精品解析：海南省海南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

海南中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用瞬时速度的定义直接求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为， 当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为4m/s. 故选：D 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，利用已知条件求出的值，进而求出所要求的式子的值. 【详解】在等差数列中，已知，所以，即，那么.  同样根据等差数列性质，所以. 则. 把代入可得. 故选 ：B 3. 函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 4 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的乘法公式求出，再由和事件的概率公式求. 【详解】因事件相互独立， 所以， 所以， 故选：A 5. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 6. 不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥但不对立 C. 与相互独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出样本空间及事件，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间， 事件，事件， 对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：D 7. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 所以点，所以直线的斜率为， 所以 由，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩（单位：分）统计如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 82 90 68 80 80 则下列结论正确的是（ ） A. 这5位同学成绩的中位数是80 B. 这5位同学成绩的极差是10 C. 这5位同学成绩的方差是52 D. 这5位同学成绩的第80百分位数是86 【答案】AD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据中位数，平均数，极差，方差和百分位数的定义进行求解，得到答案. 【详解】A选项，这5位同学成绩从小到大排列为68，80，80，82，90， 中位数为80，A正确； B选项，这5位同学成绩的极差为，B错误； C选项，这5位同学成绩的平均数为， 所以这5位同学成绩的方差是，C错误； D选项，，故选取第4个数和第5个数的平均数为第80百分位数，即86，D正确. 故选：AD 10. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B；借助等比数列与等差数列求和公式计算可得C；借助作差法可得，即可得D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（ ） A. 的准线方程为 B. ，，成等差数列 C. 若在的准线上，则 D. 若在的准线上，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准形式即可判断A，设，，可以用表示，进一步判断B，设直线：，：，从而得到，进一步结合B选项分析可判断C，由抛物线定义结合基本不等式即可得解. 【详解】对A，抛物线：，抛物线的准线方程为，A选项错误； 对B，设，， ∵，∴，，， ∴，B选项正确； 对C，由上可知直线：，：， 解得，，，，C选项正确； 对D，，当且仅当时取等号，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出，进一步结合，即可顺利判断. 第Ⅱ卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解. 【详解】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 14. 函数在区间内存在零点，且该零点不是的极值点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为和的函数图象在上有交点，且在交点处不相切，利用导函数研究的单调性，结合图象可得. 【详解】因在区间内存在零点，且该零点不是的极值点， 则和的函数图象在上有交点，且在交点处不相切， 因， 令，则，则在上单调递增， 因，则当时，，；当时，，，故在上单调递减，在上单调递增， 因， 其图象如图： 故，故实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】（1） （2）10 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由频率和为1可得； （2）根据分层抽样可得； （3）根据频率分布直方图求出认可程度平均分即得 【小问1详解】 由图可知：，所以 【小问2详解】 低于80分的学生中三组学生的人数比例为，则应选取评分在的学生人数为：（人）． 【小问3详解】 由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于0.85，所以“美食”工作需要进一步整改． 16. 已知函数，当时，取得极小值5. （1）求的值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【小问1详解】 由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 17. 某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等. （1）求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率； （2）若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题， 先求出样本空间，设“恰好道传统文化题和数学历史题”，再求事件，利用古典概型公式即可求解； （2）设“甲答对道题”（），计算，设“乙答对道题”（），计算，设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”，利用独立事件即可求解. 【小问1详解】 设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题， 样本空间，， 设“恰好道传统文化题和数学历史题”，，，由古典概型公式得， 所以，甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为； 【小问2详解】 设“甲答对道题”（）， ；； 设“乙答对道题”（）， ； ， 设“甲、乙两人答对题目总数不少于道” 由两人答题是否正确相互独立，有 所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为. 18. 双曲线，直线，O为坐标原点． （1）直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； （2）若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得的值； （2）联立直线l与双曲线C的方程，借助韦达定理、平面向量的数量积求解作答. 【小问1详解】 直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解， 即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 【小问2详解】 由消去y并整理得：， 显然，且，解得且， 设， 有，， ， 显然直线l不过原点，即与不共线，由为钝角得： ， 即，即， 解得，又且， 于是得，解得， 所以k的取值范围. 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． （1）判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【小问1详解】 时，， 函数在区间上是凹函数． 【小问2详解】 ， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． 【小问3详解】 ， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 9 C. D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 4. 已知事件相互独立，且，则（ ） A 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3 5. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥但不对立 C 与相互独立 D. 7. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩（单位：分）统计如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 82 90 68 80 80 则下列结论正确的是（ ） A. 这5位同学成绩的中位数是80 B. 这5位同学成绩的极差是10 C. 这5位同学成绩的方差是52 D. 这5位同学成绩的第80百分位数是86 10. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 11. 已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（ ） A. 的准线方程为 B. ，，成等差数列 C. 若在的准线上，则 D. 若在准线上，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 14. 函数在区间内存在零点，且该零点不是的极值点，则实数的取值范围为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 16. 已知函数，当时，取得极小值5. （1）求的值； （2）当时，求的最小值. 17. 某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等. （1）求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率； （2）若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率. 18. 双曲线，直线，O为坐标原点． （1）直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； （2）若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． （1）判断函数在区间上否为凹函数？并说明理由； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $