包括水电费、人工费等）为150元. （1）请直接写出2025年价格下调后酒店的“标间”，总收益（单位：元）关于实际价格（单位：元/间）的函数解析式； （2）若酒店仍希望2025年“标间”的总收益比上一年至少增长20%，则“标间”的价格最低应定为多少元/间？ （3）当“标间”的价格定为多少元/间时，可以使酒店的“标间”总收益达到最大？ 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”. （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”.若是，请说明理由；若不是，请举出反例. （2）若函数是区间上的“阶自伴函数”，且不等式恒成立，求实数的最大值. （3）已知，是否存在实数，使得是在区间上的“2阶伴随函数”？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2027届高一上学期期末质量监测 数学 命题组长：张鹏 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，可得， 令，解得，可得， 则，故D正确. 故选：D 2. 已知向量，不共线.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 3. 已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】取，，则，但， 即，所以函数不是奇函数，故充分性不满足； 若函数为奇函数，则，即，故必要性满足； 所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件. 故选：B 4. 一支田径队有男运动员56人，女运动员40人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员14人，则女运动员被抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽取原则，按比例计算即可. 【详解】由分层抽样的原则可知女运动员被抽取的人数为. 故选：B. 5. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 6. 高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】代入平均数和方差公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知，得,① 方差， 所以，② 由①，，代入②，可得 解得：或，所以. 故选：B 7. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，通过分离参数将原不等式转化为在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 8. 若函数，则（ ） A. 506 B. 1024 C. 1012 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算. 【详解】由题意可得，， 则 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，值域是的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】AB根据一次和二次函数的性质得出；C根据以及对数函数的性质判断；D根据以及对数函数的性质判断. 【详解】的值域为，故A正确； 的值域为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为恒成立，所以的定义域为， 因为在上单调递增， 且时，，时，， 所以， 所以， 故的值域为，故D正确. 故选：AD 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么的取值范围是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断ABC，利用作差法，判断D. 【详解】A. ，得或，故A错误； B.若，那么，故B正确； C.若，有，所以，所以的取值范围是，故C正确； D.，所以， ，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，，则下列结论成立的有（ ） A. 可能没有零点 B. 若，则有四个零点 C. 若，则有唯一零点 D. 若有五个不同的零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分段函数在各区间上的值域，求出复合函数解析式，进而根据函数零点和方程解的关系，画出函数草图，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】当时，恒成立，则， 当或时，恒成立， 则， 当时，恒成立，则， 综上，可得， 画出函数草图，如下图所示， 函数的零点，即函数的方程的解的个数，即函数图象与直线交点的个数， 对于选项A，当时，函数图象与直线无交点，所以A正确； 对于选项B，当时，有5个交点，所以B错误； 因为当时，，则， 当时，函数图象与直线仅有一个交点，所以C正确； 由选项B可知，当时，也有5个交点，所以D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从装有2个红球和2个绿球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件为“所取两个球至少有一个绿球”，事件为“所取两个球恰有一个红球”，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型公式，结合条件分析求解，即可得答案. 【详解】记两个红球为，两个绿球为， 所取两个球，所有基本事件为，共6种， 由题意，事件A和事件B同时发生的事件为：所取两个球一个红球一个绿球， 包含的事件为，共4种， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】令，用来表示即得反函数表达式，代入可得答案. 【详解】令，则,因为,所以, 由反函数的定义可知,所以. 故答案为：4. 14. 如果函数在定义域内的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间.已知函数，若函数存在等域区间，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性可将问题转化为方程有两个不相等的正的实数根，即可利用对勾函数的性质求解. 【详解】由且，考虑到，可得，故定义域为 ， 由于为单调递减函数，故为单调递增函数，因此为单调递增函数， 由于存在等域区间，则且， 故和， 进而可得， 因此可知方程有两个不相等的正的实数根，令， 故， 由对勾函数，结合其性质可知，要使有两个不相等的实数根，可得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）设，，用，表示. 【答案】（1）8，（2） 【解析】 【分析】（1）平方，利用指数的运算法则计算即可； （2）根据指对互换公式把转化为，再利用换底公式以及对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）由  可得 因此 （2）由  得 ，又 ， 利用换底公式： 因此，. 16. 随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. （1）请写出样本空间并求样本点个数； （2）设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 【答案】（1）样本空间为；16个样本点 （2）事件与不相互独立 【解析】 【分析】（1）根据题意列举出符合要求的样本空间及样本点的个数即可； （2）分别列举出事件所包含的样本点，并分别求出各个事件的概率，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立. 【小问1详解】 由题意可知，样本空间为， 共16个样本点； 【小问2详解】 由题意知事件包含共6个样本点，所以； 事件包含共3个样本点，所以； 既是奇数又大于40的事件包含共2个样本点，所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 17. 某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 （1）估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； （3）已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【答案】（1） （2）平均数小于中位数 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布表的性质求解平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质求解平均数和中位数，再比较大小即可. （3）先求出样本平均数，再结合样本方差公式求解方差即可. 【小问1详解】 由题意得 . 【小问2详解】 因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. 【小问3详解】 因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 18. 遵义市是全国著名的“红色旅游城市”，全年游客络绎不绝.该市某酒店2024年“标间”的价格为400元/间，整年的入住房间数为.该酒店为提高收益，决定在2025年对“标间”的价格进行调整，价格在288元/间至388元/间上下浮动.经过测算，若酒店标间价格下调至元/间时，新增入住间.设每间“标间”的成本费用（包括水电费、人工费等）为150元. （1）请直接写出2025年价格下调后酒店的“标间”，总收益（单位：元）关于实际价格（单位：元/间）的函数解析式； （2）若酒店仍希望2025年“标间”的总收益比上一年至少增长20%，则“标间”的价格最低应定为多少元/间？ （3）当“标间”的价格定为多少元/间时，可以使酒店的“标间”总收益达到最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接写出结果. （2）根据题意，写出2024年收益，进而列出不等式，求出结果，判断最小值. （3）根据函数解析式，以及对勾函数性质，求出在定义域内的最大值，求出此时的“标间”的价格即可. 【小问1详解】 由题意得. 【小问2详解】 2024年收益为， 当2025年“标间”的总收益比2024年至少增长20%时，可得， 化简得，因为，解得， 所以当2025年“标间”的总收益比上一年至少增长20%， “标间”的价格最低应定为300元/间. 【小问3详解】 可知， 令，则， 可得， 当，即，根据对勾函数可知，在定义域为时， 函数在上单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，即时，可以使酒店的“标间”总收益达到最大. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”. （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”.若是，请说明理由；若不是，请举出反例. （2）若函数是区间上的“阶自伴函数”，且不等式恒成立，求实数的最大值. （3）已知，是否存在实数，使得是在区间上的“2阶伴随函数”？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 不是，理由如下： 当时，， 因为，所以，即， 解得， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）3 （3） 不存在实数b满足题意，理由如下： 因为，令，，则， 所以， 则， 令，由对数函数的单调性得在上单调递增，， 则在上单调递增，，所以； 因为是在区间上的“2阶伴随函数”， 所以，则，则， 记，由题意得， 令，为开口向上，对称轴为的抛物线 当时，在上单调递增， 则，所以， 解得，无交集，舍去； 当时，即，在上单调递减， 则，所以， 解得，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为不满足，故舍去， 综上，不存在实数b满足题意. 【解析】 【分析】（1）赋值，结合条件，代入计算，分析即可得答案. （2）根据条件，代入求解，可得，根据所给范围，可得，结合基本不等式，可得a的范围，即可得答案. （3）利用换元法，可得的解析式及值域，根据条件，记，可得，设，根据二次函数的性质，可得值域，根据包含关系，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是区间上的“阶自伴函数”， 所以，则，解得，即， 因为，所以， 又，所以，解得， 因为恒成立，所以恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以， 所以，则实数的最大值为3. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $