甘肃省兰州市第五十九中学2026届高三上学期数学周练卷1

2026届高三数学周练卷1 2025年9月12日 本试卷满分120分，考试用时120分钟 学校：_________ 姓名：_________ 班级：_________ 考号：_________ 一、单选题（共 8 题) 1.D 依据向量垂直的坐标表示求 ，再由向量的模的坐标表示即得。 (详解)由 可得 ， 所以 ， 故选: D. 2.A 通过复数运算，我们可以求得 的值，于是进一步计算 。 (详细解析)根据题目给出的条件，首先我们有 。 我们可以将 表达为： 接下来，我们计算 的值： 因此，最终的选择为：A 3.C 通过运用赋值法，我们可以得出等式 。 接着，我们求出 和 的值，于是得出最终答案。 (详细解析)我们首先考虑公式： 因此我们得到： 当我们将 取值为 1 时，得出： 而当 时，我们得到： 通过比较等式左右两边 的系数，我们可以得出 。 因此，我们可以继续推导出： 由此，我们选择答案为：C。 4.C 我们首先求出两个集合，然后依据集合的交集与补集运算进行分析。 (详解)根据题意，我们可以得出： 和 。 由此可得 。 因此，交集 。 综而言之，答案为： C。 5.C 【答案分析】函数 恰有一个极值点，只需 有一个变号实数根，反解参数，研究其单调性，得出 的取值范围。 【重难详解】∵ ,　 ∴ ,　 因为函数 恰有一个极值点,　 所以 有一个变号实数根,　 即 有一个变号的根,　 即 与 一个交点, 且在该交点前后两函数的大小关系发生变化,　 令 ,　 则 ,　 令 , 函数单调递增, 解得: ,　 令 , 函数单调递减, 解得: ,　 则 ,　 有一根, 即 ,　 当 , 时都有 ,　 当 时, ,　 所以 。 综上所述, 的取值范围是 。 故选: C 6.C 【答案分析】由条件求得 ，再通过 即可求解。 【重难详解】由题得 ，所以 ，　 所以 ，　 所以 。 故选：C。 7.A 设 ,依据已知可求出焦点 F 的坐标 ,再由 可得 ,运用 轴上的截距式设直线 AB 的方程为 ,将其与抛物线 联立消去 得 ,运用根与系数关系求出 ,进而可求出 ,再由 可得 ,将 代入即可得到答案. (详解)由已知得 ,因为 ,所以 ,所以 ,由题意知，弦 AB 所在直线的斜率不为 0, 可设直线 AB 的方程为 , , 由 得 , 所以 , 所以 因为 ,所以 ,又 , 所以 ,即 ,又 , 所以 ,解得 或 (不符合题意，舍去)， 所以 的所有可能取值的集合为 . 故选：A. (点睛)本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量的数量积及向量数乘的坐标运算，属于中档题. 8.D 试题分析：由已知条件知函数 为奇函数且在 R 上为减函数，由 有 ，所以 。 若以 为横坐标, 为纵坐标, 建立平面直角坐标系，如图所示，阴影部分为不等式 表示的平面区域，即 及其内部，。 令 ，则 ，求出 ，所以 ，解得 ，因此 的取值范围是 ，选D。 考点: 1.函数的基本性质; 2.线性规划. (方法点睛)本题主要考查了函数的性质: 单调性和奇偶性，以及线性规划的相关知识，属于中档题。 运用已知条件得出函数 是 R 上的减函数，由函数 的图象关于 (1, 0) 成中心对称，依据图象的平移，得出 的图象关于原点成中心对称，所以 为奇函数。 解不等式 ，得出 ，画出不等式组表示的平面区域， ，则 。 通过图形求关于 的一次函数的斜率，得出 的范围，于是求出 的范围。 二、多选题（共 3 题) 9.AC 求得 的值以判断选项A；求得 的值以判断选项B、C；求得 的值以判断选项D。 (详解)抛物线 的焦点 ， 由 可得 或 ， 则 ， 。 选项A判断正确； 。 选项B判断错误；选项C判断正确； 。 选项D判断错误。 故选：AC 10.ACD A选项，因为 分别为 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ，因此 ， 取 AC 的中点 S，连接 ， 因为 ，所以 ， 又 平面 VBS， 所以 平面 VBS， 因为 平面 VBS，所以 ， 因为 平面 VAC， 所以 平面 VAC， 因为 平面 VAC，所以 ， 又 ，因此 ， 又 ， 由勾股定理逆定理得 两两垂直，A 正确； B选项，由题意得 不重合，过点 P 作 ，交 VA 于点 W， 因为 平面 VAC，所以 平面 VAC， 且 不重合，因此 P 在平面 VAC 的投影不为 VA 的中点，B错误； C选项，三棱锥 为正三棱锥，因此点 M 为等边三角形 ABC 的中心， 因此 三点共线，C 正确； D选项，因为 两两垂直，因此三棱锥 的外接球即系以 为棱的正方体的外接球， 因此外接球直径为 ，而 ， 形如三棱锥 的容器能被整体装入一个直径为2.5的球，D正确。 故选：ACD 11.BCD A：因为 ，所以 ， 。 因为 ， 所以 ，因此A错误； B: 若 ，则 ，即 ， ，可得 ， 令 ，因为 ， 所以 ，使得 ，即 ，因此B正确； C: 因为 ， 且 在 上单调递减，所以 也单调递减， 可得 ， 因为 。 又 在 上单调递增，所以 也单调递增， 得 ，即 ， 因此，对于任意的 ，都有 ，因此C正确； D: 由B可知： ，使得 ， 结合C的结论，可知当 ，，即 ， 当 时， ，即 ， 因为 ，得 ，即 ， 当 时，有 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 因此可得 ，即 ， 当 ，有 ， 因为 ，所以 ，可得 ，即 ， 因此，对于任意的 ，都有 ，因此D正确。 因此选：BCD。 三、填空题（共 3 题) 12.$$\frac{19}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} - 3$$ , 因此余弦距离等于 , 即 之间的曼哈顿距离 和余弦距离的和为 ； 因此 则 因此答案为: 13.$$2\sqrt{2}$$ ，运用函数 的单调性可得 。 又注意到 ，后由基本不等式可得答案。 (详解) ，构造函数 ，则 ，即 在 上单调递增， 则 。 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号。 故答案为: 。 14. . 设 ，结合题意可知函数 在区间 内恰有3个零点，分析 时不符合题意， 时，结合二次函数 的正负及 的正负即可求解。 (详解)由题意，函数 与函数 在区间 内恰有3个零点， 设 ， 即函数 在区间 内恰有3个零点， 当 时，函数 在区间 内最多有2个零点，不符合题意； 当 时，函数 的对称轴为 ， 所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， 当 ，即 时，函数 在区间 上无零点， 所以函数 在 上有三个零点，不符合题意； 当 ，即 时，函数 在区间 上只有一个零点， 则当 时， ， 令 ，解得 或 ，符合题意； 当 ，即 时，函数 在区间 上有1个零点， 则函数 在 上有2个零点， 则 ，即 ，所以 时，函数 在区间 上有2个零点， 则函数 在 上只有1个零点， 则 或 或 ，即无解。 综而言之， 的取值范围是 。 故答案为：。 (点睛)本题主要考查了函数的零点、函数与方程等知识点，属于较难题判断函数 零点个数的常用方法： (1) 直接法：令 ，则方程实根的个数就是函数零点的个数； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要运用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要运用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题。 四、解答题（共 5 题) 15.(1).证明见解析 (2).证明见解析 (1).【答案分析】利用直线和平面平行的判定定理即可证明； 【重难详解】证明：连接 BD、MO，在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC、BD 的中点，　 为 PD 中点， ，　 又 平面 ACM， 平面 ACM，　 平面 ACM； (2).【答案分析】利用平面和平面垂直的判定定理即可证明； 【重难详解】证明： ，且 ，　 ，即 ，　 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，　 ，AC、 平面 PAC， 平面 PAC，　 又 平面 PAD， 平面 平面 PAC。 16.(1).列联表见解析 (2).有 (1) 根据已知的数据以及分层抽样的定义，我们可以构建列联表。 (2) 计算 ，并将其与临界值进行比较，于是得出结论。 (1) 从题目中可知，不常使用AI工具的学生总共有200 - 120 = 80人。 设不常使用AI工具的小学生人数为 ，我们可以通过分层随机抽样的方法按比例抽取4人，其中小学生中有3人被选中，因此可以列出方程 ，解得 。 由此可得列联表如下。 依据(1)中的列联表，我们可以计算得到 。 因此，我们可以以99.9%的置信度得出结论，学生使用AI工具的情况与学段之间存在相关性。 17.(Ⅰ). (Ⅱ).30°. (Ⅰ).【答案分析】利用正弦定理转化得：。 【重难详解】由正弦定理得 ，，因为 AD 平分 ，，所以 。 (Ⅱ).【答案分析】由诱导公式可得 。 由(I)知 ，所以 ，。 【重难详解】因为 ，，　 所以 。 由(I)知 ，　 所以 ，。 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用，意在考查考生的三角变换能力及运算能力。 18.(Ⅰ). ； (Ⅱ).证明见解析. (I) 将原不等式的零点分段后求解不等式的解集即可； (II) 将所证不等式转化为 ，运用作差法证明即可。 (详解)(I) 由已知，令 ， 当 时， ，成立； 当 时， 显然不成立； 当 时， ，成立； 故集合 。 (II) 原不等式 ， ， ，即原不等式成立。 (点睛)本题考查了绝对值不等式的解法、分析法证明不等式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题。 19.(1).答案见解析 (2).证明见解析 (1) 我们构造函数 ，并根据其导数的符号来判断其大小。 (2) 根据第(1)问的提示，将函数 转换为 的形式，并进一步进行化简及讨论。 (1) 设定 （其中 ），则其导数为 ，这表明函数 在区间 上是单调递增的。 又由于 ，因此当 时，；而在 的情况下，；最后当 时，。 (2) 考虑函数 。 我们定义 。 因此， 的两个零点对应于方程 的两个解。 接着有 ，进一步变形为 。 同时，考虑到 ，因此 和 ，可以得出以下不等式： 由此得出不等式： 对上述不等式整理得： 对于 的情况： 同样可整理得： 综合以上结果，我们得到了以下两组不等式： 即可以转换为： 因此我们得出： 考虑 ，于是可以得出结论： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学周练卷1 2025年9月12日 本试卷满分120分，考试用时120分钟 学校：_________ 姓名：_________ 班级：_________ 考号：_________ 一、单选题（共 8 题) 1.若向量，，且，则（　　　 ） A. B.4 C. D. 2.设复数z满足（i是虚数单位），则（　　　 ） A. B. C. D. 3.设，则（　　　 ） A. B. C. D. 4.设集合，，则（　　　 ） A. B. C. D. 5.已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（　） A. B. C. D. 6.已知平面向量满足，则（　） A. B. C. D. 7.抛物线焦点为，点满足（为坐标原点），若过点作互相垂直的两弦、，则当弦过点时，的所有可能取值的集合为（　　　 ） A. B. C. D. 8.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（共 3 题) 9.已知抛物线的方程为，为焦点，为坐标原点，S表示面积，直线：与抛物线交于A，两点，且A在第一象限，则下列说法正确的是（　　　 ） A. B. C. D. 10.已知三棱锥是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（　　　 ） A.两两垂直 B.在平面的投影为的中点 C.三点共线 D.形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为2.5的球 11.已知函数，.下列选项正确的是（　　　 ） A. B.，使得 C.对任意，都有 D.对任意，都有 三、填空题（共 3 题) 12.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为：；余弦相似度为：；余弦距离为．若，则A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为　　　　　 ；已知，若，则的值为　　　　　 ． 13.已知正实数m，n，满足，则的最小值为　　　　　　. 14.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是　　　　． 四、解答题（共 5 题) 15.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 16.(2025甘肃省模拟)某地为了探索中小学人工智能教育实施的有效途径，了解中小学生使用AI工具的情况，随机地对100名中学生和100名小学生进行调查，其中有120人经常使用AI工具辅助学习，若在不经常使用AI工具辅助学习的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取4人，则小学生有3人被选中. (1)根据题中信息，完成下面列联表： 使用AI工具的情况 学段 总计 中学生 小学生 经常使用 不经常使用 总计 (2)根据（1）中的列联表，判断是否有的把握认为学生使用AI工具的情况与学段有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17.△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. (Ⅰ)求 ； (Ⅱ)若,求. 18.(2020黑龙江省哈尔滨市龙江县模拟)设不等式的解集为． (Ⅰ)求集合； (Ⅱ)若、、，求证：． 19.已知函数（） (1)当时，比较与的大小； (2)若存在两个不同的零点，，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $