第7章 幂的运算单元测试-2025-2026学年苏科版七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第7章 幂的运算 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长只有微米．其中微米米，用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 4．的值为（   ） A．8 B．1 C．4 D． 5．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 6．已知，．则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 8．已知整式，其中是自然数且满足，下列结论正确的是（    ） ①当，，，…，时，满足条件的整式不存在； ②当，，，…，时，满足条件的整式存在，且是五次六项式； ③当，，，…，时，满足条件的整式存在，且的项数是128． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．计算： ． 10．将分式表示成不含分母的形式： ． 11．若，，则 ． 12．若，则 ． 13．已知，，则 ． 14．已知，则的大小关系是 ．（用“”连接） 15．若，则x的值为 ． 16．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 17．已知，其中是正整数，那么 ． 18．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（4分）(1)已知，，求的值． (2)已知，，求的值． 21．（4分）若，求x的值． 22．（6分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 23．（6分）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 24．（8分），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 25．（8分）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 26．（8分）【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 27．（8分）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长只有微米．其中微米米，用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 4．的值为（   ） A．8 B．1 C．4 D． 5．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 6．已知，．则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 8．已知整式，其中是自然数且满足，下列结论正确的是（    ） ①当，，，…，时，满足条件的整式不存在； ②当，，，…，时，满足条件的整式存在，且是五次六项式； ③当，，，…，时，满足条件的整式存在，且的项数是128． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．计算： ． 10．将分式表示成不含分母的形式： ． 11．若，，则 ． 12．若，则 ． 13．已知，，则 ． 14．已知，则的大小关系是 ．（用“”连接） 15．若，则x的值为 ． 16．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 17．已知，其中是正整数，那么 ． 18．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（4分）(1)已知，，求的值． (2)已知，，求的值． 21．（4分）若，求x的值． 22．（6分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 23．（6分）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 24．（8分），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 25．（8分）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 26．（8分）【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 27．（8分）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数，求一个数的绝对值有理数的乘方和零指数幂，先化简各数，再判断各选项的值是否大于零，即可． 【详解】解：A、，是负数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、，是正数，符合题意； 故选D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，积的乘方和幂的乘方运算，根据相关计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长只有微米．其中微米米，用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法．熟悉科学记数法的概念和表示方法是解题的关键．科学记数法表示较小数时，形式为，其中，为原数第一个非零数字前所有的个数（含小数点前的）或为原数小数点后第一个非零数字所在的位数． 【详解】解：∵，且满足， ∴用科学记数法表示为． 故选：． 4．的值为（   ） A．8 B．1 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的性质的逆运用，需要注意，指数相同是逆运用性质进行解题的关键．利用指数运算性质，将0.125转化为，然后计算乘积． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 5．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握好幂运算的法则是解题关键． 按照幂运算的法则，先将转化为，与合并后，将代数式整体代入即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选：C． 6．已知，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关知识点是解题的关键． 根据，可得，即可求解． 【详解】解：， ． 故选：A． 7．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 8．已知整式，其中是自然数且满足，下列结论正确的是（    ） ①当，，，…，时，满足条件的整式不存在； ②当，，，…，时，满足条件的整式存在，且是五次六项式； ③当，，，…，时，满足条件的整式存在，且的项数是128． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式系数和的条件判断．对于结论①，计算系数和为完全平方数，128不是完全平方数，故不存在；对于结论②，计算系数和为2的幂的形式，130不是2的幂，故不存在；对于结论③，系数交替为0和1，奇数的系数为1，系数和等于奇数的个数，存在n使的项数是128，故正确． 【详解】结论①中，系数和，设 ，则 ，但128不是完全平方数，∴不存在自然数n，即满足条件的整式不存在，结论正确． 结论②中，系数和 ，则，，所以，设 ，则 ，但130不是2的幂，∴不存在自然数n，即满足条件的整式不存在，结论错误． 结论③中，系数 ，当n为奇数时，，当n为偶数时，，系数和S等于奇数的个数，即当 n 为偶数时 ，当 n 为奇数时 ，解得或，所以满足条件的整式存在，且项数为128，结论正确． 综上，结论①和③正确， 故选C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂的运算，任何非零数的次幂都等于，即()；一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，即()．先分别计算零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的加减运算． 【详解】解：， 故答案为：． 10．将分式表示成不含分母的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂法则是解题关键．根据负整数指数幂的运算法则解答即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 11．若，，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则． 先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．已知，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、有理数的大小比较等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先将b和c转换为底数为3的幂，再根据同底数幂和同指数幂的大小比较方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴． 故答案为． 15．若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 16．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 17．已知，其中是正整数，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，将等式左边利用指数运算法则进行化简，得到，与右边比较指数，根据指数相等关系，确定和的值，再计算． 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 18．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 【答案】793 【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解． 【详解】因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2． 当时，，不相等且都不是质数，矛盾； 当时，，此时，符合题意， 所以； 当时，，不满足条件． 综上，． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、幂的乘方法则、同底数幂乘除法则． （1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据幂的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂乘除法则计算乘除即可； （3）根据积的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂相除法则计算除法，最后合并同类项即可； （4）把底数变成，再根据同底数幂相乘法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．（4分）(1)已知，，求的值． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，（1）观察已知式子的指数之间的关系，做乘法再乘以即可得到要求式子的值；（2）观察已知式子的指数之间的关系，做除法即可得到要求式子的值． 【详解】解：（1），， ； （2），； ． 21．（4分）若，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，首先根据积的乘方，可将原式转化，得到等式，即可求出，解答本题的关键是掌握积的乘方的运算法则． 【详解】解：， ， 即， ， 解得． 22．（6分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用有理数乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； ， ． 故答案为：3，4； （2）解：，理由如下， ∵， ， ， ， ． 23．（6分）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 24．（8分），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 25．（8分）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 26．（8分）【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 【答案】（1）①36，36；②，；（2）；（3） 【详解】解：（1）①，， ②，； 故答案为：①36，36；②，； （2）； 故答案为：； （3） ． 27．（8分）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D B C A D C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. 11. 72 12. 13. 2 14. 15. 或1或0 16. 4053 17. 或 18. 793 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、幂的乘方法则、同底数幂乘除法则． （1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据幂的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂乘除法则计算乘除即可； （3）根据积的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂相除法则计算除法，最后合并同类项即可； （4）把底数变成，再根据同底数幂相乘法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ；（3分） （2）解：原式 ；（6分） （3）解：原式 ；（9分） （4）解：原式 ．（12分） 20．（4分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，（1）观察已知式子的指数之间的关系，做乘法再乘以即可得到要求式子的值；（2）观察已知式子的指数之间的关系，做除法即可得到要求式子的值． 【详解】解：（1），， ；（2分） （2），； ．（4分） 21．（4分） 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，首先根据积的乘方，可将原式转化，得到等式，即可求出，解答本题的关键是掌握积的乘方的运算法则． 【详解】解：， ， 即， ， 解得．（4分） 22．（6分） 【答案】(1)3，4 (2)，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用有理数乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； ， ． 故答案为：3，4；（3分） （2）解：，理由如下， ∵， ， ， ， ．（6分） 23．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ．（3分） （2）解：当，，时， ．（6分） 24．（8分） 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；；（5分） （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时，（8分） 25．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得；（5分） （3）解：∵，， ∴， ∴．（8分） 26．（8分） 【答案】（1）①36，36；②，；（2）；（3） 【详解】解：（1）①，， ②，； 故答案为：①36，36；②，；（4分） （2）； 故答案为：；（6分） （3） ．（8分） 27．（8分） 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3；（5分） （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $