精品解析：河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

新乡市附中2025–2026学年上期九年级期末数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下“中国卫生、中国卫生应急、社区卫生、中国红十字”四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 在地面向上抛出一个篮球还会下落 B. 三角形的三个内角之和等于 C. 从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D. 掷一枚硬币次，仅有1次正面朝上 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：）     A. B. C. D. 6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，连接，若的面积为2，则（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图①，，是上的两定点，圆上一动点从点出发，按逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是，图②是随变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ） A. 的半径为 B. ，两点间的距离为 C. 点的运动速度为 D. 的度数为 二．填空题（每空3分，共15分） 11. 某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 12. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上，则甲与乙相邻而坐的概率为_____________． 13. 如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“三角板的两边，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为_____． 14. 如图，在中，，以O为圆心，为半径作半圆，以A为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 _____． 15. 如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形中，点在边上，连接，则点为直角点．若点分别为矩形边上的直角点，且则线段的长为_____． 三．解答题（共75分） 16. （1）解方程：； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题： （1）绕点旋转后得到，请画出 （2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； （3）若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 18. 嵩岳寺塔，位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间某数学兴趣小组想测量塔的高度，点为塔楼底面中心，在处测得塔楼顶端的仰角为，沿方向前进米到达处，又测得塔楼顶端的仰角为，测角仪高度米，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到米；参考数据；，，） 19. 一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 20. 如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点．连接． （1）尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 21. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 22. 探究函数的图象与性质. (1)下表是y与x的几组对应值. … … … … 其中m的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________； (4)若关于x的方程有2个实数根，则t的取值范围是___________________. 23. 如图，在中，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接．点和点分别是边，的中点． 【问题发现】 （1）如图1，若，当点是边的中点时， ，直线与相交所成的锐角的度数为 度． 【解决问题】 （2）如图2，若，当点是边上任意一点时（不与、重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，若，，，在点运动的过程中，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市附中2025–2026学年上期九年级期末数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下“中国卫生、中国卫生应急、社区卫生、中国红十字”四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 在地面向上抛出一个篮球还会下落 B. 三角形的三个内角之和等于 C. 从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D. 掷一枚硬币次，仅有1次正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 本题主要考查了随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义是解题关键． 【详解】∵ A：篮球受重力作用总会下落，是必然事件； ∵ B：三角形内角和恒为，是必然事件； ∵ C：袋中只有红球，摸出白球是不可能事件； ∵ D：掷硬币结果不确定，正面朝上次数随机，是随机事件。 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设道路宽度为x米，根据草坪的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】设道路宽度为x米， 根据题意得，． 故选：A． 5. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于，地面于，可得，解得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，地面于， 由题意得，， 在中，∵，， ∴， ∴坐垫离地面高度约为， 故选：． 6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键．如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，， ，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∴四边形和是矩形， ∴，， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解得， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 7. 如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，证明，再利用相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 8. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，连接，若的面积为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，，再根据反比例函数的面积关系解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题关键． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， 设点， ∵轴， 点， ， ， ， ， , ， 点是反比例函数图象上一点，， ， ∵的面积为2， ， ， ， , ， ， ， 故选：C． 9. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤． 【详解】解：由图得：，， 对称轴在轴右侧， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， ， ， 故②正确； 由图象得， 解得：， 抛物线与的另一个交点为， ， 即：， 故③正确； 设，则图象为过且垂直于轴的一条直线， 与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故④正确； 抛物线的对称轴是直线， 且， 当时， ， ， 故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，共个； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键． 10. 如图①，，是上的两定点，圆上一动点从点出发，按逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是，图②是随变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ） A. 的半径为 B. ，两点间的距离为 C. 点的运动速度为 D. 的度数为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 由题图得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定、、，最后根据，结合等边三角形的性质可对选项D进行判断． 【详解】解：A、由题图得，当时，，即此时、、三点共线，则的半径，故A选项正确，不符合题意； B、当时，点到达点处，此时， 、两点间的距离为，故B选项正确，不符合题意； C、点从点运动到、、三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， 点的运动速度是，故C选项正确，不符合题意； D、当点运动到点时，，即， 是等边三角形， ，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 二．填空题（每空3分，共15分） 11. 某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 12. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上，则甲与乙相邻而坐的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和甲与乙相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有：①③，②③，③①，③②，共4种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为， 故答案为：． 13. 如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“三角板的两边，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． 【详解】解：由题可知：, , , , ，，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以O为圆心，为半径作半圆，以A为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查扇形面积的计算，解题关键在于结合图形找出各面积之间的关系．根据直角三角形的性质可得 ，，利用阴影部分的面积代入数据计算即得． 【详解】解：在中， ， ∴， ， 阴影部分的面积 故答案为：2． 15. 如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形中，点在边上，连接，则点为直角点．若点分别为矩形边上的直角点，且则线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】作于点，得出，根据相似三角形的性质，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案． 此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：作于点，连接， , , , , , , , , 或， ∵点分别为矩形边上的直角点， , 时，,, , , 时，此时和重合，则, 则或， 故答案为：或． 三．解答题（共75分） 16. （1）解方程：； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）移项后用因式分解法解一元二次方程； （2）先代入特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减． 本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值计算，掌握因式分解法解方程，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 【详解】解：（1） ． 或 （2）原式 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题： （1）绕点旋转后得到，请画出 （2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； （3）若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点； （2）点为位似中心，按位似比为即可求解： （3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧与轴交点即可求解． 本题主要考查点的坐标关于原点对称,位似图形及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：,, 18. 嵩岳寺塔，位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间某数学兴趣小组想测量塔的高度，点为塔楼底面中心，在处测得塔楼顶端的仰角为，沿方向前进米到达处，又测得塔楼顶端的仰角为，测角仪高度米，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到米；参考数据；，，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为米． 【解析】 【分析】延长交于点，则，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，则， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， 米， 嵩岳寺塔的高度约为米． 19. 一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【小问1详解】 解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 20. 如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点．连接． （1）尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求： （2）①证明：连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； ②． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）连接，可得，由，可证，可得，然后推出，即可证明； 在 中，根据勾股定理可得， ，再由，，可得，然后推出，然后可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 解：， ， ，， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）如图，过点C作轴于点D，证明，利用相似三角形的性质得到，求出点C的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达式为，将点代入即可得到直线的表达式； （2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 【小问1详解】 如图，过点C作轴于点D， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 将点C代入中， 可得， ∴， 设的表达式为， 将点代入可得， 解得：， ∴的表达式为； 【小问2详解】 直线l的解析式为， 当两函数相交时，可得， 解得,, 代入反比例函数解析式， 得， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识． 22. 探究函数的图象与性质. (1)下表是y与x的几组对应值. … … … … 其中m的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________； (4)若关于x的方程有2个实数根，则t的取值范围是___________________. 【答案】(1)3； (2)如图所示： (3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）； (4)t＞1或t=0. 【解析】 【分析】（1）把x=3代入解析式计算即可得出m的值； （2）画出图象即可； （3）根据图象得出性质； （4）观察图象即可得出结论． 【详解】（1）当x=3时，y==3，∴m=3； （2）略 （3）略 （4）观察图象可知：当t＞1或t=0时，关于x的方程有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 23. 如图，在中，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接．点和点分别是边，的中点． 【问题发现】 （1）如图1，若，当点是边的中点时， ，直线与相交所成的锐角的度数为 度． 【解决问题】 （2）如图2，若，当点是边上任意一点时（不与、重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，若，，，在点运动的过程中，直接写出的最小值． 【答案】（1），30； （2）解：上述两个结论仍然成立，证明如下： 如图所示，连接， 同理可证明，都是等边三角形， ∵点和点分别是边，的中点 ， ，， ， 同理可得，，，， ， ， ， ， ∴同理可得， ∴直线与相交所成的锐角的度数为， ∴上述两个结论仍然成立； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知和旋转的性质可得，是等边三角形，分别可以表示各边的长度，进而可求出比值，以及相交所成的角度； （2）连接，，证明，即可得出结论； （3）由勾股定理得的长度，进而求出，，，可求得度数，根据垂线段最短即可求解． 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， ∵点是边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，， 是等边三角形， ，， ∵点为的中点， ， ， ，， ， ∴直线与相交所成的锐角的度数为， 故答案为：；． （2）略 （3）解：如图所示，连接， ， ， ， 是的中点， ，， ， ， 同（2）可得， ， ， ∴点在直线上运动， 根据垂线段最短可知：当时，最小， 此时，是等腰直角三角形， 即， ， ， 即的最小值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $