第8章 整式乘法 单元测试-2025-2026学年苏科版七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第8章 整式乘法 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 5．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 6．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 7．我们把叫作二阶行列式，规定它的运算法则为按照这种运算方式化简的结果为（   ） A． B． C． D． 8．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9． ． 10．计算 ． 11．已知，则 ． 12．已知关于的代数式有，则 ． 13．对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为 ． 14．若是完全平方式，则m的值为 ． 15．一张正方形纸片的边长减少，它的面积就减少，这张正方形纸片的边长是 ． 16．已知．求 ． 17．已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（9分）计算： (1)． (2)． (3)． 20．（6分）用简便方法计算： (1)； (2)． 21．（6分）先化简，再求值：，其中，． 22．（6分）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 23．（6分）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 24．（7分）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_______． (2)利用你得到的公式，计算：． (3)计算：． 25．（8分）比较与的大小． (1)尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； (2)归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 26．（8分）在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题： (1)如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________； (2)若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． (3)如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积． 27．（8分）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项B：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项C：，不符合平方差公式，故符合题意； 选项D：，符合平方差公式，故不符合题意． 故选：C． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则． 根据单项式乘法法则进行计算即可，即将系数相乘，同底数幂相乘时指数相加． 【详解】解： ， ， 故选：A． 4．已知，，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题思路是利用平方差公式 ，将已知条件直接代入求解． 【详解】解：∵ ， 且 ，， ∴ ， ∴ ． 故选C． 5．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 6．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 7．我们把叫作二阶行列式，规定它的运算法则为按照这种运算方式化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据二阶行列式的运算法则得出，然后通过完全平方公式，同底数幂的乘法，合并同类项法则即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 8．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，正确识图是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为,,且，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为,,且， 由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：， 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9． ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加． 根据单项式与多项式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 10．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式正确变形是解题关键．利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 12．已知关于的代数式有，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘多项式、代数式的求值，通过展开左边代数式并比较等式两边对应项的系数，建立关于和的方程，求解得到和的值，进而计算的值． 【详解】解：展开左边代数式：=， 与右边代数式比较，得： 常数项：，解得； 一次项系数：，代入，得， 因此，， 故答案为：3． 13．对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式，解题关键是理解新定义的含义． 根据已知条件和新定义的含义，列出式子即可． 【详解】解：根据题意可得 故答案为：． 14．若是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】本题考查了完全平方式，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征． 根据完全平方式的结构特征，分情况讨论，求解m即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为， ∴该式可写为或， 当，即，解得； 当，即，解得； 故答案为：0或6． 15．一张正方形纸片的边长减少，它的面积就减少，这张正方形纸片的边长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设原边长为，则减少后边长为，由题意可得，利用完全平方公式计算可得，从而得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设原边长为，则减少后边长为． 由题意可得， 展开可得：， 化简可得：， 解得， 故这张正方形纸片的边长是， 故答案为：． 16．已知．求 ． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 17．已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算． 【详解】解：， ∵乘积中不含的二次项，且常数项为， ∴且， 解得, ， ∴． 故答案为： 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中， 第一项是， 第二项是， ∴含项的系数是， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（9分）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（6分）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 22．（6分）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 23．（6分）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】(1)图见解析；验证见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示： ∵， 故也满足上述规律． （2）解：令第一个数为，根据日历中的数字关系，可得矩形框内的数的规律如下图所示： ∵ 24．（7分）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_______． (2)利用你得到的公式，计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)2026 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：图2中长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， ∵图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图1和图2阴影部分的面积相等， ∴． 故答案为：． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 25．（8分）比较与的大小． (1)尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； (2)归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 【答案】(1)；；； (2)，理由见解析 (3)当米时，鸡舍面积最大为9平方米． 【分析】本题考查了实数大小的比较，以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是正确计算并熟练掌握完全平方公式． （1）将数值分别代入求解比较大小即可； （2）完全平方公式的非负性判断即可； （3）先表示出鸡舍的另外一边，再根据配方法配成完全平方式，由此求解最大值即可． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴当时，； ②当时，，， ∴当时，； ③当时，，， ∴当时，； 故答案为：；；； （2）解：则，理由如下： ∵， ∴，即． （3）解：∵总长为6米的木栅栏，平行于墙面的一边为米， 则鸡舍的另一边为米， ∴鸡舍面积为， ∵，即， 当且仅当米时，，鸡舍面积最大为9平方米． 26．（8分）在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题： (1)如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________； (2)若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． (3)如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查乘法公式与几何图形，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用两种不同的方法表示出图1的面积即可； （2）先计算出，再根据求解； （3）设正方形和正方形的边长分别为a，b，，则，，利用完全平方公式变形求出，，将与联立求出a，b，即可求解． 【详解】（1）解：图1的面积可以表示为：，也可以表示为：， 可以推导出的乘法公式是． 故答案为：； （2）解：设， 则， ， ， 即 （3）解：设正方形和正方形的边长分别为a，b，， 由题意知，， ， ， ，负值舍去， 联立， 解得，， ． 27．（8分）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【答案】【初步感知】1， 14 ；【归纳规律】增加3 ；【问题解决】（答案不唯一），；【计算验证】代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k，说明见解析； 【分析】本题考查了代数式的值，整式混合运算，解题关键是根据题意，发现规律． 【初步感知】把代入相应的代数式求值即可； 【归纳规律】从表中观察的值的变化规律可得结果； 【问题解决】根据要求写出符合条件的代数式即可； 【计算验证】分别把和代入代数式，通过计算得出结果． 【详解】解：【初步感知】当时，， ， 当时，， ， 故答案为：1，14； 【归纳规律】当时，， 当时，， 当时，， …… 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值增加3， 故答案为：增加3； 【问题解决】代数式， 当时，， 当时，， …… 的值每增加1，代数式的值就减小3， 代数式， 当时，， 当时，， ……， 的值每增加1，代数式的值就增加5， 当时，， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为， 故答案为：（答案不唯一），； 【计算验证】猜想：代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k， 当时，， 当时，， ， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k； 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A C A A D A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. 11. 12. 3 13. 14. 0或6/6或0 15. 6 16. 34 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（9分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ．（3分） （2）解：原式 ．（6分） （3）解：原式 ．（9分） 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（6分） 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ．（3分） （2）解：原式 ．（6分） 21．（6分） 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： （3分） 当，时， 原式 ．（6分） 22．（6分） 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）；（3分） （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元．（6分） 23．（6分） 【答案】(1)图见解析；验证见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示： ∵， 故也满足上述规律．（3分） （2）解：令第一个数为，根据日历中的数字关系，可得矩形框内的数的规律如下图所示： ∵ （6分） 24．（7分） 【答案】(1) (2)1 (3)2026 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：图2中长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， ∵图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图1和图2阴影部分的面积相等， ∴． 故答案为：．（2分） （2）解：原式 ；（4分） （3）解：原式 ．（7分） 25．（8分） 【答案】(1)；；； (2)，理由见解析 (3)当米时，鸡舍面积最大为9平方米． 【分析】本题考查了实数大小的比较，以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是正确计算并熟练掌握完全平方公式． （1）将数值分别代入求解比较大小即可； （2）完全平方公式的非负性判断即可； （3）先表示出鸡舍的另外一边，再根据配方法配成完全平方式，由此求解最大值即可． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴当时，； ②当时，，， ∴当时，； ③当时，，， ∴当时，； 故答案为：；；；（3分） （2）解：则，理由如下： ∵， ∴，即．（5分） （3）解：∵总长为6米的木栅栏，平行于墙面的一边为米， 则鸡舍的另一边为米， ∴鸡舍面积为， ∵，即， 当且仅当米时，，鸡舍面积最大为9平方米．（8分） 26．（8分） 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查乘法公式与几何图形，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用两种不同的方法表示出图1的面积即可； （2）先计算出，再根据求解； （3）设正方形和正方形的边长分别为a，b，，则，，利用完全平方公式变形求出，，将与联立求出a，b，即可求解． 【详解】（1）解：图1的面积可以表示为：，也可以表示为：， 可以推导出的乘法公式是． 故答案为：；（2分） （2）解：设， 则， ， ， 即（5分） （3）解：设正方形和正方形的边长分别为a，b，， 由题意知，， ， ， ，负值舍去， 联立， 解得，， ．（8分） 27．（8分） 【答案】【初步感知】1， 14 ；【归纳规律】增加3 ；【问题解决】（答案不唯一），；【计算验证】代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k，说明见解析；【分析】本题考查了代数式的值，整式混合运算，解题关键是根据题意，发现规律． 【初步感知】把代入相应的代数式求值即可； 【归纳规律】从表中观察的值的变化规律可得结果； 【问题解决】根据要求写出符合条件的代数式即可； 【计算验证】分别把和代入代数式，通过计算得出结果． 【详解】解：【初步感知】当时，， ， 当时，， ， 故答案为：1，14；（2分） 【归纳规律】当时，， 当时，， 当时，， …… 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值增加3， 故答案为：增加3；（3分） 【问题解决】代数式， 当时，， 当时，， …… 的值每增加1，代数式的值就减小3， 代数式， 当时，， 当时，， ……， 的值每增加1，代数式的值就增加5， 当时，， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为， 故答案为：（答案不唯一），；（5分） 【计算验证】猜想：代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k， 当时，， 当时，， ， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k；（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第8章 整式乘法 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 5．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 6．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 7．我们把叫作二阶行列式，规定它的运算法则为按照这种运算方式化简的结果为（   ） A． B． C． D． 8．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9． ． 10．计算 ． 11．已知，则 ． 12．已知关于的代数式有，则 ． 13．对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为 ． 14．若是完全平方式，则m的值为 ． 15．一张正方形纸片的边长减少，它的面积就减少，这张正方形纸片的边长是 ． 16．已知．求 ． 17．已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（9分）计算： (1)． (2)． (3)． 20．（6分）用简便方法计算： (1)； (2)． 21．（6分）先化简，再求值：，其中，． 22．（6分）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 23．（6分）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 24．（7分）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_______． (2)利用你得到的公式，计算：． (3)计算：． 25．（8分）比较与的大小． (1)尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； (2)归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 26．（8分）在数学探究中，我们常通过几何图形面积的不同计算方式推导代数恒等式．请解决以下问题： (1)如图1，用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是___________； (2)若满足，求的值．小度的想法是：设，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． (3)如图2，点为线段上一点，分别以为边向上作正方形和正方形，连接，两个正方形的面积和为20，，求的面积． 27．（8分）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $