精品解析：云南省昆明市呈贡区2025-2026学年八年级上学期数学期末试卷

2025－2026学年上学期期末学业质量检测卷 八年级数学 （检测时间：120分钟 满分：100分） 注意事项：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律用2B铅笔填涂或用碳素笔、钢笔填写在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷上无效．考试结束后，请将试题和答题卡上交． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 2025年12月某学校组织了以“冬启活力，运动向阳”为主题的冬季运动会，运动会上同学们积极报名参加各项体育项目，在运动场上奋勇拼搏．下面几幅图片是运动会上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 3 B. －5 C. D. 3或－5 5. 如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 等边对等角 C. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点，，，分别为，，的中点，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 9. 若，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 10. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 11. 小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 14. 若的展开式中不含项，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 15. 如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是米，这个数字用科学记数法可表示为_____． 17. 当分式的值为零时，则x的值为__________． 18. 如图，平分，，，，，垂足为，则_____． 19. 关于的分式方程无解，则的值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 计算下列各题： （1） （2） 21. 先化简，再从中取一个数代入求值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，， （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）在轴上有一点，使得最小，在图中标出点（保留作图痕迹）． 23. 如图，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 24. 政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 25. 如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 26. 请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： （1）已知，求的值 （2）如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 27. 【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期期末学业质量检测卷 八年级数学 （检测时间：120分钟 满分：100分） 注意事项：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律用2B铅笔填涂或用碳素笔、钢笔填写在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷上无效．考试结束后，请将试题和答题卡上交． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 2025年12月某学校组织了以“冬启活力，运动向阳”为主题的冬季运动会，运动会上同学们积极报名参加各项体育项目，在运动场上奋勇拼搏．下面几幅图片是运动会上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂除法，整数指数幂的运算等，关键是熟练运用各运算公式，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，运算错误． 选项B：与不是同类项，不能合并，运算错误． 选项C：()，运算错误． 选项D：，运算正确． 故选：D． 3. 如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，关键是结合已知条件，分析每个选项给出的条件能否满足全等判定的、、、等规则，同时注意不能判定三角形全等． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴． 选项A：添加，结合、，满足判定定理，可判定． 选项B：添加，此时条件为、、，属于，不能判定三角形全等． 选项C：添加，则，结合、，满足判定定理，可判定． 选项D：添加，结合、，满足判定定理，可判定． 故选：B． 4. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 3 B. －5 C. D. 3或－5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的结构特征：，关键是根据公式确定中间项与首尾两项的关系，从而建立方程求解参数． 【详解】解：因为是完全平方式， 所以它可以写成的形式， 对比系数可得：， 当时，解得； 当时，解得， 因此的值为3或； 故选：D． 5. 如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 等边对等角 C. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系． 【详解】解：已知，所以是等腰三角形． 又因为，所以是等腰底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即． 因为点在路灯上，所以． 因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”． 故选：C． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正确性判断，包括完全平方公式、平方差公式、提取公因式法，解题关键是确保分解彻底且变形正确． 【详解】解：选项A：，分解错误． 选项B：，选项提取公因式不彻底，分解错误． 选项C：，选项未分解彻底，错误． 选项D：，分解正确． 因此，因式分解正确的是选项D． 故选：D． 7. 下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质与约分，关键是对分子进行因式分解，并在保证分母不为零的前提下进行约分变形． 【详解】解：选项A：，变形错误． 选项B：，变形错误． 选项C：，变形正确． 选项D：分子分母无公因式，不能约分，变形错误． 故选：C． 8. 如图，在中，点，，，分别为，，的中点，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点为的中点和，得出，根据点为的中点，得出，根据点是的中点，可得． 【详解】解：点为的中点，， ， 点为的中点， ， 是的中点， ， 故选：B． 9. 若，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，关键是逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为已知条件的形式． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意得，是边的垂直平分线，可得，，结合的周长为可得，最后通过等量代换即可得出结论． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 又 ， ， 的周长是． 故选：C． 11. 小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 12. 如图，在四边形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，通过构造辅助线(延长线段)，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质，逐步推导角度关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵在中，是外角， ∴． ∵在中，是外角， ∴． 故选：C． 13. 某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“新工艺比原工艺少用9小时”这一等量关系列出方程． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工千克梨干， 因此根据题意，列方程为：， 故选：B． 14. 若的展开式中不含项，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法与不含某项的条件，关键是先展开多项式，再令目标项的系数为0，从而求解参数值． 【详解】解：先展开多项式：， 因为展开式中不含项，所以一次项的系数为，即： 解得：. 故选：C． 15. 如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，先用三角形的内角和求出，根据折叠的性质得到，，则由等边对等角求出，从而得解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵为的中点， ∴． 由折叠的性质可知，，， ∴，即为等腰三角形． 在中，∵， ∴． ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是米，这个数字用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：这个数字用科学记数法可表示为． 故答案为：． 17. 当分式的值为零时，则x的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，利用平方根解方程，正确掌握分式的值为零，分子为零，分母不为零，是解题关键． 直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：当分式的值为零时，得 ， 即，且 解得，且， ∴． 故答案为：4． 18. 如图，平分，，，，，垂足为，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，，则为等腰三角形，可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，，， ，， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为：8． 19. 关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，分两种情况求解即可． 【详解】解： 原方程可化为， 即（其中）． 去分母得， 整理得． 当时，整式方程无解，此时； 当时，解为， 若此解为增根，则，解得． 故a的值为1或． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简，关键是牢记各类幂的运算规则，并按“先乘方，后加减”的顺序计算； （2）考查整式的混合运算，包括平方差公式、多项式乘多项式法则、去括号与合并同类项，解题关键是熟练运用公式化简多项式，再通过去括号、合并同类项得到最简结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，， （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）在轴上有一点，使得最小，在图中标出点（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图所示： ， （2）如图， 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换与最短路径问题． （1）关键是关于轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）利用“两点之间线段最短”，通过作对称点将折线转化为直线段，从而找到最短路径的点． 【小问1详解】 解：点坐标为，点坐标为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：连接，线段与轴的交点即为点． 23. 如图，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：，， 在与中， ， ， （2） 证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【答案】（1）甲、乙工程队各需要6天，12天 （2）乙至少施工4天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程即可解答； （2）设乙工程队施工a天，则甲需施工天，由题意得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程得： 解得： 经检验是原方程的解， 则乙：（天） 答：甲、乙工程队单独完成这项工程各需要6天，12天； 【小问2详解】 解：设乙工程队施工a天，则甲需施工天， 由题意得， 解得：， 答：乙工程队至少施工4天． 25. 如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【小问1详解】 解：， ． ， ． ． ， ． ． ； 【小问2详解】 略 26. 请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： （1）已知，求的值 （2）如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题包含两个小题，均考查完全平方公式的应用与换元法的结合． （1）通过换元将代数式转化为完全平方公式的形式，利用已知条件求解； （2）通过设边长，结合完全平方公式求出乘积，进而计算三角形面积． 【小问1详解】 解：设，，则， 且． 由完全平方公式，， 因此； 【小问2详解】 解：设，，则，，，故． 由完全平方公式，，代入得，解得． 在中，，， 因此的面积为． 27. 【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $