精品解析：河北张家口2025-2026学年上学期学业水平测试第四次九年级数学期末考试

2025-2026学年第一学期学业水平测试（四） 九年级数学（人教版Z） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非A并题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列立体图形中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的盒子中装有若干个白球和3个红球（除颜色外其余都相同），从盒子里随机摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数约为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 7. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. 2024 C. D. 2026 8. 如图是人字梯及其侧面示意图，米，与的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 10. 一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的半径为，正方形内接于，点在上运动（不与点重合），连接，作，垂足为，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________． 14. 已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是___________． 15. 如图是一个圆球漂浮在水面上的平面示意图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为的半径为3．若点为的最低点，则点到弦所在直线的距离是___________． 16. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，分别以和为两直角边长作，然后在斜边上截取，则的长就是方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的面积为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 习题2：． 解：，第一步 ，第二步 ．第三步 （1）习题1的解答过程是从第___________步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第___________步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 18. 数学学习小组准备了4张除正面外其余完全相同的卡片，在正面分别写上数字1，2，3，5，背面朝上洗匀， （1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 19. 如图是一辆自行车的实物图和它的平面示意图．已知， ，． （1）求车架档的长（结果精确到）； （2）求车链横档的长（结果精确到，参考数据：） 20. 如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个半圆，直径．，交半圆于点，底座放在水平面上，是支架，，灯泡初始位置时．将灯罩绕点顺时针旋转，使得半圆与相切，点的对应点分别为． （1）求灯罩顺时针旋转的角度； （2）求点到的距离； （3）求点经过的路径的长． 21. 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． （1）线段的函数解析式和定义域为______； （2）双曲线段的函数解析式和定义域为______； （3）求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； （4）此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 22. 如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，求的半径长． 23. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接． （1）如图1，若点落在边上， ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，若，求直线，所夹锐角的度数． （3）若，直接写出点到的最大距离． 24. 如图1，抛物线（为常数）与轴交于点，与轴的两个交点位于原点两侧． （1）抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求的取值范围． （2）在（1）的条件下，将抛物线平移个单位长度得到抛物线4．与轴相交于，两点（点在的左侧），与轴相交于点，如图2． ①求的最小值； ②过点作直线，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴交直线于点，分别过点，作抛物线的对称轴的垂线，垂足为点，．当以点，，，为顶点的四边形在直线，之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点的横坐标的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业水平测试（四） 九年级数学（人教版Z） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非A并题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意。 故选：C． 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 3. 下列立体图形中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下看得到的图形，逐项分析即可得出结果，还考查了学生的空间想象能力． 【详解】解：A、该几何体的俯视图为正方形，故不符合题意； B、该几何体的俯视图为圆，故不符合题意； C、该几何体的俯视图为四边形，故不符合题意； D、该几何体的俯视图为三角形，故符合题意； 故选：D． 4. 如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，证明，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：观察图中，得出， ∴， ∴， ∵动力臂，阻力臂， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正切值，先理解题意，结合网格特征，在中，，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合网格特征，在中，， ∴， 故选：B． 6. 一个不透明的盒子中装有若干个白球和3个红球（除颜色外其余都相同），从盒子里随机摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数约为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用及利用概率求数量，读懂题意列出方程是解题的关键． 设盒子中白球有个，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设盒子中白球有个， 根据题意有，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 故选：B． 7. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. 2024 C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 直接利用两根之和与两根之积计算代数式的值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选A． 8. 如图是人字梯及其侧面示意图，米，与的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的性质，作于点，则，由等腰三角形的性质可得，，再解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点，则， ∵米，， ∴，， ∴， ∴米， ∴米， 故选：D． 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数的性质是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，根据函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入解析式得，， ， ，选项正确，不符合题意； 当时，，选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，选项不正确，符合题意； ， 在第一象限随的增大而减少，选项正确，不符合题意． 故选：C． 10. 一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先理解题意，记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，结合等腰三角形的性质得，又因为旋转性质得，即可作答． 【详解】解：记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，如图所示： ∵等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限． ∴， ∵旋转， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 故选：A 11. 如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 则的值可能是． 故选：B． 12. 如图，的半径为，正方形内接于，点在上运动（不与点重合），连接，作，垂足为，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、正方形的性质，取的中点，以为直径作半圆，由直角三角形的性质可得，由正方形的性质可得，从而得出，由勾股定理得出，最后由计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，以为直径作半圆． ， ， ∵， ，即点在半圆上运动． 正方形的外接圆的半径为， ， ． ， ． ， ， 的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上. 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴ ， ∴. 故答案为：. 14. 已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出的面积，再根据三角形面积公式求解边上的高即可． 【详解】解：∵，且与是对应边，， ∴相似比，面积比． 又∵， ∴． 设边上的高为h， 则， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图是一个圆球漂浮在水面上的平面示意图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为的半径为3．若点为的最低点，则点到弦所在直线的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，连接，交于点H，结合点为的最低点，得，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，交于点H，如图所示： ∵点为的最低点， ∴， 即， 依题意，， 在中，， ∴， 即点到弦所在直线的距离是， 故答案为：． 16. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，分别以和为两直角边长作，然后在斜边上截取，则的长就是方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、解一元二次方程等知识点，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． 根据题意构造以和8为直角边长的直角三角形，再根据可得，即；再运用勾股定理列一元二次方程求得a的值，然后再求的面积即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， 如图，以和8为直角边长作直角三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，解得：（已舍去负值）， ∴的值为， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 习题2：． 解：，第一步 ，第二步 ．第三步 （1）习题1的解答过程是从第___________步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第___________步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）三，一 （2）习题1：；习题2：． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． （1）根据择习题1和习题2的解题步骤分析即可； （2）分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：根据，可知习题1从第三步开始出现错误； 根据可能等于0，可知习题2从第一步开始出现错误； 【小问2详解】 解：选择习题1： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 选择习题2： 解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 18. 数学学习小组准备了4张除正面外其余完全相同的卡片，在正面分别写上数字1，2，3，5，背面朝上洗匀， （1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：数字1，2，3，5中，2是偶数， ∴从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 【小问2详解】 列表如下： 第二张 第一张 1 2 3 5 1 / 3 4 6 2 3 / 5 7 3 4 5 / 8 5 6 7 8 / 共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果是6种． ∴2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 19. 如图是一辆自行车的实物图和它的平面示意图．已知， ，． （1）求车架档的长（结果精确到）； （2）求车链横档的长（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）车架档的长约为． （2）车链横档的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，得出，即可作答． （2）先作于点．整理得，根据，故，把数值代入，得，又因为，再代入数值到，即可作答． 【小问1详解】 解： 在中，， ， 车架档的长约为． 【小问2详解】 解：如图，作于点． ， ． ， ． ． ， ． 车链横档的长约为． 20. 如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个半圆，直径．，交半圆于点，底座放在水平面上，是支架，，灯泡初始位置时．将灯罩绕点顺时针旋转，使得半圆与相切，点的对应点分别为． （1）求灯罩顺时针旋转的角度； （2）求点到的距离； （3）求点经过的路径的长． 【答案】（1）灯罩顺时针旋转的角度为 （2）点到的距离是 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，扇形的弧长，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，即可求解； （2）作于点，根据直角三角形的性质可得，即可求解； （3）连接，，由旋转的性质可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得，即， ， ， ， 灯罩顺时针旋转的角度为， 【小问2详解】 解：如图，作于点． ， ， 点到的距离是． 【小问3详解】 解：如图，连接，． 由旋转的性质可得． ， ． ， ． 点经过的路径的长为． 21. 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． （1）线段的函数解析式和定义域为______； （2）双曲线段的函数解析式和定义域为______； （3）求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； （4）此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】（1）线段的函数解析式为，定义域为； （2）双曲线段的函数解析式为，定义域为； （3）12 （4）1 【解析】 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【小问1详解】 解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； 【小问4详解】 解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 22. 如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，求的半径长． 【答案】（1） 解：如图，连接， 为的切线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 平分； （2）证明：， ， 由（1）可得， ∴， ； （3）的半径长为5 【解析】 【分析】本题考查切线性质，圆周角定理，角平分线判定，平行线性质，矩形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，由切线性质得，再由圆周角定理得，后得，再由平行线性质即可得到本题答案； （2）由圆周角定理得，后得，继而得，最后得到本题答案； （3）连接交于点，由圆周角定理得，再由切线性质得，再利用矩形性质得，再设的半径为，利用勾股定理列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于点， 是的直径， ， 是的切线， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 设的半径为， ． 在中，， 即的半径长为5． 23. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接． （1）如图1，若点落在边上， ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，若，求直线，所夹锐角的度数． （3）若，直接写出点到的最大距离． 【答案】（1） ①证明：由旋转的性质得，， ， ． ②，理由如下： ， ． ， ， ， ，即． （2）直线所夹锐角的度数为． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得到，即可求证；②根据，可得，再由，可得到，即可解答； （2）设直线交于点G，根据等腰三角形的性质可得，即可解答； （3）作于点，根据，可得，由题意，点在以点为圆心，为半径的半圆上，可得当，即三点共线时，点到的距离最大． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：设直线交于点G，如图， 根据题意得：． ， ， ， ， 即直线所夹锐角的度数为． 【小问3详解】 解：如图，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 由题意，点在以点为圆心，为半径的半圆上， 当，即三点共线时，点到的距离最大， 最大距离是． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 24. 如图1，抛物线（为常数）与轴交于点，与轴的两个交点位于原点两侧． （1）抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求的取值范围． （2）在（1）的条件下，将抛物线平移个单位长度得到抛物线4．与轴相交于，两点（点在的左侧），与轴相交于点，如图2． ①求的最小值； ②过点作直线，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴交直线于点，分别过点，作抛物线的对称轴的垂线，垂足为点，．当以点，，，为顶点的四边形在直线，之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点的横坐标的值． 【答案】（1）①；② （2）①，②或． 【解析】 【分析】（1）①先求出对称轴，从而得出的值，即可得出结果；②点关于直线对称的点为．结合抛物线的开口向下，得出当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1，最后结合函数图象即可得出结果； （2）①由（1）知，抛物线的顶点为．结合抛物线的顶点为，再由勾股定理计算即可得出结果；②设，则，，．再分三种情况：当时，若点在直线上，则，当时，点的纵坐标；当时，设直线与交于点，则；分别求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 的函数解析式为， 当时，， 抛物线的顶点坐标为． ②与轴交于点， 点关于直线对称的点为． 抛物线的开口向下， 当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1， 结合图象得． 【小问2详解】 解：①由（1）知，抛物线的顶点为． 又抛物线的解析式为，顶点为， ∴的最小值为． ②在中，令，得， 解得，， ，． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为． 直线，且直线经过点， 直线的解析式为． 设直线与抛物线的对称轴交于点， 在中，当时，， ． 设，则， ，． 当时，如图1，若点在直线上，则， ， 解得（舍去），， ． 由， 解得或4， 直线与抛物线交点的横坐标分别是和4． 当时，如图2，点的纵坐标， 点在点的上方，点位于直线上方，四边形夹在直线与直线之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图，设直线与交于点，则， ， ∴，， 由题意可得：， ∴， 解得：（舍去），， 综上所述，点的横坐标的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—面积问题，二次函数图象的平移，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $