圆锥曲线中消元的通性通法：和积消元 讲义——2026届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线中消元通性通法-----和积消元 目录 题型1：抛物线中的和积消元 题型2：椭圆中的和积消元 题型3：双曲线中的和积消元 【强化训练】 引言：圆锥曲线中的蝴蝶模型结论较多，点线也较多，而且考试中不能直接套用结论来证明，下面我们从通性通法角度来介绍此类多点多线问题的一种通性解法----和积消元法。 【典例1】（2025山东模拟）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，直线过点且与抛物线交于，两点。 （1）若点，且的面积为，求直线的斜率； （2）若点，在第一象限，直线过点，比较与的大小关系，并说明理由。 【分析】（1）首先利用弦长公式求出的长，再有点到直线的距离公式求出的高，然后代入面积公式求解即得或注意到为定值来计算，能减少计算量。 （2）设，，，，利用直线与方程联立和根与系数的关系用分别表示出、、、（消元思想），得出，然后作差配方可得。 【详解】（1）由，得，得，由题意知斜率存在， 设直线的方程为，由消去得， 设，则，， 由弦长公式得， 化简得， 设到距离为h，则， 得，解得. （2）由得， 设，，，， 设直线MN的方程为， 由，得，得，则， 同理可得：， 设直线MP方程为：， 由，得，得，则，可得 设直线QN交x轴于点， 同理可得：，即，解得，即， 所以， 由， 显然，故，当且仅当时等号成立。 【点睛】关键点睛：抛物线过焦点弦MN，设，则；过的弦MP，设，则，利用消元思想将多个点利用一个点坐标来表示，涉及多点多线问题往往要考虑此法。 【思考】抛物线中对于过轴上定点的直线，我们能够利用这个结论将一个点的坐标完全用另一个点的坐标来表示，那么椭圆和双曲线也是如此吗？显然不是，那么椭圆和双曲线里是否有类似结论呢？ （1）我们先从一个特例出发：已知椭圆，斜率不为0的直线过定点与椭圆相交于，那么我们尝试探究坐标之间的关系。 不妨设直线的方程为：，、联立椭圆方程得： ，即 由得：，从而可以将点坐标完全用点坐标来表示。 （2）注意到之间的联系与无关，那么是否意味着两者之间有固定联系呢，如果有那么就意味着我们能实现定点线上的两点可以实现只用一个点的坐标来表示。类似的方法我们推出：斜率不为0的直线过定点与椭圆相交于，、,那么必有：,此结论椭圆双曲线均适用，且在曲线内或外都可以。 【典例2】（2025四川模拟）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，且时，. （1）求的值； （2）设线段的延长线分别交椭圆于两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值说明理由。 【分析】本题第一问可以用常规直曲联立通过计算解决，也可以利用对称分析隐含几何关系快速解决，体现了高考中的多想少算；第二问利用和积消元思想快速地将多个点转化为一点的坐标来表示，便可以很轻松地解决本题。 【解析】（1）设椭圆右焦点为，连接，根据已知条件和对称性可知： 四边形为矩形；从而 不妨取在第一象限，根据直线的斜率，可知 （2） 设, 则 ，同理： 又， 同理： 【典例3】（2026河南模拟）已知双曲线，设点，过点的直线与交于，直线交于，直线交于.求证：直线过定点。 【解析】设 由对称性可知直线所过的定点必在轴上， 设定点 由结论可知： ， 同理可得：， 又，不妨令 即： ，解得： 强化训练 【练习1】（2026焦作模拟）已知抛物线的准线与圆相切。 （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．    （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【分析】（1）求出准线方程，从而得到，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立，求出两根之和，两根之积，联立化简得，，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列，故，；（ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明。 【详解】（1）抛物线的准线为， 依题意，圆心到准线的距离为，可得， 所以抛物线E的方程为． （2）（ⅰ）过且斜率为的直线方程为， 代入得， 由韦达定理：，①， 设直线的方程为，代入得， 则，可得②， 同理，由，可得③， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将②③代入，结合①可得， 再代入（*）式，化简得， 由于，，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， ，，， ，，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因，其中， 则， 故， ，得证。 【练习2】（2018北京高考）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值; （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求. 【解析】（1） (2) （3）设，由结论可知： ， 同理： ， ， 代入可知： ， 【练习3】（2022全国甲理20题）设抛物线的焦点为，点，设过的直线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1） 求的方程； （2） 设直线,与的另一个交点分别为，记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程。 【解析】（1） （3）设直线 联立得： ① ， 直线， 联立直线与抛物线方程可得：② 联立①②得，，同理可得： 即： （当且仅当） 则直线 联立直线与抛物线得： 直线 【练习4】（浙江名校联盟第18题）设抛物线的焦点为是坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，延长分别交抛物线于两点，分别是的中点。 （1）求直线的斜率的取值范围； （2）求的最小值。 【分析】第二问体现少想多算，法一：直接计算；法二：转化为斜率，由，利用；法三：由，，求解即可。 【解析】（1）设直线AB： 联立，得： 则， 是中点， ，即直线OP的斜率范围为： （3）设， 同理： 即： 是的中点； 设 故 故. 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线中消元通性通法-----和积消元 目录 题型1：抛物线中的和积消元 题型2：椭圆中的和积消元 题型3：双曲线中的和积消元 【强化训练】 引言：圆锥曲线中的蝴蝶模型结论较多，点线也较多，而且考试中不能直接套用结论来证明，下面我们从通性通法角度来介绍此类多点多线问题的一种通性解法----和积消元法. 【典例1】（2025山东模拟）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，直线过点且与抛物线交于，两点． （1）若点，且的面积为，求直线的斜率； （2）若点，在第一象限，直线过点，比较与的大小关系，并说明理由． 【思考】抛物线中对于过轴上定点的直线，我们能够利用这个结论将一个点的坐标完全用另一个点的坐标来表示，那么椭圆和双曲线也是如此吗？显然不是，那么椭圆和双曲线里是否有类似结论呢？ （1）我们先从一个特例出发：已知椭圆，斜率不为0的直线过定点与椭圆相交于，那么我们尝试探究坐标之间的关系。 不妨设直线的方程为：，、联立椭圆方程得： ，即 由得：，从而可以将点坐标完全用点坐标来表示. （2）注意到之间的联系与无关，那么是否意味着两者之间有固定联系呢，如果有那么就意味着我们能实现过定点线上的两点可以实现只用一个点的坐标来表示.类似的方法我们推出：斜率不为0的直线过定点与椭圆相交于，、,那么必有：,此结论椭圆双曲线均适用，且在曲线内或外都可以. 【典例2】（2025四川模拟）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，且时，. （1）求的值； （2）设线段的延长线分别交椭圆于两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值说明理由. 【典例3】（2026河南模拟）已知双曲线，设点，过点的直线与交于，直线交于，直线交于.求证：直线过定点. 强化训练 【练习1】（2026焦作模拟）已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．    （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【练习2】（2018北京高考）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值; （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求. 【练习3】（2022全国甲理20题）设抛物线的焦点为，点，设过的直线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1） 求的方程； （2） 设直线,与的另一个交点分别为，记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程. 【练习4】（浙江名校联盟第18题）设抛物线的焦点为是坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，延长分别交抛物线于两点，分别是的中点. 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $