1.3乘法公式自主学习达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《1.3乘法公式》自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列计算结果正确的是（  ） A． B． C．． D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．16 4．已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 5．若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 6．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 8．如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 二、填空题（满分24分） 9．若是完全平方式，则 ． 10．计算： ． 11．如果，那么代数式的值是 ． 12．若，则为 ． 13．计算： ． 14．已知，则： 15．观察下列各式的规律，①；②；③；，请按以上规律用含有字母的式子表示第（为正整数）个算式为 ． 16．有两个正方形A，B，边长分别为a，b，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后得图乙，则图乙中阴影部分的面积为 ，（用a，b有关的代数式表示）；若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形A，B的面积之和为 ． 三、解答题（满分72分） 17．用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像． (1)请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积． (2)当，时，求对应面积的值． 21．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 23．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 参考答案 1．B 【分析】本题考查整式的乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边对比，判断等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、由于，则A错误； 选项B、，则B正确； 选项C、，则C错误； 选项D、，则D错误； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查平方差公式的应用，运用整体思想，易错点是对 “相同项” 和 “相反项” 的整体把握不准确；解题思路是将式子中的看作整体，判断哪个选项能变形为平方差公式的结构即可． 【详解】解：运用平方差公式， 把看作一个整体，将式子变形为 “相同项” 与 “相反项” 的乘积形式， ，符合平方差公式结构； 故选C． 3．C 【分析】本题考查完全平方公式的计算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．利用完全平方公式直接计算． 【详解】解：∵， 已知，， ∴ ． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了完全平方公式，通过令 ，将原方程化为关于 的完全平方形式，求解得到 ，再计算奇数次幂； 【详解】解：∵ ， 令 ，则 ， ∴ 原方程化为 ， 即 ， ∴ ，即 ， ∴ ； 故选：A 5．C 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 7．D 【分析】此题考查了乘法公式和求代数式的值等知识．先根据已知条件得到，再把原式变形为，再整体代入进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∵ ． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了完全平方公式在长方形面积计算中的应用，解题的关键是利用正方形的周长和面积关系得出长方形长与宽的和及平方和，再通过完全平方公式求解面积． 设长方形的长为，宽为，根据四个正方形的周长之和与面积之和列出关于、的方程，得出和的值，再利用完全平方公式求出（即长方形面积）． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③ - ②得， 所以， 即长方形的面积为， 故选C． 9．或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：或． 10．/ 【分析】本题考查了平方差公式，将变形为，然后利用平方差公计算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 11．25 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 由已知条件得到，将代数式利用平方差公式分解为 ，然后代入 ，化简计算即可． 【详解】由 ，得 ， 原式， 代入，得 ． 故答案为：25． 12．/ 【分析】本题考查了完全平方公式，将等式右边展开，利用完全平方公式，然后比较等式两边系数，解出 ． 【详解】解：∵右边：，左边： ∴ ∴ 移项得 即 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是利用平方差公式，完全平方公式计算，先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 14． 【分析】本题考查整式的化简与完全平方公式的应用，解题的关键是通过已知条件化简得到的值，并将所求式子变形为含的形式． 由已知方程化简得到，然后利用完全平方公式将所求表达式转化为，代入计算即可． 【详解】解：由， 展开得，即， 所以， 所求表达式为． 由，得，所以， 因此． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，涉及多项式乘多项式和完全平方公式，观察给定算式的规律，每个算式中第一个因数为序号n，第二个因数为，减去的数为的平方，结果均为． 【详解】解：根据规律，第n个算式可表示为 ， ， 则第n个算式为 ． 故答案为：． 16． 29 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 对于第一空，先求出阴影部分的长与宽，再求面积即可； 对于第二空，先根据题意列方程，，再根据等式性质求得，进而求出a，b的值，即可求出所求面积． 【详解】解：由题意，阴影部分的长为b，宽为，所以图乙中阴影部分的面积为． 故答案为：． 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6， ，， 得， 得， 即， ， ， 由②得，， ， ， ， 正方形A，B的面积之和为． 故答案为：29． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了乘法公式在计算中的应用，熟练掌握公式和灵活变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用平方差公式计算即可； （4）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、单项式乘以多项式、平方差公式、解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先，括号内单项式先分组，然后，根据平方差公式、完全平方公式的运算法则运算即可； （2）首先，括号内单项式先分组，然后，根据完全平方公式、单项式乘以多项式的运算法则运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 19．， 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式等知识，熟练掌握其运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式 ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，根据图形，正确列出算式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积=长方形面积正方形面积，列算式，再进行整式的混合运算； (2)在第(1)问的基础上代值计算，一定要注意运算的顺序是先计算乘方，后计算乘法，最后才是加法． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式． 21．(1)②④ (2) (3)最大值 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据题干信息直接作答即可； （2）根据完全平方公式的特点解答即可； （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案． 【详解】（1）解：①不能分解因式，不是完全平方式； ②，是完全平方式； ③，不能因式分解，不是完全平方式； ④，是完全平方式， 故答案为：②④； （2）∵是一个完全平方式， ∴，解得， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， 即代数式有最大值有最大值，最大值为． 22．(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）利用（1）的结论，把写成两个式子相乘的形式，把代入计算，即可得的值； （3）利用（1）的结论，对原式进行变形，写成便于约分的形式，计算即可． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为． （3）解：． ． 23．(1) (2) (3)576 【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积两个小长方形的面积，可得关系式； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解． 本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积来得到数学公式，解题的关键是灵活进行数形结合来分析． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 学科网（北京）股份有限公司 $