精品解析：上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

八年级数学学科 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3.14159 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意 B．3.14159是有限小数，属于有理数，故不符合题意； C．是分数，属于有理数，故不符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 2. 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 3. 在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理得到结论． 【详解】解：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故到三角形任意两条边距离相等的点在两边所夹的角的平分线上， ∴到三角形三条边的距离相等，这个点应是三条角平分线的交点， 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 4. 中，，、的长是方程的两根，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． 在中，，为斜边，根据勾股定理，，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求和，进而计算，进而可知的长． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 6. 如图，点是等边内一点，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则，进而得到，然后求出四边形的面积解答即可． 【详解】解：将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， 又∵，， ， ， 在中，，，， ∴， 是直角三角形，， 面积为， 过点B作于点D， 则， ∴， ∴等边面积为 ， ∴四边形的面积为， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 故选B． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 8. 若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 9. 与最简二次根式为同类二次根式，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可． 【详解】解：， 与最简二次根式为同类二次根式， ， 故答案为： 10. 2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（）激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．已知，则用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数， 将小数写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过求解一元二次方程得到实数根，然后根据根写出因式分解形式即可． 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 12. 年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加此次活动同学人数有人，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设参加此次活动同学人数有人， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 13. 若、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，利用一元二次方程的解和根与系数的关系，由a是方程根得，由根与系数关系得，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， 又∵ a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2023． 14. 若用去分母的方法解关于的分式方程时有增根，则______． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先去分母将分式方程化为整式方程；然后确定原方程的分母为零的x值，即增根可能为或；最后将增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：原方程为，其中，公分母为， 去分母，两边同乘，得： ， 化简得：， 移项整理得：， 由，得：或， 即增根为或， 代入得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：或6． 15. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，即得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，的平分线交于点，，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 过点作于，可证得，则，由勾股定理可得，则，设，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴（直角三角形的全等判定定理）， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查角平分线定理，勾股定理和三角形面积公式，掌握角平分线定理是解题关键．连接，过点O分别作、、的垂线，垂足为、、，根据角平分线定理，点O到三角形的三边的距离都相等，即．结合三角形面积公式，可以求出点O到边的距离． 【详解】解：如图，连接，过点O分别作于点D，于点E，于点F， ∵，，， ∴由勾股定理可得，， ∴， ∵点O是、平分线的交点， 又∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点O到边的距离为． 故答案为：2． 18. 已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC翻折使得点B与点A重合,折痕与边AC交于点P,如果AP=4,那么AC的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长． 【详解】分两种情况： ①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F， 由折叠可得，折痕PE垂直平分AB， ∴AP=BP=4， ∴∠BPC=2∠A=45°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BF=DF=， 又∵BC=3， ∴Rt△BFC中，CF=， ∴AC=AP+PF+CF=5+； ②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F， 同理可得，△BFP是等腰直角三角形， ∴BF=FP=， 又∵BC=3， ∴Rt△BCF中，CF=， ∴AC=AF-CF=3+. 故答案为：5+或3+． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，将原式正确化简是解本题的关键． 根据二次根式的性质将原式进行化简，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 原方程可变为：， ， ∴， 即，． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键．先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 解整式方程得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根， 是原方程的根． 22. 为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） 【答案】 解：如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先连接线段，然后作出线段的垂直平分线，再作出两公路m、n夹角的角平分线，与线段的垂直平分线相交于点，根据角平分线的性质定理可知点E到m、n的距离相等和线段垂直平分线的性质知，即点为所求． 【详解】略 四、解答题（本大题共5题，满分38分） 23. 市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润每件童装的销售利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元． 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． 24. 如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 【答案】的面积为6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键． 延长至点，使，连接，可证，则，，则，根据勾股定理逆定理可得，计算出的面积即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵为边的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 25. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． 【小问2详解】 解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 26. 如图，中，平分且平分，于E，于F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． （2） ，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. “数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” （1）在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． （2）若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． （3）请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 【答案】（1）；13 （2）能利用（1）的结论解决；的最小值为13 （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则是解题的关键． （1）由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示；过点作交的延长线于，则四边形为矩形，可得，的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，即可得结论； （2）在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，，∴，，连接，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； （3）构造和，，，， 设，则， ，，连接，过点作于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； 【小问1详解】 解：由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示； 过点作交的延长线于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；13． 【小问2详解】 解：能利用（1）的结论解决． 过程如下： 如图，在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，， ∴，， 过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最小值为13． 【小问3详解】 解：如图，构造和，，，， 设，则， ，， 连接，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3.14159 C. D. 2. 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 3. 在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 4. 中，，、的长是方程的两根，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是等边内一点，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 8. 若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 9. 与最简二次根式为同类二次根式，则______． 10. 2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（）激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．已知，则用科学记数法表示为________． 11. 在实数范围内因式分解：______． 12. 年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 13. 若、是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 若用去分母的方法解关于的分式方程时有增根，则______． 15. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______ 16. 如图，在中，，的平分线交于点，，，那么的长是______． 17. 如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为______． 18. 已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC翻折使得点B与点A重合,折痕与边AC交于点P,如果AP=4,那么AC的长为_______ 三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 解方程：． 22. 为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） 四、解答题（本大题共5题，满分38分） 23. 市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 24. 如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 25. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 26. 如图，中，平分且平分，于E，于F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 27. “数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” （1）在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． （2）若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． （3）请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $