精品解析：江苏省淮安市多校2026届高三上学期12月联考数学试卷

淮安市多校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 3. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合，再进行交集运算即可． 【详解】根据题意，解得集合，而集合，所以． 故选：A． 4. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得或，求函数的导数，根据导数判断函数的单调性与取值情况，做出函数图像，数形结合可得解. 【详解】令， 则，解得或， 当时，，由，得；由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，当时，取最大值，最大值为， 故的大致图象如图所示， 由图可知，有且仅有个实根. 当时，恰有个零点，故A选项错误； 由恰有个零点，则恰有个实根，且， 则或或，则B选项错误； 由恰有个零点，得恰有个实根，则或或，则选项错误； 当时，有个实根，则恰有个零点，故D单调正确； 故选：D. 5. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式求出棱台的高，设和的中心分别为，作平面ABC交平面ABC于点，即为直线与平面ABC所成的角，利用锐角三角函数求得线面角的正切值. 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合角的范围，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系与二倍角公式，即可得解. 【详解】， 又因为，得， 又，，故，因此. 故选：B. 7. 现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，···，第n排比第n－1排多栽种棵且，则第10排栽种塔松的棵数为（ ） A. 90棵 B. 92棵 C. 94棵 D. 96棵 【答案】D 【解析】 【分析】利用相加相消法，再结合等差数列的求和公式得解. 【详解】设第排栽种的塔松的数量为 由题意知， 所以 故选：D． 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性可推导出函数的周期为4，结合对称性作出函数的图象，即可求解. 【详解】由于为奇函数，为偶函数，故和， 进而可得和， 因此，从而， 故为周期为4的周期函数， 当时，，故， 由于，结合，可得，故， 又，故，即，故， 因此， 作出的一个周期内的函数图象，则直线与的两个交点关于直线对称， 因此在内的两个零点之和为4， 则在内的两个零点之和为12，故所有的零点之和为16， 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有三个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D. 【详解】，， 当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A错误，B正确； 由，得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 设切点为，则，故切线方程为， 又过点，所以，整理得， 即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确． 故选:BCD． 10. 已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间内只有1个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求得函数，根据三角函数的性质，可判定A正确；由时，求得，结合正弦函数的性质，可得判定B正确；由，可判定C错误；求得，得到，得到或，进而求得曲线在点处的切线的斜率，得出切线方程，可判定D正确. 【详解】由， 因为函数的最小正周期为，所以，所以， 所以， 对于A中，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在上单调递减，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在上只有1个极值点， 由，解得，即为函数在上的唯一极值点，所以B正确； 对于C中，当时，，， 所以直线不是曲线的对称轴，所以C错误； 对于D中，由，得， 则或，可得或， 所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：由平面，可得即为到直线的距离，由抛物线的定义即可判断；B：由题意可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，计算可判断；C：由与平面所成的角为，计算可得为定值，可判断点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而可判断；D：由与所成的角可得，可得点的轨迹方程，从而可判断． 【详解】对于A，平面，即为到直线的距离， 在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等， ∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确； 对于B，若，则, 可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆， 其面积为，故B正确； 对于C，与平面所成的角为，则，可得， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故C错误； 对于D，如图，建立空间直角坐标系， ， 设，则，， 因为， 化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确； 故选：ABD﹒ 【点睛】关键点点睛：D选项中，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式求解是解题关键. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 13. 已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 16. 已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． （1）求与的通项公式； （2）数列的前n项和，求及的最小值和最大值； （3）设，求． 【答案】（1）， （2），最小值为，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义可得的通项公式，再由等差数列性质可得的通项公式； （2）借助等比数列求和公式可得，再分奇偶讨论可得的最小值和最大值； （3）由题意计算可得，再借助错位相减法计算即可得解. 【小问1详解】 由，则， 故，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； ，则数列的公差为，故； 【小问2详解】 ， 则， 当为偶数时，，随的增大而增大， 当为奇数时，，随的增大而减小， 故当时，有最小值， 当时，有最大值； 【小问3详解】 由， 则 ， 则， 则， 故 ， 则. 17. 已知a，，， （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2），证明如下： 由题意得，所以的定义域为， 在上有极值等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增， 故是的极小值点. 方法一： 由上分析，，∵，∴，即极小值小于b. 方法二： 因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故，即极小值小于b． 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，再根据导数与0的大小关系来确定函数的单调性，需要对a的取值进行分类讨论； （2）先求出的导数，根据在(1,2)上有极值，求导，分和讨论，进而求出b的取值范围，再分析极值点，方法一、根据即可证明；方法二、通过构造函数，求导，再令，根据单调性证明即可． 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱柱−中，平面，，，，分别为，，，的中点，，． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：直线与平面相交． 【答案】（1）在三棱柱中， 平面，四边形为矩形． 又，分别为，的中点，． ，为的中点，，而， 平面． （2）； （3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法 平面的一个法向量为，，， ，，与不垂直， 与平面不平行且不在平面内，与平面相交． ［方法二］：几何转化 如图4，取的中点，分别在，点，，使． 连接． 由棱柱性质得，， 平面，平面. 又，平面， 平面平面. 又平面，平面，故直线与平面相交． ［方法三］：根据相交的平面定义 如图5，设与交于，联结． 因为，所以四点共面． 因为，所以． 又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交． 因为平面，所以直线与平面相交． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果； （3）根据平面一个法向量与直线方向向量数量积不为零，可得结论. 【详解】（1）略 （2）［方法一］：【通性通法】向量法 由（1）知，，．又 平面，平面． 平面，． 如图建立空间直角坐称系． 由题意得 ，，， ， ． ， 设平面的法向量为， ，， 令，则，， 平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，． 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为． ［方法二］： 【最优解】转化＋面积射影法 考虑到二面角与二面角互补，设二面角为， 易知，，所以． 故． ［方法三］：转化＋三垂线法 二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面． 如图3，作，垂足为，联结． 平面，平面，. 又，， 平面，得. 则是二面角的平面角， 设，在中，， 因为二面角 ， 所以二面角的余弦值为． （3）略 【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法； 方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解； 方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出； （3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解； 方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出； 方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出． 19. 已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：对于任意的，都有； （3）若函数存在极小值点，且，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 当时，， 设，， 则， 设，，则， 所以在上单调递增， 又，则， 所以在上单调递增，则， 即对于任意的，都有. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负求解函数的单调区间； （2）当时，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可； （3）求导构建，，可知在上存在零点，结合题意整理可得，设，，根据函数值的正负，即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 设，，则， 所以在上单调递增，又， 可知时，，时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，，则， 设，，可知在上单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即， 此时，即， 设，，且， 当时，，，则； 当时，，，则， 可得，则，此时， 则a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市多校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 3. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 5. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，···，第n排比第n－1排多栽种棵且，则第10排栽种塔松的棵数为（ ） A. 90棵 B. 92棵 C. 94棵 D. 96棵 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有三个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 10. 已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间内只有1个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 13. 已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 16. 已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． （1）求与的通项公式； （2）数列的前n项和，求及的最小值和最大值； （3）设，求． 17. 已知a，，， （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b． 18. 如图，在三棱柱−中，平面，，，，分别为，，，的中点，，． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：直线与平面相交． 19. 已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：对于任意的，都有； （3）若函数存在极小值点，且，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $