第8章 整式乘法 题型过关专练 -2025-2026学年苏科版七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第8章 整式乘法 思维导图 【类型一】单项式乘单项式 1．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解： 故选A． 2．设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 3．若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的乘积即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴这两个单项式的积为． 故答案为：． 【类型二】单项式乘多项式 1．化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式并合并同类项进行化简． 【详解】解：原式， 化简结果为x， 故选：B． 2．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 3．已知，求的值 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 【类型三】多项式乘多项式 1．已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键，将给定方程展开并变形，得到的值，然后代入代数式求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. ∴. 故选：C 2．已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 展开左边多项式，与右边比较各项系数，进而求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 3．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算以及对错误计算的逆向推导能力，解决本题的关键在于根据错误的计算结果求出未知参数． 通过比较抄错符号后的多项式展开式与给定错误结果的系数，求出的值，再代入正确表达式计算正确结果即可． 【详解】解：嘉淇抄错后计算的是，展开得， 即常数项，解得， 验证一次项系数，符合错误结果． 正确表达式为， 故答案为：． 【类型四】平方差公式运算 1．下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 平方差公式适用于形式为的算式，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数，需逐一检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 平方差公式要求两式分别为和的形式， 选项A：，不符合公式； 选项B：，符合的形式（其中）； 选项C：，无相同或相反项，不符合； 选项D：，无相同或相反项，不符合； 故选：B． 2．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 3．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：． 直接应用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【类型五】完全平方公式运算 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 2．已知，，则的值为（  ） A．6 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 利用已知条件和，通过完全平方公式求． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选C． 3．如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将右边展开后比较系数，得到关于m和n的方程，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 由得或， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 故答案为：或9． 【类型六】整式的混合运算 1．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． （1）根据单项式乘多项式，去括号即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （）先分别计算单项式乘单项式、积的乘方，再合并同类项得到最终结果； （）先运用平方差公式计算前半部分，再用多项式乘多项式法则展开后半部分，去括号后合并同类项求解． 【详解】（）解：原式． （）原式 ． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算、乘法公式、完全平方公式等，掌握相关知识是解决问题的关键． (1) 先计算幂的乘方，再合并同类项； (2) 先展开平方项，再利用平方差公式计算乘积项，最后合并； (3) 将变形为，将变形为，然后用积的乘方运算的逆运算解决，然后先算乘方再算乘法即可； (4) 利用多项式乘以多项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【类型七】简便运算 1．利用公式简算． (1) (2) 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： = = = =1； （2）解：． 2．利用乘法公式简算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．简算 (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2)9604 (3) 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式、积的乘方、有理数的混合运算，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）利用平方差公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用积的乘方和有理数的乘方运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． 【类型八】化简求值 1．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，然后代入求解即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，最后进行多项式除以单项式计算，然后再代入求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ， 当，时， 原式 ． 2．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法、完全平方公式，平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值； （2）先通过完全平方公式，平方差公式进行化简，在合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ， ， 当时，原式． （2）原式， ， ， 当时，原式． 3．先化简，再求值： （1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）；16 （2）；0 【分析】整式的化简运算首先进行多项式乘多项式或乘法公式，去括号再进行合并同类项，最后代数求值． 【详解】解：（1） 将代入得，原式． （2） 将，代入得，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值运算，乘法公式的准确应用是解题的关键． 【类型一】单项式乘单项式的简单应用 1．长方形的长为，宽为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘单项式的应用，根据面积等于长乘宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴它的面积为：． 故选：C． 2．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 3．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查列代数式、单项式乘以单项式的应用，绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，， ，， ， 该广场的面积是35． 【类型二】单项式乘多项式的简单应用 1．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 2．如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买 元的防水材料． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 【详解】解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， 厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， 每平方米的防水材料a元， 至少需要购买材料费用为：元． 故答案为：． 3．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 【类型三】多项式乘单项式的简单应用 1．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 2．甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形为某村的一块甜菜种植基地，其中，．若该甜菜种植基地扩大为长方形，其中点B在上，点D在上，，，则长方形的面积比长方形的面积增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，理解题意是解题的关键． 根据长方形的面积公式，分别计算长方形和的面积，二者再作差即可求解． 【详解】解：长方形的面积 ， 长方形的面积 ， ， ∴长方形的面积比长方形的面积增加了． 故答案为：． 3．如图所示是一个长方形，E是的中点． (1)根据图中数据，用含m的代数式表示阴影部分的面积S． (2)当三角形的面积等于三角形的面积时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的四则混合运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）列代数式，再运用整式的四则混合运算法则化简即可； （2）根据三角形的面积等于三角形的面积列关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：当三角形的面积等于三角形的面积时 则有， ， ． 【类型四】平方差公式的简单应用 1．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分组成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：A． 2．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 ；若，，则比多出来的使用面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【详解】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 3．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出两图中空白部分的面积，即可得到乘法公式； （2）①根据（1）所得公式求解即可；②根据（1）所得公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中空白部分的面积为， 图2中空白部分的面积为， 可以得到乘法公式：， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 【类型五】完全平方公式的简单应用 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求． 【详解】解：根据题意得剩余部分面积为： 则长方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积． 2．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    【答案】12 【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【详解】解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 3．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 【类型六】不含某项、与某项无关 1．将展开，若整理后不含x的二次项，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的乘法及合并同类项，解题的关键是根据特定项系数为零求解参数的值．将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令项的系数为零，解出的值． 【详解】解：， ∵整理后不含x的二次项， ∴，解得， 故选C． 2．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 3．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【类型七】完全平方式 1．若是完全平方式，则的值为（    ） A．7或−1 B．5 C．7 D．−1 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 将原式变形为，再根据完全平方公式的结构特征得到，即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 2．我们把形如的式子称为完全平方式，已知是一个完全平方式，若，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式，即， ∴， 解得，， 第一种情况，当时，， ∴当时，，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，不符合题意； 第二种情况，当时，， 当时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，，不符合题意； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 3．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：、． (1)下列各式中完全平方式的编号有 ； ①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若和都是完全平方式，求的值； (3)多项式加上一个单项式后，使它成为一个完全平方式，那么加上的可以是哪些？（请列出所有可能的情况，直接写出答案） 【答案】(1)①③④⑤ (2)或 (3)，，，或 【分析】此题考查了新定义，完全平方式，理解新定义是解本题的关键． （1）利用完全平方式定义判断即可； （2）利用完全平方式的新定义求出与的值，即可代入求值； （3）利用完全平方式判断即可． 【详解】（1）解：①；②，不是完全平方式；③；④；⑤；⑥，不是完全平方式； ∴各式中完全平方式的编号有①③④⑤； 故答案为：①③④⑤； （2）解：和都是完全平方式， ，， ，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． （3）解：∵ ∴单项式可以为，，，或． 【类型一】杨辉三角 1．在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律： 我们称这个三角形数表为“杨辉三角”．杨辉三角在数学中具有重要的地位，它不仅是一个数字阵列，更是一个数学工具，可以用来求解组合数、概率、代数等问题．此外，杨辉三角还是组合数学的基石之一，对于研究数学的其他分支如代数、几何、分析等都有着重要的影响．杨辉三角给出了展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．依据上述规律，展开式中含项的系数是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由杨辉三角得出的展开式，用替换b得出的展开式，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，杨辉三角第5行数字从左到右依次为：，，，，，， ∴ ， ∴展开式中含项的系数是5， 故选A． 2．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由“杨辉三角”得出，再将代入的展开式，即可求解． 【详解】解：由“杨辉三角”可得， 当时， 又， ， ， ， 故答案为：2． 3．【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 【答案】（1）5 ，6 （2）； （3） 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）根据题中式子的结构特征，将其恒等变形为，再结合（2）中得到的的展开式，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）由（2）中可知， ． 【类型二】完全平方公式的变形求值 1．若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，分解因式的应用，根据完全平方公式的变形求出的值，然后把分解为，代入计算即可． 利用平方差公式将所求表达式分解，再通过平方已知条件求出相关值 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 3．已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【类型三】整除问题 1．若a为任意整数，则的值总能（   ） A．被25整除 B．被20整除 C．被16整除 D．被9整除 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式计算化简出结果，由此即可得． 【详解】解：原式 ， 由此可知，若为任意整数，则的值总能被20整除， 故选：B． 2．当为正整数时，写出一个一定能整除，并且大于的整数： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握公式是解题的关键． 利用公式展开化简分析即可． 【详解】解：， ∴一定能被整除， ∴此数可以为； 故答案为：． 3．【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【答案】（1）13倍；（2）见解析；（3）不能，余数为5 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）利用有理数的乘方法则及减法法则计算后再除以5即可； （2）根据题意列式为，将其计算并整理后进行判断即可； （3）设这个整数为m，根据题意列式为，然后将其除以10后进行判断即可． 【详解】解：（1） ， 即的结果是5的13倍； （2） ， ∵， ∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m， ， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 【类型四】规律问题 1．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有17个圆点，第④个图中有26个圆点······按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【分析】本题考查图形中的数字规律，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． 先由题中所给的图形得到第个图中的圆点个数规律：，令，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 第一个图，横着个圆点、竖着个圆点，重复计算个圆点，则圆点有； 第二个图，横着个圆点、竖着个圆点，重复计算个圆点，则圆点有； 第三个图，横着个圆点、竖着个圆点，重复计算个圆点，则圆点有； 第四个图，横着个圆点、竖着个圆点，重复计算个圆点，则圆点有； 第个图，则圆点有； 当时，则圆点有， 故选：B． 2．观察下列等式： ； ； …… 按此规律，则第个等式应该是： ； 请你总结这个规律，即第个等式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示式子的规律，发现规律是解题的关键． 根据题意观察式子，发现等式的左边为连续的两个奇数的平方差，右边为8与从1开始的自然数的乘积，据此用代数式表示即可求解． 【详解】解：由题意： 第个等式是：； 第个等式是： 第个等式是：； …分析其规律， 则第个等式应该是 第个等式为 故答案为：；． 3．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【类型五】新定义问题 1．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算∶根据这个定义，代数式可以化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了完全平方公式，由题目中给出的运算方法，通过计算即可推出结果． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 3．【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 【类型六】平方差公式与几何综合应用 1．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 2．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 3．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 【类型七】完全平方公式与几何综合应用 1．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 2．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】(1)； (2) (3)①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 【点睛】​ 3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形．    (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）． 方法1___________； 方法2___________． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为___________；与，之间的等量关系为___________． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)①；② 【分析】（1）根据面积的两种算法可得到和平方公式； （2）运用公式的变形即可得出结果； （3）根据完全平方公式变形代入即可． 【详解】（1）大正方形面积按照边长的平方可得： 按照大正方形的组成可得： 故答案为：，； （2）由图②可得：； 变形可得：； 故答案为：；； （3）①由（2）题结果 可得， ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活运用完全平方公式的变形是突破本题的关键． 【类型八】配方法求最值 1．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)3；5； (2)当时，多项式有最小值是21； (3)，当时，S有最小值，最小值是4． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； （2）解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； （3）解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． 2．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)6 【分析】本题考查配方法的应用，熟悉完全平方公式的结构特征和平方式的非负性是解答的关键． （1）仿照题干例题求解过程解答即可； （2）将原式配方得，根据的非负性求解即可； （3）将代数式经过两次配方可得，再根据的非负性即可求得答案． 【详解】（1）解：， 因为是非负数， 所以当时，取最小值； （2）解：， 因为是非负数， 所以当，即时，取最小值7； （3）解： ， 观察出当或时，，此时取最小值6． 3．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，多项式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)当时，有最小值，最小值是 (2)当时，有最小值，最小值是5 (3)当时，有最小值，最小值是3 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，实数非负性的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴当时，有最小值，最小值是． （2）解：， ∴当时，有最小值，最小值是5． （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值是3． 1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，完全平方公式，幂的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的多项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B．23或 C．5或 D．11或 【答案】D 【分析】根据完全平方式的特点，先确定出平方项，再结合比较系数求解即可．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ， ∴， ∴或， 解得或； 故选：D． 3．（25-26八年级上·天津北辰·月考）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 平方差公式要求两个因式分别为和与差的形式，且项相同，选项B可化为完全平方式，不能运用平方差公式，即可解答． 【详解】解：平方差公式为， 选项A∶，符合公式； 选项B∶，为完全平方式，不符合公式； 选项C∶，符合公式； 选项D∶，符合公式； 故选B． 4．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，百分比的计算．根据百分比变化的定义，列出方程并求解p与q的关系即可求解． 【详解】解：由题意得，且， ∴， ∵， ∴，即， 则， ∴ ， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·天津北辰·月考）计算：的结果是 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，应用完全平方公式进行展开计算． 【详解】解：． 故答案为． 6．（25-26八年级上·北京·月考）如图，有甲、乙两种正方形纸片和丙种长方形纸片，用9张甲种纸片、1张乙种纸片和张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，解题的关键在于根据图形拼接关系得出大正方形的边长表达式，再结合完全平方公式确定的值． 先求出大正方形的面积，再分别表示小正方形和长方形的面积，由完全平方公式求解即可． 【详解】解：由题意得甲种正方形纸片的边长为，乙种正方形纸片的边长为，丙种长方形纸片的长为，宽为． 由张甲种纸片、张乙种纸片和张丙种纸片恰好拼成一个大正方形， 可知大正方形的边长为， 可得大正方形的面积为， 所以可得． 甲种正方形纸片面积为，张甲种纸片面积为． 乙种正方形纸片面积为，张乙种纸片面积为． 丙种长方形纸片面积为，张丙种纸片面积为． 因为大正方形的面积等于三种纸片面积之和， 所以，则． 综上，的值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知实数，满足，则的最大值为 ，最大值与最小值的差等于 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解不等式，设，则，根据，推出，则可求出，求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差等于， 故答案为：12；． 8．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（25-26八年级上·陕西安康·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法． （1）根据题意可知，，分别计算，，得到，，相减求出，进而可求出； （2）由（1）知，，即，计算即可． 【详解】（1）解：∵小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为， ∴ ， 即， ∴①，， ∵小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为， ∴ ， 即， ∴②，即， ，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ ． 10．（25-26八年级上·陕西安康·月考）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．用A种纸片一张、B种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：________________； 方法2：________________； (2)请你写出三个整式：，，之间的数量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解答下列问题：已知，，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键． （1）方法1，由大正方形的边长为，直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可； （2）由（1）直接可得关系式； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：方法1：，方法2：． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知：； 故答案为：； （3）解：①∵，，且， ∴， 解得：． 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，将一个边长为的大正方形一边增加，另一边减少，根据图形的变化可以验证下列哪一个等式成立（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据题意可得变化后的长方形的长为，宽为可得． 【详解】解：根据题意得变化后的长方形的长为，宽为， 故：． 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若，则下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式中系数的求值，正确赋值是解题的关键．通过代入特定值（如、、）判断说法（1）（2）（3）的正确性；对于说法（4），可以通过前面赋值得到的算式求和即可判断． 【详解】解：当时，， ，说法（1）正确； 当时，， ，说法（2）正确； 当时，，即， ，说法（3）正确； ，， 两式相加得， ， ，说法（4）错误； 综上，正确说法有个， 故选：D． 5．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）若可以配成一个完全平方式，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 将表达式与完全平方式比较，确定a和b的值，再根据中间项系数相等求解m． 【详解】解：， 可以配成一个完全平方式， ， 解得． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式． 通过两个等式相减消去参数a，利用平方差公式和因式分解，得到的值，进而求解所求表达式． 【详解】解；由和， 两式相减得， 即， 由于，即， 两边除以得， 则． 故答案为：16． 7．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 9．（25-26八年级上·四川眉山·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值； （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求阴影部分的面积（直接写出答案）． 【答案】（1）（2）4（3）（4） 【分析】本题考查完全平方公式及其变式应用，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，代入计算即可； （3）将变形为代入计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，根据，求出即可． 【详解】解：（1），，而， ， ； （2），，而， ， ； （3）， ； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 正方形和正方形的面积和为36， ， 又， ， 解得， ． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式． （1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式； （2）将，代入计算即可； （3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可； （4）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：， 所以第一次计算的面积为：， 第二次计算的面积为：， 所以：； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解：由图3可得：； 故答案为：； （4）解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项和积的乘方等计算，根据相关计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）从一个边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． 根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积是， 第二个图形的面积是， 则． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·河南·期末）若，则的末位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，通过乘以利用平方差公式将简化为，再计算的末位数字并减得到的末位数字. 【详解】解： ， 的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是， 的末位数字是、、、循环出现， ， 的末位数字是， 的末位数字是． 故选：D． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若定义，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程，根据题意列方程，即可解答，根据新定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：， 由题意可得， 解得 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东汕头·期末）要使展开式中不含项，则k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，解题关键是掌握不含某项、则某项的系数为零是解题的关键． 先根据多项式乘法展开，然后合并同类项，然后让项的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴项的系数，解得：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 8．（25-26八年级上·北京大兴·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； (2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查了数字的变化类，完全平方公式， （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并利用完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④，…， ∴第⑤个算式为：； （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：， 证明： 所以此等式成立． 9．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）【教材原型】 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，图中阴影部分图形的面积_____．若，，则_____． 【知识应用】 （2）若满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图③，有一块梯形空地于点，．计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；； （2）； （3）种草区域的面积和为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据阴影部分图形不同的两种表示面积的方式，可得．再代入求值即可． （2）将变形为，代入求值即可． （3）根据题意可得，，，即可得出，再根据，，可得，即可求解． 【详解】解：（1）观察图②，图中阴影部分图形的面积． 若，， 则． 故答案为：；； （2）依题意得，， ． （3）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为． 10．（25-26八年级上·云南昭通·期末）阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： (1)根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； (2)观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 【答案】(1)五， (2)前行共有351项． 【分析】本题考查了整式乘法的应用、数字规律的探究，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）根据前三个式子，找出规律，根据规律作答即可； （2）根据前四个式子，找出规律，根据规律作答即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角知： 的展开式有二项，； 的展开式有三项，； 的展开式有四项，； ∴的展开式有五项，； （2）解：由题可得，当时，展开有1项， 当时，展开有2项， 时，展开有3项，前三行共有项， 时，展开有4项，前四行共有项 …… ∴时，展开有26项． ∴前26行共有：． 答：前行共有351项． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法 思维导图 【类型一】单项式乘单项式 1．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 2．设，则的值为（） A． B． C． D． 3．若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【类型二】单项式乘多项式 1．化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 2．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，求的值 ． 【类型三】多项式乘多项式 1．已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 2．已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 3．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．这道整式乘法的正确结果是 ． 【类型四】平方差公式运算 1．下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A． B． C． D． 2．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【类型五】完全平方公式运算 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（  ） A．6 B．4 C．3 D．1 3．如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【类型六】整式的混合运算 1．计算 (1) (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【类型七】简便运算 1．利用公式简算． (1) (2) 2．利用乘法公式简算 (1) (2) 3．简算 (1) (2) (3) 【类型八】化简求值 1．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 2．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中 3．先化简，再求值： （1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中， 【类型一】单项式乘单项式的简单应用 1．长方形的长为，宽为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 2．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 3．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【类型二】单项式乘多项式的简单应用 1．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买 元的防水材料． 3．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【类型三】多项式乘单项式的简单应用 1．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 2．甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形为某村的一块甜菜种植基地，其中，．若该甜菜种植基地扩大为长方形，其中点B在上，点D在上，，，则长方形的面积比长方形的面积增加了 ． 3．如图所示是一个长方形，E是的中点． (1)根据图中数据，用含m的代数式表示阴影部分的面积S． (2)当三角形的面积等于三角形的面积时，求m的值． 【类型四】平方差公式的简单应用 1．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分组成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证（   ） A． B． C． D． 2．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 ；若，，则比多出来的使用面积为 ． 3．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【类型五】完全平方公式的简单应用 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    3．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【类型六】不含某项、与某项无关 1．将展开，若整理后不含x的二次项，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 3．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【类型七】完全平方式 1．若是完全平方式，则的值为（    ） A．7或−1 B．5 C．7 D．−1 2．我们把形如的式子称为完全平方式，已知是一个完全平方式，若，则的值为 ． 3．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：、． (1)下列各式中完全平方式的编号有 ； ①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若和都是完全平方式，求的值； (3)多项式加上一个单项式后，使它成为一个完全平方式，那么加上的可以是哪些？（请列出所有可能的情况，直接写出答案） 【类型一】杨辉三角 1．在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律： 我们称这个三角形数表为“杨辉三角”．杨辉三角在数学中具有重要的地位，它不仅是一个数字阵列，更是一个数学工具，可以用来求解组合数、概率、代数等问题．此外，杨辉三角还是组合数学的基石之一，对于研究数学的其他分支如代数、几何、分析等都有着重要的影响．杨辉三角给出了展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．依据上述规律，展开式中含项的系数是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 2．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于 ． 3．【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 【类型二】完全平方公式的变形求值 1．若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 2．已知，则 ． 3．已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【类型三】整除问题 1．若a为任意整数，则的值总能（   ） A．被25整除 B．被20整除 C．被16整除 D．被9整除 2．当为正整数时，写出一个一定能整除，并且大于的整数： ． 3．【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【类型四】规律问题 1．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有17个圆点，第④个图中有26个圆点······按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．观察下列等式： ； ； …… 按此规律，则第个等式应该是： ； 请你总结这个规律，即第个等式为： ． 3．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【类型五】新定义问题 1．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算∶根据这个定义，代数式可以化简为（  ） A． B． C． D． 2．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 3．【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【类型六】平方差公式与几何综合应用 1．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 2．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 3．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【类型七】完全平方公式与几何综合应用 1．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 2．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形．    (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）． 方法1___________； 方法2___________． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为___________；与，之间的等量关系为___________． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【类型八】配方法求最值 1．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 2．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 3．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，多项式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的多项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B．23或 C．5或 D．11或 3．（25-26八年级上·天津北辰·月考）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·天津北辰·月考）计算：的结果是 6．（25-26八年级上·北京·月考）如图，有甲、乙两种正方形纸片和丙种长方形纸片，用9张甲种纸片、1张乙种纸片和张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则 ． 7．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知实数，满足，则的最大值为 ，最大值与最小值的差等于 ． 8．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 9．（25-26八年级上·陕西安康·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 10．（25-26八年级上·陕西安康·月考）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．用A种纸片一张、B种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：________________； 方法2：________________； (2)请你写出三个整式：，，之间的数量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解答下列问题：已知，，求的值． 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，将一个边长为的大正方形一边增加，另一边减少，根据图形的变化可以验证下列哪一个等式成立（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若，则下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）若可以配成一个完全平方式，则m的值为 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为 ． 8．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26八年级上·四川眉山·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值； （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求阴影部分的面积（直接写出答案）． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）从一个边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（25-26八年级上·河南·期末）若，则的末位数字是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若定义，且，则 ． 6．（25-26八年级上·广东汕头·期末）要使展开式中不含项，则k的值等于 ． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 8．（25-26八年级上·北京大兴·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； (2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 9．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）【教材原型】 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，图中阴影部分图形的面积_____．若，，则_____． 【知识应用】 （2）若满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图③，有一块梯形空地于点，．计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 10．（25-26八年级上·云南昭通·期末）阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： (1)根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； (2)观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 学科网（北京）股份有限公司 $