专题02相交线与平行线题型突破讲义(2)(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题02相交线与平行线题型突破讲义（2） 一、平行线的判定（由角定线：角的关系→直线平行，3 条核心） 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 补充：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）；垂直于同一条直线的两条直线互相平行（特殊判定）。 关键：先找 “三线八角”，再判断角的关系，最终证线平行。 二、平行线的性质（由线定角：直线平行→角的关系，3 条核心，与判定互逆） 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 关键前提：必须先确定两直线平行，否则角的等量 / 互补关系不成立。 核心区分：判定是 “因角得线”，性质是 “因线得角”。 三、图形的平移（与平行线紧密关联，全等图形运动） 1. 两大要素（缺一不可） 平移方向（任意直线方向，如水平向右、斜向左下）、平移距离（对应点间的线段长度）。 2. 三大性质（平移不改变图形本质，仅变位置） 形状、大小、方向不变，仅位置改变； 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等（核心与平行线关联点）。 3. 三步作图（必考基础） 找关键点（顶点、交点、端点）； 按要求平移关键点，得到对应点； 依次连接对应点，画出平移后图形（保留作图痕迹）。 基础 过关题 1.同位角相等.两直线平行 2.内错角相等.两直线平行 3.同旁内角互补.两直线平行 4.两直线平行.同位角相等 5.两直线平行.内错角相等 6.两直线平行.同旁内角互补 7.生活中的平移现象 8.图形的平移 能力 提升题 9.由平行线性质探究角的关系 10.由平行线性质求角的度数 11.利用平移的性质求解 12.利用平移解决实际问题 拓展 拔高题 13.由平行线判定与性质求角度 14.由平行线判定与性质证明 15.平移作图 【题型1.同位角相等两直线平行】 1．两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定这两条直线平行的（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角相等 D．同旁内角互补 2．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 4．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【题型2.内错角相等两直线平行】 5．“内错角相等，两直线平行”是（   ） A．定义 B．公理 C．定理 D．需要判断的命题 6．如图所示，下列四组条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 7．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线上，直线，垂足为P，平分，．求证：． 证明：平分， （　　）， ，， ______________________， ， ， 直线， （　　）， （　　）． 8．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【题型3.同旁内角互补两直线平行】 9．如图，下列推理中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，，当 度时，． 11．图1是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具能保证图2中的灯管互相平行，依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 12．如图，已知条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能够判定直线的是 ．（只填序号） 解答题 13．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．． 【题型4.两直线平行同位角相等】 14．如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为 ． 16．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． . 17．将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 18．如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【题型5.两直线平行.内错角相等】 19．如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 20．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数为 ． 22．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 解答题 23．如图，直线分别交、于点M、N，点E、L分别在、上，点F、H是直线、内的两点，连接，，延长交于点．求证：． 【题型6.两直线平行同旁内角互补】 24．下列图形中，由能得到 的是（  ） A． B． C． D． 25．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 26．如图，若，，则图中与互补的角有 个． 27．如图，已知，则 ． 解答题 28．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【题型7.生活中的平移现象】 29．下列现象属于平移的是（   ） A．风筝在空中随风飘动 B．汽车在一条笔直的公路上行驶 C．钟摆的摆动 D．转动的门 30．下列哪个图形可以通过平移得到（    ） A． B． C． D． 31．某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为 米． 32．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为 平方米． 【题型8.图形的平移】 33．下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 34．下列关于平移的说法正确的是（   ） A．几何图形平移后，面积可能会发生一点变化 B．将平移时，可以将点向左平移个单位，将点向左平移个单位 C．几何图形平移后，形状可能会发生一点变化 D．几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变 35．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 36．“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    【题型9.由平行线性质探究角的关系】 37．将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 38．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 39．如图，，连接，点是之间一点，点分别在上，连接，点在直线上，连接，恰好平分，，下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论序号是 （填序号）． 40．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． .C． D． 【题型10.由平行线性质求角的度数】 41．如图，已知，，则 ， ． 42．如图，，，则的度数为 ． 43．如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解答题 45．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【题型11.利用平移的性质求解】 46．借助一副三角尺，我们可以画出已知直线a的平行线： ①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴； ②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则，这样画图的依据是 ． 47．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 48．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则空白部分的面积为 ． 49．如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 解答题 50．如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【题型12.利用平移解决实际问题】 51．如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为 ． 52．2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长约米，若起飞过程中约为85米，则的长约是（   ） A．14米 B．16米 C．34．5米 D．69米 53．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 54．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 解答题 55．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 【题型13.由平行线判定与性质求角度】 56．如图，在和中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 57．随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 58．如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 59．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则 ° 【题型14.由平行线判定与性质证明】 60．如图，已知，，，．则结论：①；②；③平分；④．正确的是 ． 61．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 62．如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线光线反射时，，，下列结论： 直线直线； 的角平分线所在的直线垂直于直线； 如果，那么； 当直线绕点顺时针旋转，直线绕点顺时针旋转时，直线与直线不平行． 其中正确的是 ． 63．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 解答题 64．完成下面的推理过程（括号内写出理由）：如下图，AB和CD相交于点O，，且OE平分． 试说明：． 解：因为， 所以________（________）． 因为OE平分， 所以（__________）． 因为（________）， 所以________（________）， 所以________（________）， 所以（__________）． 【题型15.平移作图】 65．下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   66．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A． 有一个确定的值 B．有两个不同的值 B． C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 解答题 67．如图，在网格中，已知，请按下列要求画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）． (1)在图中，将平移，使点落在的边（不包括点和点）上； (2)在图中，将平移，使点落在的内部． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线题型突破讲义（2） 一、平行线的判定（由角定线：角的关系→直线平行，3 条核心） 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 补充：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）；垂直于同一条直线的两条直线互相平行（特殊判定）。 关键：先找 “三线八角”，再判断角的关系，最终证线平行。 二、平行线的性质（由线定角：直线平行→角的关系，3 条核心，与判定互逆） 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 关键前提：必须先确定两直线平行，否则角的等量 / 互补关系不成立。 核心区分：判定是 “因角得线”，性质是 “因线得角”。 三、图形的平移（与平行线紧密关联，全等图形运动） 1. 两大要素（缺一不可） 平移方向（任意直线方向，如水平向右、斜向左下）、平移距离（对应点间的线段长度）。 2. 三大性质（平移不改变图形本质，仅变位置） 形状、大小、方向不变，仅位置改变； 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等（核心与平行线关联点）。 3. 三步作图（必考基础） 找关键点（顶点、交点、端点）； 按要求平移关键点，得到对应点； 依次连接对应点，画出平移后图形（保留作图痕迹）。 基础 过关题 1.同位角相等.两直线平行 2.内错角相等.两直线平行 3.同旁内角互补.两直线平行 4.两直线平行.同位角相等 5.两直线平行.内错角相等 6.两直线平行.同旁内角互补 7.生活中的平移现象 8.图形的平移 能力 提升题 9.由平行线性质探究角的关系 10.由平行线性质求角的度数 11.利用平移的性质求解 12.利用平移解决实际问题 拓展 拔高题 13.由平行线判定与性质求角度 14.由平行线判定与性质证明 15.平移作图 【题型1.同位角相等两直线平行】 1．两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定这两条直线平行的（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角相等 D．同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判点，掌握常见的平行线的判定方法成为解题的关键． 根据同旁内角互补、内错角相等、同位角相等两直线平行逐项判断即可． 【详解】解：A、∵两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行， ∴同位角相等，两直线平行，故本选项正确； B、∵两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， ∴内错角相等，两直线平行，故本选项正确； C、∵两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行， ∴同旁内角互补，两直线平行，故本选项错误； D、∵两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行， ∴同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确． 故选：C． 2．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 3．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 4．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 【题型2.内错角相等两直线平行】 5．“内错角相等，两直线平行”是（   ） A．定义 B．公理 C．定理 D．需要判断的命题 【答案】C 【分析】本题考查了数学中定义、公理、定理及命题的概念区分，解题的关键是掌握各概念的本质特征：定义是对术语的描述，公理是无需证明的基本事实，定理是经推理证明的真命题，需要判断的命题是未确定真假的语句． 先明确定义、公理、定理、需要判断的命题的核心定义；再对照“内错角相等，两直线平行”的属性，判断其属于哪一类概念． 【详解】解：A、定义是对数学术语的含义描述（如“平行线是同一平面内不相交的两条直线”），“内错角相等，两直线平行”不是对术语的描述，此选项不符合题意；   B、公理是无需证明的基本事实（如“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”），“内错角相等，两直线平行”可通过其他公理推导，不是公理，此选项不符合题意；   C、定理是经推理证明成立的真命题，“内错角相等，两直线平行”可由“同位角相等，两直线平行”推导证明，属于定理，此选项符合题意；   D、需要判断的命题是未确定真假的语句，“内错角相等，两直线平行”是已证明为真的命题，无需再判断，此选项不符合题意；   故选：C． 6．如图所示，下列四组条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：由可得，故A选项不合题意； 由不能得出，故B选项不合题意； 由可得，故C选项不合题意； 由可得，故D选项符合题意； 故选：D． 7．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线上，直线，垂足为P，平分，．求证：． 证明：平分， （　　）， ，， ______________________， ， ， 直线， （　　）， （　　）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，正确理解平行线的判定是解题的关键．先根据角平分线的定义得到，进一步得出，从而得到，再根据平行线的判定，即得答案． 【详解】证明：平分， （角平分线的定义）， ，， ， ， ， 直线， （垂直的定义）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；，；垂直的定义；内错角相等，两直线平行． 8．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 【题型3.同旁内角互补两直线平行】 9．如图，下列推理中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“内错角相等，两直线平行”解答A，B；再根据“同旁内角互补，两直线平行”解答C，D. 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以A不正确； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以B不正确； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 所以C正确； ∵，即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 所以D不正确. 故选：C. 10．如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”进行填空． 【详解】当时， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 11．图1是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具能保证图2中的灯管互相平行，依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴利用同旁内角互补，两直线平行，可得两直线平行， ∴能判定灯管互相平行的依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 12．如图，已知条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】② 【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作，则，从而得出，进而得出，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥． 【详解】解：①∵， ∴， 故①能够判定直线，不符合题意； ②不能判定，故②符合题意； ③∵， ∴， 故③能够判定直线，不符合题意； ④∵， ∴， 故④能够判定直线，不符合题意； ⑤∵，， ∴， ∴∴， 故⑤能够判定直线，不符合题意； ⑥过点B作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故⑥能够判定直线，不符合题意； 综上：能够判定直线的有：①③④⑤⑥． 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行． 解答题 13．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．． 【答案】，见解析． 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，先得到，，再根据当时，则，即可得出答案. 【详解】解：当时，可使所铺管道．理由如下： 根据题意，得， ∴ 当时，则， ∴． ∴当时，可使所铺管道． 【题型4.两直线平行同位角相等】 14．如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 先根据平角的概念求出，再由两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【详解】解：如图， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 15．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，度分秒的换算．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ． 故答案为：． 16．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． . 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和、对顶角、角平分线与平行线的性质．准确识图，熟练利用角平分线和三角形内角和，平行线的性质是解题的关键． 根据三角板的特性及角平分线与三角形的内角和求出的大小，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 解答题 18．如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ． 【题型5.两直线平行.内错角相等】 19．如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 20．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 21．如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，求一个角的余角， 如图，根据平行线的性质求出，由余角定义求出，即可得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 解答题 23．如图，直线分别交、于点M、N，点E、L分别在、上，点F、H是直线、内的两点，连接，，延长交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，相交线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 先根据对顶角相等得到，结合，得到，根据同旁内角互补，两直线平行得到，再根据两直线平行，内错角相等得到，结合，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 【题型6.两直线平行同旁内角互补】 24．下列图形中，由能得到 的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键，理解两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由 ，可得 ，无法求得 ； B、由 ，可得 （两直线平行，内错角相等）； C、和是由直线与被直线所截的一组内错角，由，无法求得； D、和是由直线与被直线所截的一组同旁内角，由，无法求得． 故选：B． 25．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 26．如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 27．如图，已知，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点，分别作，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作， ∵， ∴， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 解答题 28．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7.生活中的平移现象】 29．下列现象属于平移的是（   ） A．风筝在空中随风飘动 B．汽车在一条笔直的公路上行驶 C．钟摆的摆动 D．转动的门 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、风筝在空中随风飘动，不符合平移定义，不属于平移，故本选项不符合题意； B、汽车在笔直公路上运动沿直线运动，符合平移定义，属于平移，故本选项符合题意； C、钟摆的摆动，不符合平移定义，不属于平移，故本选项不符合题意； D、转动的门，不符合平移定义，不属于平移，故本选项不符合题意； 故选：B． 30．下列哪个图形可以通过平移得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，结合图形，对选项进行一一分析，即可求解． 【详解】解：由平移知，B选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到， 故选：B． 31．某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为 米． 【答案】80 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】解：根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和， ∵荷塘中小桥的总长为40米， ∴荷塘周长为：2×40=80(米) 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 32．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为 平方米． 【答案】171 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 【题型8.图形的平移】 33．下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； B、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； C、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； D、选项中的甲骨文能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：D． 34．下列关于平移的说法正确的是（   ） A．几何图形平移后，面积可能会发生一点变化 B．将平移时，可以将点向左平移个单位，将点向左平移个单位 C．几何图形平移后，形状可能会发生一点变化 D．几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变 【答案】D 【分析】本题考查平移，根据平移前后的图形形状、大小不变解答即可． 【详解】解：A. 几何图形平移后，面积不发生变化，原说法错误； B. 将平移时，可以将点向左平移个单位，同时将点向左平移个单位，原说法错误； C. 几何图形平移后，形状不变，原说法错误； D. 几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变，说法正确； 故选：D． 35．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【答案】4 【分析】根据四边形ABED是平行四边形得出，再根据，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案． 【详解】设四边形ABFD的周长为 得 ∵根据平移的性质得AB=DE，且AB//DE ∴四边形ABED是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查图形平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的相关知识． 36．“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    【答案】10 【分析】本题考查图形的平移方式，结合图形可得往右需要移动3个单位，往下移动6个单位，逐一分析即可． 【详解】解：由图可得，该正方形需要移动到右下角的位置， 平移方式有：右3下6，右2下1右1下5，右2下2右1下4，右1下1右2下5，右1下1右1下1右1下4，右1下2右2下4，下2右3下4，下1右3下5，下1右1下1右2下4，下1右2下1右1下4，一共10种不同的移动方法， 故答案为：10． 【题型9.由平行线性质探究角的关系】 37．将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 38．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 39．如图，，连接，点是之间一点，点分别在上，连接，点在直线上，连接，恰好平分，，下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论序号是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的选项①②， 故答案为：①②． 40．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． .C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【题型10.由平行线性质求角的度数】 41．如图，已知，，则 ， ． 【答案】 /70度 /110度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质，由对顶角相等即可求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 42．如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 43．如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 44．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，又因为平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 故选：C． 解答题 45．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，可得，即得，，根据求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ，． ， ， ， 与所成锐角的度数为． 【题型11.利用平移的性质求解】 46．借助一副三角尺，我们可以画出已知直线a的平行线： ①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴； ②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则，这样画图的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平移过程中，三角尺平移前后的同位角相等，即可得出． 【详解】解：平移过程中，三角尺平移前后的同位角相等， 根据同位角相等，两直线平行可得出． 故答案为：同位角相等，两直线平行 47．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 48．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则空白部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题．由平移的性质可得空白部分是一个长方形，且长为，宽为，即可求出空白部分面积. 【详解】解：由平移的性质可得，空白部分是一个长方形，且长为，宽为， ∴空白部分面积为， 故答案为：． 49．如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，再进一步利用周长公式计算即可. 【详解】解：∵将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，， ∴，，， ∴四边形的周长 ． 故选A． 解答题 50．如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质： （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据平移的性质即可得答案； （3）根据平移的性质得到，则，得到，则，由平移可知，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴ 【题型12.利用平移解决实际问题】 51．如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为 ． 【答案】/18米 【分析】此题考查了生活中的平移现象，掌握平移现象的特点是关键． 利用平移的性质解答即可． 【详解】解：， 即这块红地毯的长至少为． 故答案为： 52．2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长约米，若起飞过程中约为85米，则的长约是（   ） A．14米 B．16米 C．34．5米 D．69米 【答案】B 【分析】本题主要查了平移的性质．根据题意可得米，米，从而得到米，即可求解． 【详解】解：根据题意得：米，米， ∴米， ∴米． 故选：B 53．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】2800 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， (元)，购买地毯至少需要元， 故答案为：． 54．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 解答题 55．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)长：，宽 (3)总预算5100元不够；理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． （1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； （2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． （3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍去）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ∵ ， ∴ ∴ ∴ 答：总预算5100元不够． 【题型13.由平行线判定与性质求角度】 56．如图，在和中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握由内错角相等判定两直线平行，再利用平行线的同旁内角互补计算角度是解题的关键． 先由判定，再利用平行线的性质，结合的度数计算的度数． 【详解】解：∵， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ∴． 故选：C． 57．随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ， ∴． ∵，， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 58．如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 59．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则 ° 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．依据，，可得，进而判定，即可得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线、分别交于点M、N， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型14.由平行线判定与性质证明】 60．如图，已知，，，．则结论：①；②；③平分；④．正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，根据得到，判断①正确；根据，得到②正确；根据， 证明，进行角的代换证明，得到④正确；证明，判断③不正确． 【详解】解： ， ，， 故①正确； ∵ ∴， ， ②正确； ， ， ， ， ， ④正确； ， ，不能判断平分； ③不正确； 故正确的是①②④ 故答案为：①②④． 61．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 62．如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线光线反射时，，，下列结论： 直线直线； 的角平分线所在的直线垂直于直线； 如果，那么； 当直线绕点顺时针旋转，直线绕点顺时针旋转时，直线与直线不平行． 其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题综合考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义等相关知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质和判定结合角平分线的定义推理逐一判断各个结论即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， 故结论①正确； 如图，过点作的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故结论②正确； ，， ， ， ， 故结论③正确； 如图2，， ， ， 同理可得， ， ， ， 故结论④不正确； 综上所述，结论①②③正确， 故答案为：①②③． 63．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选：B． 解答题 64．完成下面的推理过程（括号内写出理由）：如下图，AB和CD相交于点O，，且OE平分． 试说明：． 解：因为， 所以________（________）． 因为OE平分， 所以（__________）． 因为（________）， 所以________（________）， 所以________（________）， 所以（__________）． 【答案】  两直线平行，同位角相等  角的平分线的定义  已知    等量代换  BD  同位角相等，两直线平行  平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义及平行公理的推论，掌握平行线的性质与判定的互推关系，以及平行公理推论的应用是解题的关键． 先利用平行线的性质得到角相等，结合角平分线的定义和已知条件，通过等量代换推出，最后根据平行于同一条直线的两条直线平行证明． 【详解】解：​， (两直线平行，同位角相等) 平分， (角的平分线的定义) (已知)， (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， (平行于同一条直线的两条直线平行)． 【题型15.平移作图】 65．下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意； D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键． 66．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A． 有一个确定的值 B．有两个不同的值 B． C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 解答题 67．如图，在网格中，已知，请按下列要求画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）． (1)在图中，将平移，使点落在的边（不包括点和点）上； (2)在图中，将平移，使点落在的内部． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）要将平移，使点落在边（不包括、）上，需确定平移的方向和距离，使得平移后的位置符合要求． （2）要将平移，使点落在内部，同样需确定合适的平移方向和距离来实现． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $