第7章幂的运算 题型过关专练 -2025-2026学年苏科版七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第7章 幂的运算 思维导图 【类型一】同底数幂相乘 1．若，则a表示的数是（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 2．化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 3． ． 【类型二】用科学记数法表示数的乘法 1．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 2．光速约为，太阳光照射到火星上需要的时间约为，则火星与太阳之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 3．计算： （用科学记数法表示）． 【类型三】幂的乘方运算 1．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2．计算结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 【类型四】积的乘方运算 1．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 3．若，则 ， ． 【类型五】同底数幂相除 1．如果（且），则的值是（   ） A．2 B．3 C．10 D．5 2．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算： ． 【类型六】零次幂 1．计算：（   ） A．0 B．1 C．无意义 D．15 2．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．当 时，． 【类型七】负次幂 1．的相反数等于（   ） A． B．2025 C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 【类型八】科学记数法 (负次幂) 1．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．世界最大的单口径球面射电望远镜位于中国贵州省黔南布依族苗族自治区，被誉为“中国天眼”，在其2025年发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00432秒．数据0.00432用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 【类型一】同底数幂乘法的逆用 1．已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 2．已知，则 ． 3．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【类型二】幂的乘方与同底数幂乘法结合 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； 【类型三】幂的乘方逆用 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【类型四】积的乘方与幂的乘方结合 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．若，，则 ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【类型五】积的乘方逆用 1．计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 2．计算： ； 3．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【类型六】同底数幂除法的逆用 1．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 2．若 ，则 ． 3．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【类型七】幂的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【类型一】比较大小 1．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： ．（填“”或“”或“”） 3．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【类型二】新定义运算 1．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 2．定义新运算：，则的运算结果是 ． 3．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【类型三】幂的结果为1的分类讨论 1．满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若等式成立，则x的值为 ． 3．（1）已知，满足，求的值． （2）已知，求的值． 【类型四】方程问题 1．计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 2．若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 3．（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【类型五】整除问题 1．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 2．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 3．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【类型六】规律问题 1．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 2．（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 3．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【类型七】拓展一复数与对数 1．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为(a,b为实数)，a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：______，______，______． (2)计算：①；②． (3)试一试：请利用分数的基本性质(分子和分母同乘一个不为0的数，分数的大小不变)将化简成的形式． 2．阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 3．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 1．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）（   ） A．4 B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林·月考）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： ． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，则 ． 7．（25-26八年级上·山东济宁·月考）当时，则 ． 8．（25-26七年级上·山东济南·月考）计算：． 9．（25-26八年级上·四川眉山·月考）计算 (1)； (2)已知，，求 10．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 1．（23-24七年级上·上海·期中）下列各计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌海·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·海南海口·期中）计算是（   ） A．8 B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）计算： ． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值 ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）将分式表示成不含有分母的形式： ． 8．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 9．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 10．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 1．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）柔性玻璃通常是一种厚度介于的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的超薄柔性玻璃，其厚度约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·云南红河·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算∶ ． 6．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： ． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 8．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 10．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 思维导图 【类型一】同底数幂相乘 1．若，则a表示的数是（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则，，因此将等式左边转化为指数相加形式建立等式即可解答． 此题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，熟练掌握是法则解决本题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选：C． 2．化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查了同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是求解的关键． 利用和互为相反数的关系，将式子统一为的幂，再应用同底数幂相乘的法则合并指数，完成求解． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：C． 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据指数运算规则，分别计算各部分的符号和指数，再相乘． 【详解】解： ， 故答案为：． 【类型二】用科学记数法表示数的乘法 1．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法以及同底数幂的乘法法则进行计算和表示即可． 【详解】解：； 故选B． 2．光速约为，太阳光照射到火星上需要的时间约为，则火星与太阳之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的乘法运算． 根据“路程速度时间”列出算式，计算后将结果化为标准的科学记数法形式即可． 【详解】解：火星与太阳之间的距离约为 ． 故选：D． 3．计算： （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 【类型三】幂的乘方运算 1．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 2．计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算，括号内是个相乘，即，再整体立方，应用幂的乘方运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原式的括号内是个相乘，即， ∴， 故选：D． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【类型四】积的乘方运算 1．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算的基本规则；根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项以及积的乘方的性质，逐一验证各选项. 【详解】对于选项A: ∵ ，∴ 正确； 对于选项B: ∵ ，∴ 正确； 对于选项C: ∵ ，∴ 不正确； 对于选项D: ∵ ，∴ 正确； 故选：C. 2．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 3．若，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 【类型五】同底数幂相除 1．如果（且），则的值是（   ） A．2 B．3 C．10 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． 利用同底数幂的除法法则，将等式转化为指数相等，然后求解n． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法及负指数幂，熟练掌握同底数幂的除法及负指数幂是解题的关键；利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：； 故选B． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查指数运算，方法是先进行幂的运算，再计算同底数幂的乘除，关键是注意符号的变化． 首先计算，然后计算，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，最后计算，相当于除以负的，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【类型六】零次幂 1．计算：（   ） A．0 B．1 C．无意义 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂，先计算括号内的表达式，遵循先乘除后加减的运算顺序，得出结果为0，再计算0的0次方，无意义． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 原式，无意义． 故选C． 2．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，零指数幂，根据同底数幂相乘、幂的乘方以及零指数幂法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项运算错误，不符合题意； 、，故该选项运算错误，不符合题意； 、，故该选项运算错误，不符合题意； 、，故该选项运算正确，符合题意； 故选：． 3．当 时，． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，进行求解即可． 【详解】解：因为任何非零数的零次幂都等于1，所以当时，，即． 故答案为：． 【类型七】负次幂 1．的相反数等于（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负指数幂和相反数的概念，先求出，再根据相反数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、积的乘方法则和负指数幂的意义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误； B．，故原计算错误； C．，故原计算错误； D．，故原计算正确． 故选：D． 3．计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：3． 【类型八】科学记数法 (负次幂) 1．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 2．世界最大的单口径球面射电望远镜位于中国贵州省黔南布依族苗族自治区，被誉为“中国天眼”，在其2025年发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00432秒．数据0.00432用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.00432用科学记数法可以表示为， 故选：B． 3．华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【类型一】同底数幂乘法的逆用 1．已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法逆用，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法公式的逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂乘法公式，可变形，将已知条件代入即可求出，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴ = = 6， ∴ ． 故答案为：． 3．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 【类型二】幂的乘方与同底数幂乘法结合 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数运算法则，将已知条件转化为同底数幂的形式，然后计算所求表达式． 本题考查了幂的运算，熟练运用幂的运算是解题关键． 【详解】∵ ， ， ∴ ． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．先计算乘方，再利用同底数幂相乘法则计算乘积． 【详解】解：原式， ， 故答案为． 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算． （1）先处理符号，再按照同底数幂的乘法进行计算即可． （2）先计算幂的乘方，再按照同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【类型三】幂的乘方逆用 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算法则，包括幂的乘方与同底数幂的乘法，同底数幂乘方的逆运算，将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴ ， ∴． ∴， 故选A． 2．计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法法则，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用指数运算性质，将表示为的平方，再求值； （2）将化为的立方，利用同底数幂相乘的法则，结合已知条件求值． 【详解】解：（1）， ， ，即． 故答案为：． （2）， ， ， ，即． 故答案为：． 3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【类型四】积的乘方与幂的乘方结合 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，熟记性质并转化成已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件 和 ，通过指数法则化简表达式 ，逐步计算得到结果。 【详解】解：由 ，得 ； 由 ，得 ； 因此，； 则 ． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【类型五】积的乘方逆用 1．计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查逆向运用积的乘方运算法则，正确掌握运算法则是解题关键． 先将式子化简，再根据逆向运用积的乘方运算得，最后求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 2．计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的混合运算，解题的关键是掌握简便算法． 通过观察指数和底数的关系，利用幂的运算法则简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 【类型六】同底数幂除法的逆用 1．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，根据题意可求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故选：D． 2．若 ，则 ． 【答案】100 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘除法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：100． 3．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 【类型七】幂的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，绝对值和零指数幂，然后计算加减； （2）根据幂的混合运算法则求解即可； （3）利用积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，绝对值和零指数幂，幂的混合运算，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 【类型一】比较大小 1．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 2．比较大小： ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小，熟记幂的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 通过幂的乘方的逆运算，将两个幂化为同指数形式，比较底数大小即可判断． 【详解】解：，， 根据指数相同时，由底数大小确定幂的大小，可知当时，， 即 ， 故答案为：． 3．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【类型二】新定义运算 1．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 2．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 3．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【类型三】幂的结果为1的分类讨论 1．满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 2．若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 3．（1）已知，满足，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或0 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性、0指数和负整数指数幂以及代数式求值等知识，熟练掌握非负数的性质、灵活应用分类思想是解题的关键； （1）根据绝对值和平方的非负性可求出m、n的值，再进一步求解即可； （2）分三种情况：①0指数幂的性质；②1为底数的任何次幂都是1；③的偶次幂为1；分别解答即可． 【详解】解：（1）因为 ， ，， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以，①当且时，解得，此时原式成立； ②当时，解得，此时原式成立； ③当且为偶数时，解得，但为奇数，此时原式不成立，故应舍弃； 综上，的值为1或0． 【类型四】方程问题 1．计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 2．若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 3．（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】 （1）①72；② （2）8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【类型五】整除问题 1．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 2．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，把变形为，然后代入即可求解； （）先由变形为，又（，都是正整数）能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除． 3．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【类型六】规律问题 1．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 2．（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 3．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 【类型七】拓展一复数与对数 1．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为(a,b为实数)，a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：______，______，______． (2)计算：①；②． (3)试一试：请利用分数的基本性质(分子和分母同乘一个不为0的数，分数的大小不变)将化简成的形式． 【答案】(1)；； (2)①50；② (3) 【分析】本题考查了复数的运算，解题的关键是利用平方差公式对分母进行有理化，结合进行化简． （1）根据的幂的周期规律（周期为4）计算； （2）利用平方差公式、完全平方公式结合计算； （3）给分子分母同乘，利用平方差公式化简分母，结合将式子化为形式． 【详解】（1）解：∵ ，周期为4， ∴；；． 故答案为：；；． （2）解：① ； ② （3）解： 2．阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 3．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 1．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂的法则：（，为正整数）． 【详解】解：根据负整数指数幂的法则，． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林·月考）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、， B、， C、无法合并，不等于， D、， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的性质．， 根据已知可得，即可得的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．对于0.0000025，需将小数点向右移动6位得到2.5，故． 【详解】解：∵0.0000025的第一个非零数字为2，将小数点移至2后得2.5，此时小数点向右移动了6位， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值和零指数幂的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先计算绝对值和零指数幂，再计算加法即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：3． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法及幂的乘方的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 逆用同底数幂除法的运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东济宁·月考）当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂的乘法运算．先根据幂的乘方运算法则得出，，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加得出，再将已知条件代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， 故； ∵ ∴． 将代入，得． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·山东济南·月考）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂、乘方、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·四川眉山·月考）计算 (1)； (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算； （1）根据指数运算法则进行化简计算； （2）化为同底数幂形式，通过指数相等建立方程组求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， ， 解得：， ∴ ， ∴ ． 10．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【答案】（1）4，；（2）32 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法及题意是解题的关键． （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解． 【详解】解 ：（1），， 又如果，那么 ； 故答案为：4，； （2）设，， 则，， ， 又如果，那么， ； 故答案为：32． 1．（23-24七年级上·上海·期中）下列各计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算正确，符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2.（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌海·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·海南海口·期中）计算是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方公式的逆用，解题的关键是将指数拆分，逆用积的乘方公式简化计算． 将拆分为，再结合逆用积的乘方公式，简化后计算结果． 【详解】解：∵ ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）计算： ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查负整数指数幂的运算规则，掌握负整数指数幂的转化方法是解题关键． 根据负整数指数幂的运算规则，（其中），直接代入计算． 【详解】解：由负整数指数幂的定义，． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值 ． 【答案】 13 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将等式两边化为同底数幂后比较指数求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 故答案为：13． 7．（25-26七年级上·上海·期中）将分式表示成不含有分母的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的应用，通过将分母中的项转换为负指数形式，从而消除分母，即可求解． 【详解】解：原分式为 ，根据负整数指数幂的意义，分母中的可写为， 可写为， 所以原式化为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方计算解答即可； （2）根据积的乘方，整式的加减计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 10．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）柔性玻璃通常是一种厚度介于的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的超薄柔性玻璃，其厚度约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的定义与表示规则是解题关键． 科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，为整数，据此对选项进行判断即可． 【详解】解：科学记数法形式为，其中，为整数， 对于，小数点需向右移动位得到，则，， 故． 故选：． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘除、幂的乘方、合并同类项，根据相关运算法则逐项判断． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减：，故A正确，符合题意； B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加：，故B错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并为，故C错误，不符合题意； D、幂的乘方，底数不变，指数相乘： ，故D错误，不符合题意． 故答案为：A． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 4．（24-25七年级上·云南红河·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算∶ ． 【答案】 3 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，利用负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 6．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： ． 【答案】a 【分析】本题考查同底数幂的除法，负整数指数幂，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法的意义，乘方的意义，以及同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，分别将等号左右两边都转化成以2为底的幂的形式，即可得解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方、带乘方的有理数混合运算、负整数指数幂，关键是运用运算法则熟练运算； （1）根据积的乘方运算法则计算； （2）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 10．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $