1.3 乘法公式（课件）--2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 1.3 乘法公式（第2课时） 完全平方公式 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日9时48分12秒 2026年1月25日星期日9时48分12秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 . 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 思考 计算下列各式: (1) (m+3)2； (2) (2+3x)2. 知识点 完全平方公式 解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9； (2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =4+6x+6x+9x2 =4+12x+9x2. 对比结果和原式你有什么发现? 4 知识点 完全平方公式 (m+3)2=m2+6m+9； (2+3x)2=4+12x+9x2. 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍. 5 返回 C 中考考法 6 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间” 知识要点 完全平方公式 例1 利用完全平方公式计算： 解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－ 2 • (2x) • 3 + 32 = 4x2－12x + 9； (1) (2x－3)2； 典例精析 (2) (4x＋5y)2； (2) (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 • (4x) • 5y＋(5y)2 = 16x2＋40xy＋25y2； (3) (mn－a)2. (3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2 = m2n2－2amn＋a2. 1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 练一练 完全平方公式的几何验证 2 问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). (1) 四块实验田面积分别为： ， ， ， . a a b b a2 ab b2 ab (2)两种形式表示实验田的总面积： a a b b ①从整体看： 边长为 的大正方形， S大正方形＝ ； (a+b) (a+b)2 ②从部分看： 四块面积的和S＝ . a²+2ab+b² 2．[2025重庆巴渝学校期中]如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　) A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2 B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2 C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2 D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn C 返回 中考考法 12 a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： 想一想 你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 画一画 画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2? a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 差的完全平方公式： a−b 思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？ (1) 1022； (2) 1972. 解：原式 = (100 + 2)2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. 解：原式 = (200－3)2 = 40 000－1200 + 9 = 38 809. = 1002－2×100×2 + 22 = 2002－2×200×3 + 32 想一想 3. 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2.根据这个定义，代数式x☆(x－y)可以化简为(　　) A．2xy＋y2 B．－2xy＋y2 C．2xy－y2 D．x2 返回 【点拨】x☆(x－y)＝x2－(x－y)2＝x2－(x2－2xy＋y2)＝2xy－y2.故选C. C 中考考法 16 例2 计算： (1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9； 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9. 还有其他的方法吗？ 典例精析 (2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )； 解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9. (3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3). 解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19. (4) [( a + b) ( a - b)]2. 解： 原式 = ( a2 - b2 )2 = a4 - 2a2b2 + b4. 4．要使等式(x－y)2＋M＝(x＋y)2成立，整式M应是(　　) A．2xy B．4xy C．－4xy D．－2xy B 返回 中考考法 19 5．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________． 返回 －3 中考考法 20 返回 6. 若将多项式4a2－2a＋1加上一个单项式成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是_________________．(只要写出符合条件的一个即可) －2a(答案不唯一) 中考考法 21 【解】(2a－3b)2＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝4a2－12ab＋9b2. 中考考法 22 (3)(－4a－3b)2; (4)(x－1)2－x2. 【解】(－4a－3b)2＝(－4a)2－2·(－4a)·3b＋(3b)2＝ 16a2＋24ab＋9b2. 返回 (x－1)2－x2＝x2－2x＋1－x2＝－2x＋1. 中考考法 23 8．已知(a＋b)2＝16，(a－b)2＝9，求a2＋b2，ab的值． 返回 中考考法 24 9. 已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是(　　) A．6 B．－5 C．－3 D．4 返回 D 中考考法 25 10．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)  A．3　　 B．4　　 C．5　　　 D．6 中考考法 26 11．若x满足(x－2 026)(2 027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　) A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25 返回 【点拨】(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(x－2 026＋2 027－x)2－2(x－2 026)(2 027－x)＝1－2×0.25＝0.5. B 中考考法 27 完全平方公式 文字描述 几何验证 两个数的和(差)的平方， 等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=b 1．下列运算：①(3x＋y)2＝9x2＋y2；②(a－2b)2＝a2－4b2；③(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2；④＝x2－2x＋.其中，运算错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．计算： (1)(2a－3b)2; (2)(x－2y)2； ＝－2·x·2y＋(2y)2＝x2－2xy＋4y2. 【解】因为(a＋b)2＝16，(a－b)2＝9， 所以a2＋b2＋2ab＝16，a2＋b2－2ab＝9， 所以两式相加，化简可得a2＋b2＝12.5， 两式相减，化简可得ab＝. $ 北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 1.3 乘法公式（第1课时） 平方差公式 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日9时48分16秒 2026年1月25日星期日9时48分17秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式. 2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把 这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 计算下列各题： (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(2y-z)(2y+z) 知识点 平方差公式 =x2-2x+2x-4 =1-3a+3a-9a2 =x2-5xy+5xy-25y2 =4y2+2yz-2yz-z2 观察四个算式有什么特点？ 都是“两数和×两数差” =x2-4; =1-9a2; =x2-25y2; =4y2-z2. 4 文字语言： 两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差. 符号语言： (a＋b)( a－b)＝a²－b². 平方差公式： 证一证：代数验证 (a + b)(a − b)＝ ＝ . a2 − b2 a2 − ab + ab − b2 返回 B 1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A．(x－2y)(2y＋x) B．(x－2y)(－2y＋x) C．(x＋y)(y－x) D．(2x－3y)(3y＋2x) 中考考法 6 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)； (3) (－m＋n)(－m－n). 解：(1) (5＋6x)(5－6x) ＝52－(6x)2 ＝25－36x2. (2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2. 2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3 B 返回 中考考法 8 知1－讲 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2 (3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2 (4)指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4 (5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)2－c2 知1－讲 续表 变化形式 应用举例 (6)连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4 (7)增因式变化 (－a－b)(－a＋b)(a－b)(a＋b)＝[(－a)2－b2](a2－b2)＝(a2－b2) 3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 返回 【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝ x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4. B 中考考法 11 知识点 平方差公式 例2 利用平方差公式计算： (1) (-x-y)(-x+y)； (2) (ab+8)(ab-8) . 解： (1) (-x-y)(-x+y) = (-x)2-y2 = x2-y2； (2) (ab+8)(ab-8) = (ab)2-82 = a2b2-64. 12 4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________； (2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________； (3)(2a＋b)________＝b2－4a2. 25m2－9n2　 返回 9x2－y2 (b－2a) 中考考法 13 5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____． 返回 6 中考考法 14 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 平方差公式的几何验证 2 a a b b a + b a - b b b 几何验证平方差公式 a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b 还有其他的几何方法解释吗？ a b a+b a-b a a-b b a a b b a-b 算一算！ 合作探究 例1 用平方差公式进行计算： (1) 103×97； (2) 118×122. 解：103×97 = (100＋3)(100－3) = 1002－32 = 10000 － 9 = 9991. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用. 典例精析 例2 计算： (1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3). 解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－ a2b2 + a2b2 = a4. (2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2+6x = 6x－25. 典例精析 中考考法 21 返回 (2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)． 【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1. 中考考法 22 7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(　　) A．4ab＋4bc B．4ac C．2ac D．4ab－4bc 【点拨】(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2＝[(a＋b＋c)＋(a－b＋c)][(a＋b＋c)－(a－b＋c)]＝2b(2a＋2c)＝4ab＋4bc.故选A. 返回 A 中考考法 23 8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为(　　) A．22　　 B．24　　 C．30　　 D．34 中考考法 24 9. 若(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，则a＋b＝________. 返回 【点拨】因为(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，所以(2a＋2b)2－1＝15，所以4(a＋b)2＝16.所以(a＋b)2＝4.所以 a＋b＝2或a＋b＝－2. 2或－2 中考考法 25 平方差公式 文字描述 几何验证 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a + b)(a－b) = a2－b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=-b 6．计算： (1)(x＋2y)(－x＋2y)； 【解】原式＝＝(2y)2－＝4y2－x2. $