第09讲 二元一次方程（2大知识点+2大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

第09讲 二元一次方程（2大知识点+2大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二元一次方程的概念； 2．掌握二元一次方程的解； 【知识点1 二元一次方程的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 【知识点2 二元一次方程的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 考点一：二元一次方程的定义 例1．下列选项是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；     C. 不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，未知数的项的最高次数是2，故不是二元一次方程，不符合题意． 故选：B． 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”，即可解答． 【详解】A．是二元一次方程，此选项符合题意； B．是一元二次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； C．不是二元一次方程，此选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的判定，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数的方程并且所含数的最高次数为1，这样的整式方程叫做二元一次方程，再对各选项进行逐一判定即可求得． 【详解】解：A． ，最高次为二次，不时二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B． 满足二元一次方程的定义，故该选项正确，符合题意；     C． 未知数在分母上，不属于整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D． 无等式关系，不是方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可得，然后求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 故选：D． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， 解得：， 故选：C 5．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1次的整式方程；根据二元一次方程的概念求解即可，注意未知数x的系数非零． 【详解】解∶ ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为∶1． 6．是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 7．如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面求常数、的值即可．解题的关键是掌握二元一次方程的形式及其特点：只含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 8．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】考查了二元一次方程的定义，利用平方根求解方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程，根据二元一次方程的定义得，解答即可得出结果． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，解得：， 故答案为：． 9．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，理解方程中的“二元”和“一次”的含义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 10．若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可 【详解】解∶∵方程是关于的二元一次方程， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 11．如果是关于x，y的二元一次方程，试求m的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得 且， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程，熟练掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 考点二：二元一次方程的解 例2.若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把方程的解代入，得：， 解得：； 故选：A． 1．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（    ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 把二元一次方程的解代入方程得到k的一次方程，然后解关于k的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得． 故选：A． 2．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 3．已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选B． 4．方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要是考查了二元一次方程的解，准确计算是解题的关键．要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可． 【详解】解：由，得， ∵x，y都是正整数， ∴是正整数， 满足条件的x值只能是，，， 分别与之对应：，，， ∴，，． ∴有3组， 故选：D． 5．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故答案为：． 6．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 7．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的定义及二元一次方程组解的定义， 根据二元一次方程的解的定义求得的值，然后写出一个符合题意的方程即可． 【详解】解：∵的一组解为， ∴， 解得：， 则它的解为， 那么所组成的方程组的解为的二元一次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知，用含x的式子表示y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，系数化为1．即可得到答案． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 9．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入即可求出的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 10．已知和是方程的两个解，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查方程的解及代数式求值，由题意，将和代入方程，求出、，代入即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当时，得到，解得； 当时，得到，则，解得； ． 11．已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解， （1）根据和都是关于x、y的二元一次方程的解，得出，问题随之得解； （2）根据也是方程的解，得出，求出b的值即可． 【详解】（1）依题意得：， ， 解得； （2）由（1）得：， 是方程的一个解， 即． 1．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入关于，的二元一次方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入关于，的二元一次方程， 可得，解得． 故选：B． 2．足球联赛积分规则如下：每胜一场得分，平一场得分，负一场得分．第轮后（即每队均比了场），甲球队的积分为分，若设甲队胜了场，负了场，则与应满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．设甲队胜了场，负了场，则平了场，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：共踢了场，设甲队胜了场，负了场，则平了场， 胜一场得分，平一场得分，负一场是分，共得分． ， ， 故选：B． 3．二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二元一次方程组的解，先根据题意得到，再根据x、y都是正整数，得到一定是3的倍数，据此讨论y的值，确定x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴一定是3的倍数， ∴当时，满足题意， 当时，满足题意； ∴二元一次方程的正整数解的个数是2个， 故选：B． 4．观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解： ，未知数次数为2，不是二元一次方程， 是二元一次方程， ，未知数次数为2，不是二元一次方程， ，一个未知数，不是二元一次方程， 是二元一次方程， 其中二元一次方程有2个， 故选：B． 5．已知是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得． 故选：B． 6．若是关于x、y的方程的解，则a值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将代入得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 7．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，先移项得到，然后把方程两边除以即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．已知是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据未知数的系数不等于0且未知数的次数是1列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 9．二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， 故答案为：，． 10．下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】⑤ 【分析】本题考查二元一次方程的识别，根据二元一次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 11．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将把代入，得， 进而可得方程组的解为，即可求解． 【详解】解：把代入，得，         解得                                                   ∴方程组的解为                                       ∵是方程的解                                 ∴这个二元一次方程可以是 12．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)如果是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把代入方程中得到关于k的方程，解方程即可； （2）把原方程变形为，则当时，都能满足，即满足方程，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴对于任意的非零常数k，当时，都能满足，即满足方程， ∴这个公共解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 13．若为含x，y的二元一次方程，试求： (1)m和n的值； (2)求代数式的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二元一次方程的定义，即可求得，的值； （2）把，的值代入代数式即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 即，； （2）代数式的立方根为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，立方根，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 14．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，原方程为， 当时，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 15．（1）把下列方程写成用含x的代数式来表示y的形式： ①： ；②： （2）把下列方程写成用含y的代数式来表示x的形式： ①： ；②： 【答案】（1）①②（2）①② 【分析】（1）把x看作已知数求出y即可； （2）把y看作已知数求出x即可． 【详解】（1）①， 移项得，， ∴， 故答案为： ②， 移项得，， ∴， 故答案为： （2）， 移项得，， ∴， 故答案为：； ②， 移项得，， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y或将y看作已知数求出x ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二元一次方程（2大知识点+2大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二元一次方程的概念； 2．掌握二元一次方程的解； 【知识点1 二元一次方程的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 【知识点2 二元一次方程的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 考点一：二元一次方程的定义 例1．下列选项是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 3．若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 6．是关于，的二元一次方程，则 ． 7．如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 8．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 9．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 10．若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 11．如果是关于x，y的二元一次方程，试求m的值． 考点二：二元一次方程的解 例2.若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（） A． B． C．1 D．5 1．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（    ） A． B．1 C．2 D．7 2．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 3．已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 5．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为 ． 6．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ． 7．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 8．已知，用含x的式子表示y是 ． 9．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 10．已知和是方程的两个解，求的值． 11．已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 1．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 2．足球联赛积分规则如下：每胜一场得分，平一场得分，负一场得分．第轮后（即每队均比了场），甲球队的积分为分，若设甲队胜了场，负了场，则与应满足的关系是（    ） A． B． C． D． 3．二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 6．若是关于x、y的方程的解，则a值为 ． 7．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 8．已知是关于的二元一次方程，则 ． 9．二元一次方程的正整数解为 ． 10．下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 11．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 12．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)如果是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解． 13．若为含x，y的二元一次方程，试求： (1)m和n的值； (2)求代数式的立方根． 14．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 15．（1）把下列方程写成用含x的代数式来表示y的形式： ①： ；②： （2）把下列方程写成用含y的代数式来表示x的形式： ①： ；②： ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$