第七章 幂的运算（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材苏科版七年级下册

第七章 幂的运算·拔尖卷 【新教材苏科版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·全国·月考）若 则的值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D． 2．（25-26八年级上·山西晋城·期中）下列各式运算结果为的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 4．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．3 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 6．（25-26八年级上·山东临沂·月考）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 9．（25-26八年级上·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 10．（25-26八年级上·北京·期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为 ． 14．（25-26九年级上·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 15．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）． 16．（25-26八年级上·江西南昌·月考）某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 19．（8分）（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 20．（8分）（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 21．（10分）（24-25八年级上·福建厦门·期中）如果a、b、c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． (1)______； (2)若k、m、n、p均为整数，且，，，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明． (3)小明在研究这种记号时发现一个规律： （n是正整数），请你帮他完成证明． 22．（10分）（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 23．（12分）（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 24．（12分）阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵， ∴． 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_______； (2)求证： ； (3)拓展运用：计算______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 幂的运算·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·全国·月考）若 则的值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算和解二元一次方程组，掌握好同底数幂的乘法运算的法则是解题关键． 根据指数运算法则，将左边表达式化简后，对比右边指数建立方程组，解方程组求m和n的值，再计算． 【详解】解：化简等式左边得，， ∴， 将①变形得，， 将③代入②得，， 解得，， 将代入③得，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西晋城·期中）下列各式运算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不合题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不合题意； 、，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 4．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先由得到，再将变形为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 【答案】B 【分析】本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东临沂·月考）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握同底数幂的乘除法的逆运算解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 8．（25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 9．（25-26八年级上·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 10．（25-26八年级上·北京·期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，一元一次方程的应用，列出方程是解题得关键． 通过跟踪每次操作后各袋球数的变化，根据最终三袋球数相同列出方程，求解出和的值，再利用指数运算性质计算． 【详解】∵ 总球数为，且最终三袋球数相同， ∴ 每袋有 个球， 操作后： 甲袋：， ； 丙袋：， ； 乙袋：，符合， ∴ ． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，根据题意可得，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则将式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 12．（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法、代数式求值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 14．（25-26九年级上·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算等知识﹒根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算将变形为结合已知条件求出，即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∴﹒ 故答案为：2 15．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可． 【详解】解：∵，，． ∴，，， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， 于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 所以a+c＝2b，因此①正确； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，因此②正确； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确； ④b＝a+1，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系． 16．（25-26八年级上·江西南昌·月考）某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 【答案】1038 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的等式，第一个等式表示表达式的值为2076，第二个等式表示表达式的值为2，需要求第三个表达式的值．通过简化第三个表达式和利用前两个等式的值，计算得到结果． 【详解】解：简化第三个表达式： ， 由已知，，则 ． 故答案为：1038． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 18．（6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【点睛】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方是解题的关键． 19．（8分）（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 20．（8分）（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）（24-25八年级上·福建厦门·期中）如果a、b、c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． (1)______； (2)若k、m、n、p均为整数，且，，，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明． (3)小明在研究这种记号时发现一个规律： （n是正整数），请你帮他完成证明． 【答案】(1)3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据，根据定义，得，解答即可； （2）根据，，，得，，， 根据，得，解答即可． （3）利用定义证明即可． 【详解】（1）解：∵，根据定义，得， 故答案为：3． （2）解：m、n、p之间满足的等量关系为：．理由如下： 根据题意，，，， 得，，， 又， 故， 故． （3）解：设，则，，则， 故， ∴， ∴， ∵n是正整数， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的性质，熟练掌握定义，幂的乘方是解题的关键． 22．（10分）（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算． （1）根据除方定义直接计算： ， ． （2）将除方转化为乘法，推导得 ． （3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算． 【详解】（1）解： ． ． （2）解： ． （3）解： ． 23．（12分）（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 24．（12分）阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵， ∴． 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_______； (2)求证： ； (3)拓展运用：计算______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数与对数的关系求解． （2）根据指数与对数的关系求证． （3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解． 【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：． 故答案为：． （2）解：设 ，则， ∴ ． ∴ ． ∴ ． （3）解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $