精品解析：广东省江门市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期义务教育质量监测 九年级数学试卷 说明：1．考试时间为120分钟，满分120分．考生交卷时，只交答题卡． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、试室号、座位号、考号，用2B铅笔把对应号码涂黑．答卷过程中，考生不能使用计算器． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案；然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的项涂黑． 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 3. 反比例函数y＝的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 4. 方程配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 8. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 下列两个图形中，不一定相似的是（ ） A. 两个正方形 B. 两个菱形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等边三角形 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）：把正确的答案填写在答题卡内． 11. 数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：_____． 12. 原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为______． 13. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ____________________． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 15. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 三、解答题（本大题共3小题，第16、18小题各6分，第17小题10分，共22分） 16. 解方程：． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）求点C旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 18. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为、、、．恩平市体育学校的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下．他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 20. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 21. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分） 22. 综合与探究： 【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点，点叫做的重心． 【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点，连接，证明 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系． 第三步 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程； 【问题解决】（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）． ①如图II，若点是弦的中点，交于点，则的值为_____． ②如图III，在①的条件下，若，求的值． ③如图IV，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，，请求出与的函数关系式． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期义务教育质量监测 九年级数学试卷 说明：1．考试时间为120分钟，满分120分．考生交卷时，只交答题卡． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、试室号、座位号、考号，用2B铅笔把对应号码涂黑．答卷过程中，考生不能使用计算器． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案；然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的项涂黑． 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. “翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 反比例函数y＝的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】解：∵k＝2＞0， ∴反比例函数图象位于第一、三象限， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键． 4. 方程配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键．先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可． 【详解】， ， ， 故选：B 5. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根；列出方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：C． 7. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值． 【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1， ∵OD⊥AB，AB=4， ∴AC=AB=2， 在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2， ∴r2=22+（r-1）2， r=， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 8. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论，解题的关键是找出． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据切线的定义得出，推出，，设，根据三角形的内角和为，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的定义，等边对等角，三角形的内角和，解题的关键是掌握切线经过半径外端且垂直于半径；三角形的内角为． 10. 下列两个图形中，不一定相似的是（ ） A. 两个正方形 B. 两个菱形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A. 两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似； B. 两个菱形, 对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似； C. 两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似； D. 两个等边三角形，角都是60°，故相似； 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）：把正确的答案填写在答题卡内． 11. 数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：， 故答案为：． 12. 原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或得到其对应点的坐标即可． 【详解】解：∵原点为与的位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 13. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把解析式设为顶点式，即，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，据此可得答案． 【详解】解：设此抛物线解析式为， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 15. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 重物上升， 点A转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，第16、18小题各6分，第17小题10分，共22分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）求点C旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换作图、弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A逆时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ， 点C旋转到点的过程中所经过的路径长为． 18. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为、、、．恩平市体育学校的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下．他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率． 【答案】见解析， 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数，再找到体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，一共有种等可能性的结果数，其中符合条件的结果数有2种， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 20. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 【答案】（1）道路的宽是米 （2）月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程和函数是解题关键． （1）设道路的宽为米，根据题意列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金为元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出二次函数解析式并根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：(舍去)，， 答：道路的宽是米； 【小问2详解】 解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得：， ∵政府规定月租车位租金最高限价为350元， ∴当时，最大为元， 答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元． 21. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴． （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分） 22. 综合与探究： 【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点，点叫做的重心． 【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点，连接，证明 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系． 第三步 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程； 【问题解决】（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）． ①如图II，若点是弦的中点，交于点，则的值为_____． ②如图III，在①的条件下，若，求的值． ③如图IV，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，，请求出与的函数关系式． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）思路一：取中点，连接，则，由题意可得，证明是的中位线，得出，，从而可得，，由相似三角形的性质可得，由中线的性质可得，从而可得，进而得出，求出，设，则，，则，即可得出结果；思路二：如图，作平行交延长线于点，证明，得出，由中线的性质得出，证明，得出，即可得出结果； （2）①如图II，过点作，交的延长线于，证明，得出，证明，得出，即可得出结果；②连接，，设，则，，由勾股定理得出，，证明为的中位线，得出，即可得出结果；③连接，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，则，，，过点作于点，交于点，，从而可得，，进而得出，，，再证明，得出，从而可得，整理即可得出结果． 【详解】解：（1）思路一：如图3，取中点，连接， ， 则， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴； 思路二：如图，作平行交延长线于点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2）①如图II，过点作，交的延长线于， ， 则，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图III，连接，， ， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴； ③如图IV，连接， ∵为直径 ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 过点作于点，交于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数与轴分别交于点、两点， 当时，，则 当时，可得，解得，则， 将，代入抛物线，可得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设，， 过点作于点，过点作轴交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为， 点到直线的最大值为； 【小问3详解】 解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 则， ， ， 当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时， 直线解析式的值与直线解析式的值相同，为， 直线与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称可知， 上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线， 上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等， 根据平行线分线段成比例可得， 故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线与“心形图”有交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $