四川省眉山市东坡区苏辙中学2025-2026学年九年级上学期数学期末练习卷五

四川省眉山市东坡区2025－2026学年 九上数学期末练习卷五 一．选择题（共12小题） 　　　　　 姓名： 1．在六张卡片上分别写有6，﹣，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 2．已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，且满足+b2+16＝8b，则c的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．或5 3．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 　　　　　　　　　　　B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 　　　　　　　　　　　D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 4．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 　　　　　　　B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 　　　　　　　　　　　D．无法判定 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　） A． B． C． D． （5） （9） （10） （11） 6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1 7．在△ABC中，∠B、∠C都是锐角，且，则∠A的度数为（　　） A．120° B．100° C．90° D．60° 8．若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　） A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4 9．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物的高是（　　） A．24米 B．18米 C．米 D．米 10．如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（　　） A．5 B．6 C． D． 11．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE：ED＝1：3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG：GC等于（　　） A．1：2 B．1：5 C．1：4 D．1：3 12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝3； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 13．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 14．已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则m2﹣5mn+4n＝　 　 ． 15．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝ 　 ． （15） （16） （17） （18） 16．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是 　 　 ． 17．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上动点，且∠EDF＝90°，G为EF中点，连结CG，则CG最小值为　 　 ． 18．某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣+6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　 　 m． 三．解答题（共10小题） 19．计算：． 20．解方程：2（x﹣1）2＝3x﹣3． 21．“在迎新年，庆元旦活动中”，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞赛活动，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有　 　 人；扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角度数为　 　 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）将本次知识竞赛成绩获得A等级的团员依次用A1，A2，A3，……表示，该校团委决定从这些A等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员A1和A2的概率． 22．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元； （3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．如图所示，某中学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量某寺里宝塔BC的高度，同学们在寺内一平台上D处测得宝塔顶端B的仰角是30°，平台高6米，朝宝塔方向沿斜坡AD走下平台到达塔底A处，斜坡AD的坡比i＝1：，在A处测得塔顶端B的仰角是45°，求慈云寺宝塔的高度．（计算结果若有根号，化简保留根号） 24．综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 观察与猜想 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，当DE⊥CF，则的值为　 　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，当CE⊥BD，则的值为　 　 ． 类比探究 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E是AB上的一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证： 拓展延伸 （4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF． ①求的值； ②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的值． 25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标． （3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 27．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C，点P为y轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方，是否存在点P使？若存在请求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （3）将线段BC绕点B顺时针旋转45°得到线段BD，当点P运动到x轴下方，且PD﹣PB的值最大时，求直线PB的解析式． 四川省眉山市东坡区2025－2026学年 九上数学期末练习卷五 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B B C D C D C B 题号 12 答案 B 一．选择题（共12小题） 1．在六张卡片上分别写有6，﹣，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵六张卡片上分别写有6，﹣，3.1415，π，0，六个数，无理数的是π，， ∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：＝． 故选：C． 2．已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，且满足+b2+16＝8b，则c的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．或5 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， 当a＝3，b＝4为直角边时， ； 当b＝4为斜边时， ． 综上可知，c的值为或 5． 故选：D． 3．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280． 故选：B． 4．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设AB＝x， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴AB＝BC＝x， 由勾股定理得：AC＝＝x， ∵AC＝CD， ∴AC＝CD＝x， ∴BD＝BC+CD＝（+1）x， ∴tan22.5°＝＝＝﹣1， 故选：B． 6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：m≤2且m≠1． 故选：C． 7．在△ABC中，∠B、∠C都是锐角，且，则∠A的度数为（　　） A．120° B．100° C．90° D．60° 【解答】解：由题意得，， 解得， ∵∠B、∠C都是锐角， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 故选：D． 8．若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　） A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4 【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位， ∵y＝（x﹣1）2+2， ∴原抛物线图象的解析式应变为y＝（x﹣1+1）2+2﹣3＝x2﹣1， 故选：C． 9．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物的高是（　　） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【解答】解：在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，如图，设过点A的水平线于CD交于点E， 由题意知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝12米，AE＝BD， 在Rt△BCD中，， 在Rt△ACE中，， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， 故选：D． 10．如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（　　） A．5 B．6 C． D． 【解答】解：如图进行标注， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， 设S△BEC＝x，则， ， ∴， 解得：， 经检验是方程的解且符合题意， ∴， 故选：C． 11．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE：ED＝1：3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG：GC等于（　　） A．1：2 B．1：5 C．1：4 D．1：3 【解答】解：设AC的中点为O，连接FO， 又∵F是AB的中点， ∴FO∥BC，FO＝BC， 又∵AD∥BC， ∴AE∥FO， ∴△AEG∽△OFG， ∴AG：GO＝AE：FO， ∵AE：ED＝1：3，AD＝BC， ∴AE：BC＝1：4， ∵OF：BC＝1：2， ∴AE：OF＝1：2， ∴AG：OG＝1：2， ∵AO＝OC， ∴AG：CG＝1：5， 故选：B． 12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝3； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①当x＞0时，函数图象过第一、四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故此命题是假命题； ②对称轴为，当a＝﹣1时有， 解得b＝3，故此命题是真命题； ③∵x1+x2＞2，x1＜1＜x2， ∴1﹣x1＜x2﹣1， ∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又∵抛物线开口向下， ∴y1＞y2，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值． 当m＝2时，二次函数的顶点坐标为D（1，4），则D′（﹣1，4），C点坐标为（0，3），则E（2，3），E′（2，﹣3）； 则，． ∴四边形EDFG周长的最小值为，故此命题是假命题． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 13．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠3　 ． 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x+1≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣1且x≠3， 故答案为：x≥﹣1且x≠3． 14．已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则m2﹣5mn+4n＝　4　 ． 【解答】解：由条件可知m2＝4m﹣2， 根据根与系数的关系得：m+n＝4，mn＝2， 则原式＝4m﹣2﹣5mn+4n ＝4（m+n）﹣5mn﹣2 ＝4×4﹣5×2﹣2 ＝4． 故答案为：4． 15．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝　1.2　 ． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC， ∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3， ∴， ∴， ∴解得：EF＝． 故答案为：1.2 16．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是 　　 ． 【解答】解：设线段BC上的格点为D，连接AD，如图所示： ∵网格中的每个小正方形的边长都是1， ∴AC＝＝，AB＝＝， ∴AB＝AC， 又∵CD＝＝，BD＝＝， ∴BD＝CD， ∴AD⊥BC， 在Rt△ACD中，AC＝，CD＝， ∴AD＝＝， ∴sin∠ACB＝＝＝． 故答案为：． 17．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上动点，且∠EDF＝90°，G为EF中点，连结CG，则CG最小值为　　 ． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝90°， ∴， 连接DG，如图， ∵∠ECF＝90°，∠EDF＝90°，G是EF的中点， ∴， ∴CG＝DG， 过点C作CM⊥AB于点M， ∵， ∴； 当点D与点M重合，且点G在CM上时，CG+GD最小，为CM的长，如图， ∴， ∴CG的最小值为． 故答案为：． 18．某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣+6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　10　 m． 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣5）2+6的图象可知， 当x＝5时，y＝6， 故N点的坐标为（5，6）； ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴M点的坐标为（﹣5，6）， ∴MN之间的距离＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（m）． 故答案为：10． 三．解答题（共10小题） 19．计算：． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 20．解方程：2（x﹣1）2＝3x﹣3． 【解答】解：2（x﹣1）2＝3x﹣3， 2（x﹣1）2﹣3x+3＝0， 2（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）[2（x﹣1）﹣3]＝0， （x﹣1）（2x﹣5）＝0， x﹣1＝0或2x﹣5＝0， ． 21．“在迎新年，庆元旦活动中”，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞赛活动，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有　20　 人；扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角度数为　72°　 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）将本次知识竞赛成绩获得A等级的团员依次用A1，A2，A3，……表示，该校团委决定从这些A等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员A1和A2的概率． 【解答】解：（1）6÷30%＝20（人）， 圆心角的度数为， 故答案为：20，72°； （2）A 等级的团员数为20﹣8﹣6﹣2＝4人， 补全条形统计图为： （3）列表为： A1 A2 A3 A4 A1 A1A2 A1A3 A1A4 A2 A2A1 A2A3 A2A4 A3 A3A1 A3A2 A3A4 A4 A4A1 A4A2 A4A3 由上表可以得出共有12种情况，其中抽到A1和A2的有2种结果， ∴恰好抽到学生A1和A2的概率为． 22．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元； （3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设条带的宽度为xcm， 根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝1750． 整理，得x2﹣70x+325＝0， 解得x1＝5，x2＝65（舍去）． 答：丝绸条带的宽度为5cm． （2）设每件工艺品降价y元出售， 由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝10000． 解得：y1＝0，y2＝50． 答：当单价降低50元时能达到利润10000元． （3）设利润为W，每件工艺品降价y元出售， 则：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝﹣20y2+1000y+10000＝﹣20（y﹣25）2+22500 ∵﹣20＜0， ∴当y＝25，即：降价25元，定价为75元时，利润最大为22500． 24．如图所示，某中学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量某寺里宝塔BC的高度，同学们在寺内一平台上D处测得宝塔顶端B的仰角是30°，平台高6米，朝宝塔方向沿斜坡AD走下平台到达塔底A处，斜坡AD的坡比i＝1：，在A处测得塔顶端B的仰角是45°，求慈云寺宝塔的高度．（计算结果若有根号，化简保留根号） 【解答】解：作DG⊥BC于点G，如图所示， ∵坡比，DE＝6， ∴， 设AC＝BC＝x米， ∴BG＝（x﹣6）米，米 ∴∠BDG＝30°，， ∴， ∴， ∴米， 答：宝塔的高度是米． 25．综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 观察与猜想 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，当DE⊥CF，则的值为　1　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，当CE⊥BD，则的值为　　 ． 类比探究 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E是AB上的一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证： 拓展延伸 （4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF． ①求的值； ②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的值． 【解答】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD， ∵DE⊥CF， ∴∠DGF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， 在△AED和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴DE＝CF， 即， 故答案为：1； （2）如图2，设DB与CE交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠EDC＝90°， ∵CE⊥BD， ∴∠DGC＝90°， ∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵∠CDE＝∠A， ∴△DEC∽△ABD， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCH为矩形， ∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°， ∴△DEA∽△CFH， ∴， ∴； （4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O， ∵CF⊥DE，GC⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°， ∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴， 在Rt△ABD中，，AD＝9， ∴AB＝3， 在Rt△ADH中，， ∴， 设AH＝a，则DH＝3a， ∵AH2+DH2＝AD2， ∴a2+（3a）2＝92， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②∵，，∠AGC＝90°， ∴， 由①知，△DEA∽△CFG， ∴，即， 解得，， ∴， ∴． 26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入y＝x2+bx+4中， 得， 解得：b＝， ∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4； （2）当x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， 当y＝0时，x2+x+4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， 将点B （6，0），点C （0，4）代入解析式y＝kx+n，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4； （3）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x＝， 假设存在点P，设P（2，t）， 则AC＝＝， AP＝＝， CP＝＝， ∵△ACP为等腰三角形， 故可分三种情况： ①当AC＝AP时，， 解得：t＝±2， ∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）； ②当AC＝CP时，， 解得：t＝0或t＝8， ∴点P的坐标为（2，0）或（2，8）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 将点A（﹣2，0）、C （0，4）代入得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝2x+4， 当x＝2时，y＝4+4＝8， ∴点（2，8）在直线AC上， ∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去； ③当AP＝CP时，， 解得：t＝， ∴点P的坐标为（2，）； 综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，）． 27．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标． （3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+bx+3，则a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴A（0，3）， ∴直线AB解析式为y＝x+3， ∵点P在线段AB上方抛物线上， ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）， ∴D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+≤， 即当t＝﹣时PD最大，此时，点P（﹣，）； （3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵PE∥x轴交抛物线于点E， ∴E、P关于对称轴对称， ∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t， ∴xE＝﹣2﹣t， ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|， ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°， ∴PD＝PE， ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t， ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t， 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2， ∴P（﹣2，3）， ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t， ∴﹣t2﹣3t＝2+2t， 解得：t＝（不合题意的值已舍去）， 即点P（，）， 综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形． 28．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C，点P为y轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方，是否存在点P使？若存在请求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （3）将线段BC绕点B顺时针旋转45°得到线段BD，当点P运动到x轴下方，且PD﹣PB的值最大时，求直线PB的解析式． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），将点A、点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）存在点P使；理由如下： 由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝5，OC＝2，OB＝4， ∴，， 作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，连接OP，如图1， 设点P的横坐标为m（0＜m＜4）， 则点P的纵坐标为，，PF＝m， ∴S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△BOC ＝ ＝ ＝﹣m2+4m， 当时，， 解得：m1＝1，m2＝3， 当m＝1时，得：，此时P点坐标为（1，3）， 当m＝3时，得：，此时P点坐标为（3，2）， 综上所述，存在点P使；点P的坐标为（1，3）或（3，2）； （3）当P，B，D三点不在同一直线上时，由“三角形两边的差小于第三边”可知PD﹣PB＜BD； 当P，B，D三点在同一直线上时，PD﹣PB＝BD，所以当P，B，D三点在同一直线上时，PD﹣PB的值最大． ∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5， ∴AC2＝AO2+OC2＝5，BC2＝BO2+OC2＝20，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC， 如图，设直线AC与直线BD交于点M，过M作MN⊥x轴于点N， 由题意可知∠MBC＝45°， ∴∠CMB＝45°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC＝∠ANM＝90°， ∴，即， ∴MN＝6， ∵，即， ∴AN＝3， ∴M（2，6）， 由M（2，6），B（4，0）两点可求得直线MB的解析式是y＝﹣3x+12， ∴当点P运动到x轴下方，且PD﹣PB的值最大时，直线PB的解析式为y＝﹣3x+12． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/11 8:56:27；用户：18990372196；邮箱：18990372196；学号：22621432 ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $