精品解析：天津市河西区2026届高三上学期期末质量调查数学试题

高三年级数学（二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（ ） A. 51 B. 100 C. 150 D. 200 6. 若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（    ） A. B. 2 C. D. 8. 如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为α（图2），要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，点也是抛物线的焦点，过点的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数，则______． 11. 已知是偶函数，则＝___________ 12. 直线与圆交于A、B两点，若，则______． 13. 在中，，，，，且与交于点F，则______（用表示），若，则的最大值为______． 14. 在数列中，，，则______． 15. 若函数存在零点，则a的取值范围为______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 17. 已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点． （1）求证：面面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． （1）求椭圆的标准方程； （2）点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 19. 已知数列是各项都为正数的等比数列，，且是和的等差中项． （1）求的通项公式； （2）对于数列满足：，且．若存在，，使得对任意的，恒成立． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求． 20. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：； （3）若，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学（二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义可得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：D. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，先与特殊值比较，再比较的大小. 【详解】由于单调递减，则，故； 由于单调递增，则，故； 由于单调递减，则，故； 综上，. 故选：B. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除B. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除C. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除D. 故选：A. 5. 在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（ ） A. 51 B. 100 C. 150 D. 200 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性，可得时，的解析式，根据指数函数的单调性，可得x的范围. 【详解】当时，， 因为在R上单调递减，所以； 当时，，， 因为为偶函数，所以， 因为在R上单调递增， 由，得， 综上不等式的解集为. 故选：A 7. 已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相位分析，要满足正弦函数区间内存在两个最小值点，则只需要，问题即可求解. 【详解】因为函数的值域为， 所以存在互不相同的，使得， 即同时使得，即 因为 由于区间内使得正弦函数取最小值时的的取值依次是， 所以， 故选：D. 8. 如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为α（图2），要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于的一个等式，即可求出的取值范围，得到最大值. 【详解】水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时最大，画出图形，如图所示，    过点作，交所在的直线于，过点作，交所在的直线于,设，则，所以液体的体积为： ，解得，, ，，又，角的最大值为 故选：C 9. 已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，点也是抛物线的焦点，过点的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得，，由平面向量数量积的运算性质可得出，可得出关于、的齐次等式，即可求解． 【详解】如下图所示： 因为，由双曲线的定义可得，则， 因为为的中点，则，则， 所以，，又因为， 所以，， 即，整理可得， 由点也是抛物线的焦点，得，即， 得，所以， 因此，该双曲线C的方程为：. 故选：B. 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】通过复数的除法运算和复数模的公式进行求解即可. 【详解】复数， 则. 11. 已知是偶函数，则＝___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性性质，即可求出． 【详解】因为是偶函数，所以， 即，又，． 【点睛】本题主要考查三角函数奇偶性的性质应用． 对于，若为奇函数，则，若为偶函数，则； 对于，若为奇函数，则，若为偶函数，则； 对于，若为奇函数，则． 12. 直线与圆交于A、B两点，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得所求值. 【详解】由圆，得圆心，半径. 所以圆心到直线的距离. 又因为，所以， 即，化简得，解得或. 故答案为：或. 13. 在中，，，，，且与交于点F，则______（用表示），若，则的最大值为______． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】①先设，再由向量的线性运算及三点共线可得，从而可得；②再由，由向量的数量积为零可得关于的余弦值，再用基本不等式可得角的最大值. 【详解】如图： 设，则，且，所以. 又因为，所以，. 因为三点共线，设，则，即， 因为不共线，由平面向量基本定理得，解得 所以，. 若，设，则，即， ，，， 又因为，且在上单调递减， 所以，故的最大值为. 故答案为：；. 14. 在数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】考察求数列通项的方法：累加法；在化简过程中注意对数运算； 【详解】化简得：， ，，，； 将上述式子相加， 得， 代入，得， 则， 故答案为：. 15. 若函数存在零点，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为半圆与函数有交点，注意到函数的拐点在直线上，结合图形分析可得. 【详解】令，得， 则函数有零点，等价于和有交点， 即半圆与函数有交点. 函数过点，点在直线上，如下图所示： 当函数过点时，，由图可知，当时，满足题意. 综上所述， 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，结合三角恒等变换求B； （2）用余弦定理结合已知边、角求b； （3）由正弦定理求，再用二倍角、两角差公式计算． 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即， 展开得，即， 因为，所以． 【小问2详解】 因为在中，由余弦定理得， 所以． 【小问3详解】 在中，由正弦定理得； 因为，所以，故为锐角，则； 因为，； 所以． 17. 已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点． （1）求证：面面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可； （2）利用二面角的向量公式计算即可； （3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ，， ，， 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． ， 平面平面． 【小问2详解】 是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，， 又是平面的一个法向量， 点A到平面的距离． ， 梯形为等腰梯形，易得梯形的高为， ，． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． （1）求椭圆的标准方程； （2）点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，为12 【解析】 【分析】（1）由椭圆的几何性质进行求解; （2）设直线的方程为，交x轴于点,与椭圆方程联立,求出,再联立两直线与直线,求出,再由数量积求解. 【小问1详解】 因为离心率所以，，， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，， 因为点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线的斜率一定存在且不为0，设为k 所以直线的方程为，交x轴于点 , 所以联立得, 因为，所以，所以， 直线的斜率, 直线的方程为, 因为直线的方程为, 联立得, 所以, 所以为定值12. 19. 已知数列是各项都为正数的等比数列，，且是和的等差中项． （1）求的通项公式； （2）对于数列满足：，且．若存在，，使得对任意的，恒成立． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设公比为，由题意得，，根据等差中项的性质，可得q值，即可得通项； （2）（ⅰ）根据条件，整理计算，可得恒成立，利用分析法和反证法，即可得的通项公式； （ⅱ）由（1）及（ⅰ）得，利用裂项相消求和法，即可求得答案. 【小问1详解】 因为数列是各项都为正数的等比数列，且， 设公比为，所以，， 因为是，的等差中项， 所以，即，解得（舍）或， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意任意，，且， 令，可得，解得. 因为存在，，使得对任意的，恒成立， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，其中； 由，则当时，，且， 因为，则数列单调递增，可知当，. 由题意任意的，， 可得，即， 则，所以， 则，故恒成立. 假设当时，， 由，，可知， 这与恒成立矛盾，故当时，. 令，则. ①假设，则， 当，，则， 这与当时，矛盾； ②假设，则， 故同理可知，当， ，这也与当时，矛盾； 由①②可知， 故当时，，即. 又为递增数列，且当，，所以， 即恒成立，故由， 可得对任意，成立， 由，可得， 任意，，则成立， 固定，当，，则，要使成立， 所以对任意，成立， 即； （ⅱ）由（1）及（ⅰ）得，，， 所以， 所以. 20. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：； （3）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）; （2）证明见解析; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义来求切线方程即可； （2）利用不等式变形后构造函数，结合导数来判断单调性，即可证明不等式； （3）利用反证法排除，然后再去研究，利用构造函数求导分析，来求参数取值范围. 【小问1详解】 因为，所以切线斜率， 因为，所以切点为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由， 设，则时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，即，所以； 【小问3详解】 结合的非正数次幂没有意义， 则对于任意的，都能满足均有意义，则， 若，取，， ， 与已知矛盾，所以， 因为，时显然成立 不妨设，令，由得， ， 设，， 所以， 所以在上单调递减， 所以， 因为， 设，，所以， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当不合题意， 当时，， 所以，即， 即，符合题意， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $