19.3.1 矩形的定义和性质 教学设计 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

19.3.1矩形的定义和性质 教学设计 沪科版八年级数学下册 一、教学内容及解析 （一）单元教学分析 1. 内容本质与知识结构 本单元属于“图形与几何”领域，核心是研究特殊平行四边形。教材编排遵循从一般到特殊的逻辑顺序：以平行四边形作为逻辑起点，通过逐步增加限制条件，依次引出矩形、菱形，最后综合两者特征定义正方形，构建了一个清晰的知识层级结构，这体现了数学中重要的分类与特殊化的思想方法。 2. 核心素养的承载 本单元是发展学生几何核心素养的关键载体。通过观察、猜想、验证、证明等数学探究活动，重点发展学生的几何直观和推理能力。在如何将平行四边形特殊化的环节，类比三角形的特殊化过程，渗透类比的数学思想方法；在对猜想进行整理时，渗透分类的数学思想方法；通过将四边形问题转化为三角形问题，深刻渗透转化与化归的数学思想方法；在教材例题的讲解过程中，渗透整体的数学思想方法。同时，矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，有助于培养学生的模型观念和应用意识。 3. 教材编排与教学逻辑 教材为每种图形均设置了“概念→性质→判定→应用”的研究路径。这种一致的编排方式，旨在让学生类比平行四边形的探究经验，主动建构新知识，掌握研究几何图形的一般思路，实现学法迁移。 （二）本课时教学分析 1. 课时定位与作用 本课时是沪科版八年级数学下册19.3.1矩形的定义和性质的内容，主要研究矩形的概念，矩形在对称性以及边、角、对角线这四个方面具有的特殊性质等内容。它不仅是矩形知识的开端，更承担着学生认识平行四边形如何继续特殊化的重任。学生在平行四边形性质探究过程中收获的研究思路和方法将在本节课中进行应用，同时，此课时获得的特殊平行四边形的探究经验，将直接迁移到后续菱形、正方形的学习中。 2. 知识基础与生长点 （1）基础：学生掌握了平行四边形的定义、性质和判定，具备利用三角形全等进行几何证明的能力。 （2）生长点：本课从“平行四边形”这一般概念出发，通过“增加一个角是直角”这一特殊条件，自然生长出“矩形”的概念。其性质的探究，既是对平行四边形性质的继承，更是对其的发展。 （三）教学重点及确立依据 1. 探索并理解矩形的定义，探索及掌握矩形的特殊性质 2. 会用矩形的性质解决相关问题。 确立依据：矩形的特殊性质是区别于一般平行四边形的本质特征，是后续学习矩形判定和应用的基础。探究与证明的过程，是落实几何直观、逻辑推理等核心素养的关键环节，承载着本单元从一般到特殊、从特殊到一般、类比、分类、转化、整体等核心的思想方法。 二、教学目标 （一）课程目标 1. 本课程学习后，学生应能形成空间观念，认识矩形、菱形、正方形等基本平面图形，理解其图形特征、性质及相互联系，并能在生活情境中识别和应用； 2. 学生应能发展几何直观，能利用实物模型、几何图形和动态软件（如几何画板）来观察、描述和分析矩形等图形的性质，借助直观理解抽象的几何概念。 3. 学生应能提升推理能力，经历从具体实例中抽象出图形性质、提出猜想、并进行逻辑论证的过程，掌握合情推理和演绎推理的基本方法，能条理清晰地表达自己的思考过程，并规范书写证明过程。 4. 学生应能增强应用意识，认识到几何知识来源于生活又服务于生活，能运用矩形等图形的性质解决简单的实际问题，体会数学的实用价值。 （二）单元目标 1. 本章学习后，学生应能理解知识本质，说出矩形、菱形、正方形的定义，明确它们与平行四边形之间的一般与特殊关系，理解从一般到特殊的图形探究路径。 2. 学生应能掌握核心性质，探索并证明矩形、菱形、正方形的对称性以及边、角、对角线的特殊性质，能用符号语言进行规范表述。 3. 学生应能构建几何图形的学习顺序，类比平行四边形的学习顺序，自主归纳出“定义→性质→判定→应用”的几何图形学习顺序。 4. 学生应能解决综合问题，综合运用本章所学知识，通过添加辅助线等策略，解决涉及特殊平行四边形的证明和计算问题，并能在小组合作中清晰表达解题思路。 （三）课时教学目标 1. 通过本节课的学习，学生应能理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形的关系。 2. 在探究性质中，学生应能通过观察发现并猜想矩形的特殊性质，并通过分类整理，确定本节课需要验证的三条猜想。通过小组合作，运用合情推理验证矩形的对称性，运用演绎推理证明“矩形的四个角都是直角”和“矩形的对角线相等”这两个猜想。 3. 学生应能进行初步应用，在例题引导下，运用矩形的性质进行简单的角度和线段长度计算，并规范书写推理过程。 4. 学生应能感悟思想，在本节课的学习过程中充分感受类比、分类、转化和整体思想方法的运用。在性质的探究过程中，体验几何图形性质研究路径——观察、猜想、验证、证明，并能够将这些思想方法迁移到其他场景中。 三、学生学情分析 本课时教学对象为八年级下学期学生，他们在知识储备和能力基础上呈现出明显的“双重性”特征，即扎实的知识基础与相对薄弱的探究能力并存。 （一）知识储备分析：学生已具备良好的认知起点 1. 直观经验与前期认知 在小学阶段，学生已经直观认识了长方形，能够识别其形状，并基于观察对其“轴对称”“四个角都是直角”、“对角线相等”等性质有初步的感性认识。这为本章从数学角度严谨定义和证明矩形的性质奠定了生活经验基础。 2. 系统的知识铺垫 学生知识链条完整，为学习新知识提供了坚实的支撑。 （1）最近发展区：在上一章，学生刚刚系统学习了平行四边形的定义、性质、判定和应用，深刻理解了平行四边形对边平行且相等，对角相等以及对角线互相平分。这是学习矩形最直接、最重要的知识基础。 （2）工具性知识：在八年级上学期，学生掌握了勾股定理和全等三角形的判定与性质，能够熟练运用勾股定理进行计算，利用全等三角形来证明线段相等、角相等。这为证明矩形的性质提供了关键的工具和方法。 （3）基础性知识：在七年级，学生学习了平行线的性质、多边形内角和等知识，为几何推理提供了基本保障。 综合来看，学生已具备将平行四边形知识迁移到矩形学习的能力，并拥有解决新问题——证明矩形性质所需的基础性知识和工具性知识。 （二）能力与倾向分析：教学面临的挑战与突破口 1. 探究能力薄弱：由于长期受应试教育影响，学生习惯于被动接受知识，在观察、动手操作、归纳猜想等方面锻炼不足。他们“不会”从操作中发现和提出有价值的数学猜想。 2. 推理能力不均衡：学生的演绎推理（依照定理进行规范证明）能力经过训练相对较强，但合情推理（通过观察、类比等方式进行猜想）的能力普遍较弱。这使得“观察-猜想-验证-证明”的完整探究链条在“猜想”环节容易断裂。 （三）教学难点 1. 从“一般”到“特殊”的思维转换，理解性质的继承与发展。 难点表现：学生在应用矩形性质时，容易忽略其作为平行四边形的性质（如对边平行且相等，对角线互相平分），或者将矩形的性质（如对角线相等）错误地应用到一般的平行四边形中。 2. 矩形性质，特别是“对角线相等”的灵活运用。 难点表现：学生知道“对角线相等”这个结论，但在复杂的图形中（例如，矩形被对角线分割出的三角形中）不会熟练运用。在证明题中，不知道何时该利用这一性质来构造等腰三角形，从而解决问题。 四、教学策略分析 为有效达成教学目标，突出重点、突破难点，并充分考虑学生的学情特点，本课时将采用以下教学策略。 （一）突出重点的教学策略 1. 框架先行，建立概念关联 （1）通过动态演示和动手操作平行四边形框架，引导学生理解矩形是“有一个角是直角的平行四边形”，建立矩形与平行四边形之间的属种关系，同时感受平行四边形与其他特殊平行四边形的关系。 （2）在9月3日阅兵的视频中寻找矩形，激活学生的已有经验和爱国情怀，直观感知矩形的特征。 2. 探究主导，构建性质体系 （1）设计“观察—猜想—验证—证明”的完整探究路径，让学生亲历矩形性质的发现过程。 （2）通过学具操作、小组探究、AI合作等多种方式，引导学生自主发现矩形的对称性、边、角与对角线的特殊性，并尝试用度量、叠合、推理等方法进行验证与证明。引导学生逐步将感性认识上升为理性认知，构建完整的矩形性质体系。 3. 语言引导，促进理解表达 引导学生将图形语言、文字语言与符号语言进行有机结合，能用规范的几何语言表述矩形的定义与性质，提升数学表达能力。 （二）突破难点的教学策略 1. 对比辨析，厘清“一般”与“特殊” （1）设计对比表格，引导学生系统梳理平行四边形与矩形的性质，明确矩形“继承”了平行四边形的哪些性质，又“发展”了哪些特殊性质。 （2）在结构化教学中，通过多种形式，如类比三角形特殊化的过程，利用几何画板等工具引导学生思考如何将平行四边形特殊化，深化对图形间逻辑关系的理解。 2. 问题驱动，深化性质应用 （1）针对“对角线相等”这一难点，设计层次递进的问题串。从简单的直接应用，如计算长度，到在复杂图形中识别等腰三角形，引导学生体会该性质在简化问题、沟通联系中的关键作用。 （2）引入AI辅助证明环节，组织学生扮演“质检官”角色，批判性地审视AI提供的证明过程。此过程旨在激发学生深度思考，在辨析与修正中真正理解“对角线相等”的证明逻辑与应用价值，培养批判性思维。 3. 思想渗透，提升思维层次 （1）在整个教学过程中，有意识地渗透类比（类比平行四边形的研究路径）、分类（对猜想进行分类整理）、转化（将矩形问题转化为三角形问题）、整体（将矩形的长和宽看成一个整体）等数学思想方法。 （2）在四边形的学习过程中渗透从一般到特殊的图形探究路径，在矩形的特殊性质的探究过程中，渗透从特殊到一般，从合情推理到演绎推理的严谨数学思维。 （三）适应学情的教学策略 1. 搭建脚手架，弥补探究短板 针对学生探究能力相对薄弱的问题，在猜想环节提供“观察要素指引”（如对称性、边、角、对角线），降低盲目性；在验证环节提供方法提示（如度量法、叠合法、推理法），支持不同层次的学生参与探究。 2. 强化合作学习，促进思维碰撞 通过明确的小组任务分工和有序的讨论流程（独立思考→组内交流→全班分享），确保讨论不流于形式，让每位学生都能参与其中，在倾听与表达中完善认知。 五、教学过程设计 （课前环节）游戏互动，回顾旧知 通过小游戏，第一，活跃课前气氛，缓解学生紧张的情绪；第二，在游戏中复习平行四边形的相关知识。 （环节一）创设情境，提出问题 问题1：如何将平行四边形特殊化？ 问题2：矩形的研究顺序？ 学生回答预设：①从边、角、对角线等元素将平行四边形特殊化②遵从矩形的定义、性质、判断、应用的研究顺序。 【设计意图】让学生思考如何将平行四边形特殊化，让学生自己探索总结特殊化的途径，从而得到不同方法的结果。进一步明确本章的研究顺序，学生类比平行四边形得到矩形的研究顺序，并总结得到图形的一般研究思路，渗透从特殊到一般的数学思想方法。 （环节二）联系旧知，理解定义 问题3：观察学具，在推动平行四边形框架的过程中，哪些改变了，哪些没变？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 【设计意图】第一，通过实践操作，经历和体验图形的形成过程，进一步理解矩形的定义，为下一步矩形的性质研究做铺垫。 （环节三）小组合作，探究性质 问题4：我们已经明确了矩形的定义和组成基本要素，那么矩形除了具备平行四边形的一般性质，还具有什么特殊性质吗？下面我们一起来对矩形的性质进行深入的研究。 实践操作： 第一步观察猜想：①观察你手中的矩形；②猜想它的对称性、边、角、对角线的关系。进一步小组内部分享找到的猜想，进行总结整理。 【设计亮点】亮点一：前置探究验证，催生自发性合情推理 在教学设计中，有意将“验证”环节置于“严格证明”之前，尊重学生从感性认知到理性思维的自然形成规律。当大部分学生还处于观察与猜想阶段时，部分思维活跃的学生已自发地进入了“合情推理”状态。教师通过PPT引导其简要记录验证思路，不仅捕捉了稍纵即逝的思维火花，有效地激活了学生的思维主动性，更将个体的思考转化为可共享的学习资源，为后续的集体论证奠定了坚实的基础。 亮点二：实施开放性猜想，引导思维自主构建 在猜想环节，教师摒弃了对结论的预设，只提供“观察要素指引”（对称性、边、角、对角线），降低盲目性，鼓励学生在此基础上进行无边界、发散性的猜想。这种“零预设”的开放姿态，确保了学生思维不受束缚，能够充分展现其最初的认知结构与思考角度。随后，教师再引导学生对纷繁的猜想进行辨析、比较与分类，最终共同归纳出教材中的核心性质。这一过程，使学生亲身经历了“从混沌到有序”的知识构建过程，其思维能力的锻炼远比直接接受三条结论更为深刻。 第二步小组讨论： ①利用学具尝试验证猜想；②做好发言准备，简单介绍你们小组的验证方法。 问题5：请学生分享验证方法。 学生验证方法预测：度量法、叠合法、几何证明法。若学生通过小组讨论已经有小组找到证明方法，在度量法和叠合法后，请该小组成员到黑板上讲解。若没有学生找到一般证明方法，则进行进一步引导。 【设计意图】学生以课堂主人翁的形式参与探究活动中，教师以合作者的身份进行适当的点拨和指导，让学生经历观察—猜想—验证—证明的学习过程。 【设计亮点】通过对操作的细分，让每一位同学独立思考后再加入讨论中，既保证了学生思考的独立性和完整性，又让学生在讨论中有话可讲，有观点可分享，开放的活动不限制学生的发现和思维的方向，让不同层次的学生有着不同的发展。通过准确的提问，使原本开放而无序的活动变得自然而有序，给学生多角度思考问题的空间的同时，尊重几何发展规律，体现几何学习的逻辑性。 问题6：刚才同学们用了度量法，叠合法验证了我们手中的矩形的猜想，那么对于任意的矩形这些猜想还成立吗？请同学们尝试证明。O 问题7：请AI利用初中所学知识证明矩形对角线相等。 【设计意图】本次引入AI进行数学证明的教学设计，其核心意图在于引导学生超越对技术的盲目依赖，培养其批判性思维。旨在让学生亲身体验，AI并非权威答案库，而是一个可被审视与挑战的思维伙伴。通过组织学生解构与验证AI的证明过程，我们将教学重点从记忆结论深化至理解逻辑本身，使学生从“知其然”走向“知其所以然”。此举更是为了构建一种“人机协同”的新范式：利用AI效率进行探索，再发挥人类智慧进行深度批判与创造。当学生扮演“质检官”角色主动挑错时，他们的学习主体性被极大激发，从而在一种高阶思维活动中更牢固地掌握了知识。最终，我们希望学生深刻领悟：AI能提供答案，但验证真理、洞察逻辑与追求优美解法的能力，永远是人类智慧不可替代的核心。 矩形性质：矩形是轴对称图形；矩形的四个角都是直角；矩形的对角相等． 符号语言：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° ∴AC=BD 【设计意图】通过提问引导，实现从“实验几何”到“论证几何”的过渡，学生真实感悟从特殊到一般的数学思想。探究过程既遵循了学生的认知规律，又挖掘学生探究新知的潜能。通过学生间的互相补充，叙述并完善证明过程，师生共同梳理得到矩形的特殊性质，同时规范学生的几何书写格式。在证明过程中，把矩形问题转化为三角形问题，感悟把未知转化为已知的数学思想方法。 （环节四）应用新知，解决问题 例1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O。 (1)如图1，若∠ACB=20°,则∠BAC= ,∠AOB= 。 (2)如图1，若AB=6，BC=8，则AD= ,BD= ,OA= ,的周长是 。 图1 图2 例2：如图3，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形, 对角线长是13cm。如果这四个小三角形的周长的和是86cm，那么矩形的周长是多少？ 图3 课堂练习：如图4，在矩形ABCD中，点E在边CD上。将该矩形沿AE折叠，恰好使点D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=60°，求∠DAE的大小。 图4 【设计意图】通过例题巩固矩形的性质，规范学生几何格式的书写，培养学生综合解决问题的能力。通过例2自然引入方整体的思想方法。通过课堂练习，对以上所学知识进行简单的应用。 （环节五）课堂小结，反思迁移 问题7：你学到了哪些知识？下一步你还想探究的问题是什么？ （环节六）分层作业，个性发展 为巩固课堂所学，并遵循因材施教原则，本次课后作业采用分层设计，设置“A夯实基础”、“B能力提升”、“C思维挑战”与“D综合实践”四个层级（其中A为必做，其余为选做），旨在实现从知识巩固到素养提升的系统性目标。（详见课堂教学目标检测） 【设计意图】 1.尊重认知差异，实现弹性发展 分层设计正视学生在知识基础、思维水平与兴趣倾向上的客观差异。通过设置不同认知层级的任务，为每位学生提供位于其“最近发展区”的学习挑战，确保所有学生都能在原有基础上获得成功体验与有效发展。 2.构建能力阶梯，促进思维进阶 作业结构遵循从“基础理解”到“综合应用”再到“创新探究”的认知逻辑。A层作业确保核心知识的牢固掌握；B层作业推动知识在复杂情境中的迁移与整合；C层作业则着力于发展学生的逻辑推理、猜想论证等高阶思维能力，实现从“学会”到“会学”的转变。 3.激发内在动机，培育学科情感 自主选择与适度挑战是维持学习动机的关键。分层作业赋予学生根据自身情况选择任务的权利，使其在完成适合自身水平的挑战中获得成就感与掌控感。D层综合实践类作业更将数学与人文、科技深度融合，有效激发学生的探索欲望，培育积极的数学情感与跨学科视野。 4.落实素养导向，践行全面育人 分层作业体系是实现核心素养落地的有效路径。它超越了单一的知识技能训练，通过基础性、应用性、探究性与实践性任务的有机结合，系统性地促进学生数学核心素养与综合能力的协同发展，体现了“教学—评价—发展”一体化的现代教育理念。 6、 多元过程性评价 为全面评估学生在知识建构、思维发展与数学活动参与中的表现，本课程采用《“矩形的性质”课堂学习评价表》（详见附录）作为过程性评价工具，贯穿教学各环节，以实现对学习过程的持续诊断与反馈。 （一）评价实施机制 1.多阶段嵌入 在“小组合作，探究新知”阶段，重点关注学生在“观察与猜想”“验证与操作”“合作与交流”等维度的行为表现；在“归纳总结，得到性质”与“应用新知，解决问题”阶段，侧重评估“推理与证明”“应用与迁移”等能力的发展水平；在“课堂小结，反思提升”阶段，结合学生的归纳表达与认知反思，完成“小结与收获”维度的综合评价。 2.多主体协同参与 采用学生自评、小组互评与教师评价相结合的三元评价机制，提升评价的全面性与客观性；学生在完成各阶段任务后，即时进行自我评定并记录认知反思；教师依据课堂观察、学生表达及任务成果，在课后完成专业评价与教学建议。 （二）评价与教学的整合路径 本评价表并非独立于教学过程之外，而是作为教学推进的有机组成部分，自然融入各学习环节。评价活动与学习任务同步展开，学生可在学习单或小组记录中直接完成评价，实现“教—学—评”的实时互动与动态统一。 （三）评价的教育功能 第一，促进元认知发展，通过自评与反思，引导学生对自身认知过程进行监控与调节，提升学习自主性；第二，支持教学决策优化，为教师提供持续的学习过程数据，助力教学策略的动态调整与个性化支持；第三，强化社会性互动能力，借助多维度评价指标，引导学生发展合作、表达与倾听等社会建构能力；第四，落实素养导向评价，将几何直观、逻辑推理、数学表达等核心素养具象为可观测的行为指标，推动素养目标的实际达成。 （四）理念基础与设计逻辑 本过程性评价体系体现了“促进学习的评价”理念，其设计逻辑根植于以下原则。第一，发展性导向，强调对学生学习路径与思维发展的持续关注，而非仅以结果作为评判依据；第二，主体性共建，通过学生参与评价过程，增强其在学习中的主体地位与责任意识；第三，素养整合性，评价内容与教学目标高度一致，确保评价过程本身成为素养培育的实践路径，实现“以评促学、以评导教”的良性循环。 七、教学反思 （一）发展学生几何直观，培养学生几何思维 几何直观指“利用图形描述和分析数学问题”。几何直观既是数学课程十大核心概念之一，也是数学学科核心能力之一。学生现阶段思维处在抽象和具象之间，使得学生对于一些抽象图形的理解存在困难。因此本堂课首先通过几何画板，让学生能够通过把抽象的概念转化为直观的图形，并进一步通过操作，发现矩形的特殊性质，对矩形进行深入的理解和分析，可以使学生获得更加深刻的数学观念和概念。 （二）注重学生思维训练，讨论不流于表面 随着新课程的改革，课堂教学也不断变革。“小组讨论”在课堂教学中已经是教师常用的教学手段和策略。但是如何使讨论更有效？如何避免讨论的形式化？如何高效完成讨论并得到教师希望的结果？在本节课中通过对谈论环节的细化，教师引导词的层层推进，实现了讨论的高效和价值。 （三）回归教材，研读教材 对教材例1进行处理，尝试两种教学设计，尊重教材的同时，充分开发教材的可能性。教材为教学提供了丰富的素材，点明了教学的方向。因此，研读教材，以教材为蓝本，才能达到“以学增智，提高学生思维能力”的作用。 八、板书设计 19.1.1矩形的性质 1、 定义：有一个角是直角的 平行四边形叫做矩形. 2、 性质 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心 对称 对边平行切相等 对角相等 互相平分 矩形的 特殊性质 轴对称 四个角都是直角 对角线 相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° ∴AC=BD 3、 数学方法：类比、分类、转化、整体 几何图形性质探究路径： 观察、猜想、验证、证明 解：由题得 AB+BC+CD+AD+2(OA+OB+OC+OD) =AB+BC+CD+AD+2(AC+BD) =86 ∵AC=BD=13 ∴AB+BC+CD+AD=86-2(AC+BD)=34cm 即矩形的周长为34cm 九、课堂教学目标检测 · 作业目标 目标1：能够激起学生的兴趣和好奇心； 目标2：会用矩形的性质进行简单的计算； 目标3：帮助学生经历审读题意、分析条件、寻找关系、回顾反思全过程，能进行合情推理和演绎推理； 目标4：实际应用提升思维能力，体会数学来源于生活，又服务于生活。 · 作业内容 【A夯实基础】（必做） 教材100页，练习题1、2题 【B能力提升】（选做） 1. 如图1，在矩形ABCD中，点E在边CD上。将该矩形沿AE折叠，恰好使点D落在对角线AC上的点F处，如果CE=10，DE:EC=4:5，那么CF= 6 。 图1 图2 2. 如图2，四边形ABCD是矩形，连接AC，将该矩形沿AC折叠，使点D落在矩形外部点F处，AF、BC相交于点E。如果AD=9,CD=3，那么的面积是 7.5 。 3. 如图3，在矩形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，将该矩形沿DE折叠，使点C落在矩形外部点F处，延长DF、BA交于点G。如果AG=1，CD=，那么DG= 。 图3 图4 4. 如图4，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，DE平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，如果∠BDF=15°，求∠COF的度数。 答案：75° 【C思维挑战】（选做） 阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”。 如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”。 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 。 (1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小； (3) 若△ABC是锐角三角形，且BC > AC > AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明。 解：(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”。 (2) 此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、矩形ABEF 易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等。 (3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 。 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S。 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则 L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c 。 ∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)， 而 ab>S，a>b， ∴ L1- L2>0，即L1> L2 同理可得，L2> L3 。 ∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小。 【D综合实践】（选做） 请从以下三个主题中选择一个你感兴趣的完成，探索数学与历史、文化、科技的深远联系。 1. 研究古代测量工具：选择一种中国古代测量工具（如矩、规、步车），了解其原理与用途，并制作一份简易研究报告或模型。 2. 讲述数学家故事：选择一位中国古代数学家，查阅其生平与成就，撰写一篇约800字的演讲稿。 3. 探索矩形的应用：调研矩形在古代建筑或器物中的应用，并设想其在未来科技中的可能用途，最终以一张科普海报呈现成果。 十、附录 “矩形的性质”课堂学习评价表 （A优秀 B良好 C需努力） 班级 姓名 评价维度 评价内容与标准 自评 组评 师评 一、观察与猜想 A：主动多角度地观察，发现并提出有价值的猜想。 B：能在老师或同学启发下观察，提出合理的猜想。 C：观察不够全面，提出的猜想较为模糊或偏离方向。 二、验证与操作 A：能熟练规范地使用工具（尺、量角器、折纸）验证，记录清晰。 B：能在同伴帮助下进行验证并记录。 C：操作不熟练，验证过程无序，记录不完整。 三、合作与交流 A：积极参与，主动分享，认真倾听。 B：能参与小组讨论并完成任务。 C：参与少，合作意识较弱。 四、推理与证明 A：清晰理解证明思路，独立完成规范证明。 B：在同伴或老师的提示下理解并参与证明。 C：对证明思路感到困惑，参与度较低。 五、应用与迁移 A：能熟练运用性质解题，思路清晰正确。 B：需少量提示才能解决问题 。 C：在应用性质解决问题时存在较大困难 六、小结与收获 A：主动发言，总结清晰有见解，表达自信流畅。 B：能复述的重点，但缺少反思，表达基本完整。 C：只有零散回忆，语言表达不准确。 反思与收获（自评）： 寄语与建议（师评）： 学科网（北京）股份有限公司 $