精品解析：河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（一）

2025-2026学年方城县第一高级中学高三迎一模数学模拟试题（一） 一、单选题 1. 下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，得到答案. 【详解】． 故选：A 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集和补集的概念计算即可. 【详解】因为，所以． 故选：D 3. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 【详解】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，， 由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 故，的最小值为. 故选：B 4. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 5. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可. 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合， 所以，即， 故选：D 6. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时取等． 故选：B 8. 已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得与圆C相切 C. ，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行列方程求解判断A；根据直线过定点在圆C内判断B；根据弦长公式列方程求解判断C；根据垂径定理求解即可判断D. 【详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误； 对于B：直线，令则， 所以直线过定点，又因为，即在圆C内， 所以直线与圆C相交，所以B错误; 对于C：若两弦长相等，则， 所以，所以或， 所以或，所以C错误 对于D：直线，令，则， 所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确. 故选：D 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若函数是R上的奇函数，则 B. 函数与为同一个函数 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若是第二象限角，则是第一象限角 【答案】ABC 【解析】 【分析】由奇函数的性质可判断A；根据函数的三要素是否相同判断B；根据含有一个量词的命题的否定判断C；根据的范围，可写出的取值范围，即可判断D. 【详解】对于A，函数是R上的奇函数，则有，故正确； 对于B，因为定义域为R，且， 的定义域为R，二者定义域相同，对应关系相同，值域均为， 所以与是同一函数，故正确； 对于C：命题“，”为全称量词命题， 则其否定为存在量词命题：“，”，正确； 对于D：由题知是第二象限角，即，， ∴，，即是第一或第三象限角，D不正确． 故选：ABC 10. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　） A. B. 点到直线的距离是 C. 平面ECG与平面的夹角正弦值为 D. 直线与平面的法向量所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过空间向量的基底运算可得A的正误，利用空间向量夹角公式和点到面距离公式可以判断B、C、D的正误. 【详解】对于A：依题意， 所以，因此本选项结论不正确； 对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，设， 则点到直线CQ的距离，因此本选项说法正确； 对于C：,； 设平面的向量为， 则， 令可得为， 设平面的法向量为， 则，则， 所以， 即平面与平面的夹角余弦值为，所以本选项说法正确； 对于D：由正方体的性质可知平面， 所以平面的一个法向量为， 因为，， 所以， ， 所以，因此本选项说法正确. 故选：BCD 11. 数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线所围成的区域的面积小于3 D. 曲线上任意一点到原点的距离最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，用代替验证；选项B，当时，方程变形为，则，因为为整数，所以只能为0，，只能为0，1，再列举并结合曲线的对称性即可判断；选项C，结合B选项， 曲线经过6个整点围成图形的面积为3，曲线围成的图形在这6个点围成图形的外围，可判断C；对于选项D，当时，方程变形为，即，令，，从而得到，结合三角函数的图像即可求解. 【详解】对于A,用代替，可得曲线不变，则曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，方程变形为，则， 因为为整数，所以只能为0，，只能为0，1， 当时，解得，当时，解得， 当时，解得：或，当时，解得或 所以当，对应的点为，，， 因为曲线关于轴对称，所以当时，对应的点有，， 所以曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故B正确， 对于C，由B选项可得曲线恰好经过6个整点，分别为，，，，， 结合图形可知这6个点围成的面积， 因为曲线围成的图形在这6个点围成图形的外围，所以曲线所围成的区域的面积大于3，故C不正确； 对于D，当时，方程变形为，即， 令，，即， 设曲线上任意一点为，则到原点的距离，（其中）， 所以当时，， 因为曲线关于轴对称，则当时，也成立，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12. 函数的单调增区间是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间； 【详解】函数的定义域为 因为， 令，则， 所以的单调增区间为，. 故答案为：，. 13. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则_________；若，则______． 1 … 6 20 … 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】设出第一行数列的公差，以及各列的公比，用基本量表达，求得公差和公比，再求得关于，的表达关系，求解即可． 【详解】（1）设数表第一行构成等差数列的公差为，各列构成等比数列的公比均为． 因为数表中各项均为正数，因此． 由表中已知数据可得，解得． 所以，． （2）若，则，即为奇数． 因为，所以，． 实数对， 故答案为：10；． 14. 将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率计算公式结合空间向量数量积公式计算可得. 【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为，共有个基本事件； “与夹角为锐角”则且与不平行，不同时成立与不平行， 使不等式成立的事件包含：，，，共有10个基本事件； 由古典概型公式得所求概率． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. （1）若为直角，求实数a的值； （2）求点P到直线的距离. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得和，得到，，根据，列出方程，即可求解； （2）由（1）知，，求得切线方程，联立方程组，求得点的坐标，进而求得点P到直线的距离. 【小问1详解】 解：由函数和， 可得和，则，， 由是直角，则，即， 解得，则. 【小问2详解】 解：由（1）知，， 由，知，所以直线与必相交， 又由， 联立方程组，解得，即， 故点P到直线的距离为. 16. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． （1）求每次测试结果为语音识别成功的概率； （2）若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】（1）0.8 （2）选择方案二， 理由：因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低． 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则； 方案二：Y可取3，5， ， ， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3 5 P 0.512 0.488 所以；所以， 即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式求解方案二的分布列，即可求解期望，比较期望大小即可求解. 【小问1详解】 记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”， 则,，，， ，且，互斥， 所以． 即测试结果为语音识别成功的概率为． 【小问2详解】 应选择方案二，理由略. 17. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，是的右焦点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆与圆之间的位置关系，可得动圆圆心与两定圆圆心的距离之和，结合椭圆的定义，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 圆，即，得圆心，， 圆，即，得圆心，， 因为，所以圆内含于圆. 设动圆的半径为，则由已知得，， 所以， 则动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，. 故轨迹C的方程为 【小问2详解】 设直线，，，， 联立，消去，整理得， ，得，， 由， 由于，则， ， 令，则， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 18. 如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接，则， 因为，所以，则四点共面， 又由为等腰梯形，且为对称轴，可得， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，则平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形平面中，，且， 所以，则， 所以，所以， 因为，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，证得四点共面，由，利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到平面，得到，再证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，得到，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得 因为且，所以，可得， 则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面和平面所成的角为，由图像可得，为锐角， 则， 所以平面和平面所成的角的余弦值为. 19. 在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，，两式相减求得，得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意恒成立，设，根据，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. 【小问3详解】 解：由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年方城县第一高级中学高三迎一模数学模拟试题（一） 一、单选题 1. 下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（   ） A. B. C. D. 5. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得与圆C相切 C. ，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若函数是R上的奇函数，则 B. 函数与为同一个函数 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若是第二象限角，则是第一象限角 10. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　） A. B. 点到直线的距离是 C. 平面ECG与平面的夹角正弦值为 D. 直线与平面的法向量所成角的正切值为 11. 数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线所围成的区域的面积小于3 D. 曲线上任意一点到原点的距离最小值为 三、填空题 12. 函数的单调增区间是______. 13. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则_________；若，则______． 1 … 6 20 … 14. 将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为______. 四、解答题 15. 已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. （1）若为直角，求实数a的值； （2）求点P到直线的距离. 16. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． （1）求每次测试结果为语音识别成功的概率； （2）若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 17. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，是的右焦点，求面积的最大值. 18. 如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $