甘肃省兰州市第五十九中学2026届高三上学期数学周考练（三）

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B B D D C ABC ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【难度】0.4 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可知曲线与圆有8个交点，结合对称性可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，联立方程结合二次函数的零点分别运算求解. 【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点， 对于曲线， 用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称； 用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称； 圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称， 可知曲线与圆在第一象限内有2个交点， 若，曲线即为， 联立方程，消去y可得， 构建，则的图象开口向上，对称轴为， 可知在内有两个零点，注意到， 则，解得， 可得，， 原题意等价于在内有两个零点， 且， 可知符合题意，所以a的取值范围是. 故选：A. 2．C 【难度】0.15 【知识点】二次与二次（或一次）的商值 3．D 【难度】0.4 4．B 【难度】0.15 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④. 【详解】由函数， 令，则 函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合， 由，得，则， 即，，故③正确； 对于①，，， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误； 对于②，周期，由，则，， 又，所以的最小正周期可能是，故②正确； 对于④，，，又， 又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误． 故正确结论的序号是：②③ 故选：B 【点睛】方法点睛：函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间. 5．B 【难度】0.15 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】对于①，，①错误；对于②，作差法判断数列单调性可得，又，故，②正确；对于③，由②知， ，③错误；对于④，先得到，又，则，，…，，相加可得，故，所以当，时，．④正确. 【详解】对于①，由于， 因为，所以，①错误 对于②，， 由①知，所以， 又，故，②正确； 对于③，由②知，， 故，当时，，③错误； 对于④，因为，所以， 因为，，所以， 依次可得，……，，则， 所以， 又，故，即， 则，…，， 相加可得， 因为，所以， 故， 因为，当时，， 所以，，当，时，．④正确. 正确结论的个数为2. 故选：B 6．D 【难度】0.15 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数零点的个数求参数范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由得在上是减函数，当时，由单调递减得的范围，当时，，利用导数得在时恒成立，即， 又得，进而得的范围，又由只有一个根，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由可知，在上是减函数， 当时，是一次函数， 因为在上单调递减， 所以，即， 当时，，所以， 因为在时单调递减，所以在时恒成立， 即，变形为， 由于时，所以，即， 还要保证在分段点处，左侧的函数值不小于右侧的函数值， 即，化简得，即， 所以， 分析方程的根的个数， 当时，方程为，化简得，若，则方程对任意都成立，有无穷多个根，不合题意，故，此时方程在上无解，因此，方程的唯一根必在上取得，此时，， 当时，， 令， 要求只有一个根，， 令，，（舍）， ∵，∴，若，则， 此时，在上单调递减，由， 所以在上仅有一个零点，此时只有一个根， 若，则，此时，时，，在单调递增， 时，，在上单调递减，又，，而时，， ∴，使，∴在上存在两个零点，不符合题意， 综上所述. 故选：D. 7．D 【难度】0.15 【知识点】轨迹问题——圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 8．C 【难度】0.15 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、坐标法 【分析】先证平面平面，得棱锥的高就是三角形的边上的高.再求底面，再由条件得，因此点在一个圆上，用解析法求的最大值可得体积最大值. 【详解】因为，，所以.又，且，平面，平面， 所以平面，而，所以平面.平面，所以平面平面. 过P点作的垂线，设垂线的长为，则也是四棱锥的高. 由上可知四边形为直角梯形，所以. 所以要使四棱锥体积的最大值，就必须棱锥的高最大，也就是三角形的边上的高最大. 下面用解析法求解的最大值： 因为，，所以，又， 所以相似于，根据相似三角形的性质有，，即， 如图：在平面内建立直角坐标系，设，，由， 得，化简整理得， 即，P点在以为圆心，以4为半径的上半圆上. 所以P点到的距离，由圆的性质可得， 所以，.    故选：C. 9．ABC 【难度】0.4 【知识点】卡方的计算、正态曲线的性质、计算样本的中心点、总体百分位数的估计 【分析】先求出值，再写出的展开式中通项，求出的系数，即可判断A；根据回归直线方程必过样本的中心点，求出，再求出去除异常点后的及，即可判断B；由随机变量，分析出其图象关于对称，找到关于的对称区间，根据正态曲线的对称性得到，即可判断C；根据的计算公式计算即可判断D. 【详解】对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为， 因为上四分位数就是第75百分位数，所以，所以， 因为的二项展开式的通项为 令，解得，所以的展开式中的系数为， 故A正确； 对于B，因为回归直线方程为过样本的中心点， 所以, 所以去除一个异常点后，， 所以新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以其图象关于对称， 所以关于对称轴的对称点为，即， 关于对称轴的对称点为，即， 根据正态曲线的对称性可知 因为，所以， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 ， 所以变为原来的3倍，故D错误. 故选：ABC 10．ABD 【难度】0.15 【知识点】利用组合数公式证明、组合数的性质及应用、实际问题中的组合计数问题、证明组合恒等式 【分析】A选项，，左边的系数等于右边的系数，得到A正确；B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法，用两种方法解答，得到B正确；C选项，，左边的系数等于右边的系数，故，C错误；D选项，在C基础和题干条件下，得到方程组，联立得到答案. 【详解】A选项，， 左边的系数为， 右边， 故的系数为， 故，A正确； B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法？ 方法一：先从在个人中选人，再从选出的人中选出人擦窗户，共有种不同的方法； 方法二：先从在个人中选人擦窗户，再从剩余的人中选人拖地， 故共有种方法； 故，B正确； C选项，， ， 左边的系数为， 右边的系数为，故，C错误； D选项，由题干可得， 故， 即①， 由C可知，，则②， 故①-②得， 所以，D正确. 故选：ABD 11．ACD 【难度】0.15 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理求外接圆半径、数量积的运算律、求三角形面积的最值或范围 【分析】对于A：由题意知，由及余弦定理分析判断；对于B：在中由余弦定理及基本不等式得的面积最大值；对于C：可知点在外接圆的优弧上运动，当经过圆心时最长，根据余弦定理可求得最长值；对于D：取的中点，设，可知，根据角度关系结合三角恒等变换求的值，进而求和. 【详解】在中，设角所对的边分别为， 对于选项A：因为， 则， 可得， 且 ，可得，即， 由余弦定理， 消去可得， 所以，故A正确； 对于选项B：在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 所以，故B错误； 对于选项C：在中，设外接圆半径为，圆心为，    则点在外接圆的优弧上运动（不包括端点）， 则，即， 且，，则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以当经过圆心时最长，最长为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接，    因为，， 可知，且点为的中点， 设， 在中，则， 在中，可得， 因为， 则， 即，解得， 可得 ， 且为锐角，所以，故D正确； 故选：ACD 12． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，（为正整数，等号取不到），此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 所以满足条件的正整数的所有取值和为 故答案为： 13．1 【难度】0.15 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可. 【详解】 在中，连接，因是的内心，则分别平分和， 由角平分线分线段成比例定理得：，则， 因为，所以， 又因为椭圆的离心率，所以. 故答案为：1. 14． 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 将左边括号展开移项后两边同除可得， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 15．(1)， (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】分组（并项）法求和、独立事件的实际应用、递推法求概率、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据已知条件，结合一个细胞分别分裂出、、个细胞的概率，根据第二、三次分裂出现个细胞的所有情况，由独立事件概率的乘法公式，求出事件概率； （2）分析出第次分裂后只有、个细胞的情况，根据独立事件概率的乘法公式，求出结果； （3）根据分裂出细胞数和此情况的概率，求出一次分裂后细胞数的期望，根据离散型随机变量的期望的性质，和等比数列求和公式，证明不等式即可. 【详解】（1）由题意可得， 若第二次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个； 第二种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个. 所以； 若第三次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第二次个细胞分裂成个细胞； 第二种情况：第二次个细胞每个细胞各分裂为个. 所以. （2）第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中，有次由个细胞分裂成个细胞，有次由个细胞分裂成个细胞； 设第次由个细胞分裂成个细胞，后面的次都是由个细胞分裂成个细胞；则 ； 则. （3）记分裂次后细胞个数为，令， 设表示第次分裂后生成的第个新细胞，经过第次分裂后增加的细胞个数， 即分裂产生个细胞时，分裂产生个细胞时， 分裂产生个细胞时，可得； 可知， 得； 可知，； 得， 求得， 得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，即， 易知， 当时，， 即， 所以， 累加可得 ， 即. 16．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、正弦定理求外接圆半径、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）结合图象确定函数的最小正周期，根据周期公式求，由图象过点，列方程求， 由关系列方程，结合，求，由此可得结论， （2）由条件利用余弦定理求，再求，再由正弦定理求的外接圆半径，再求四面体外接球的半径，根据球的表面积公式求结论， （3）设，由向量夹角余弦公式和基本不等式可得，由此可求的范围，由此可求的范围，结合（2）可得结论， 【详解】（1）由题得，，所以， 由图象过点，，得，① ，② 由①②可得， 所以（舍去）或，， 因为，，，所以，又， 所以， 所以，所以， 代入①，解得， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 因为，，， 所以，即，又， 解得，， 所以. （2）由（1），又，， 所以，，，故，， 在中，由余弦定理可得，， 设外接圆半径为，则，所以， 由（1），故，，， 所以，又平面平面，是截面圆的直径， 所以平面所在截面圆半径就是外接球半径， 所以四面体外接球的半径为， 所求外接球表面积. （3）由题得，，设， ③ ， 因为，所以， 即，所以， 又（为外接圆半径）， 当且仅当时等号成立，此时，不满足， 所以等号取不到，所以，由（2）知. 17．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】已知切线求参数、求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用相关点法求解动点轨迹方程即得； （2）解法一：根据与的面积相等结合图形推出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，即可求出点坐标；解法二：设，列出直线的方程，令求得，分别表示出和的面积，利用面积相等推得，将其代入椭圆方程即可求得点坐标. （3）设，，，当或斜率不存在时，易推出，当或斜率存在时，设，，利用直线与圆相切可推得，将直线与椭圆方程联立，求得，同法，即得，由条件求出和，可得，设线段的中点为，由，即得线段的中点在定圆上. 【详解】（1）依题意，设，则， 因为在上，则有，即， 所以曲线的方程为. （2）    解法一： 设，则，， 因为与的面积相等，则与的面积相等，则有， 又，，所以，故直线的方程为. 由解得，即，， 则点的坐标为. 解法二：设，则，，则直线的方程为， 令，得，即， 则的面积为， 的面积为， 所以， 即，即，即， 由，解得，所以，， 则点的坐标为. （3）    如图，设，，， 则当或斜率不存在时，的半径. 又因为，所以， 从而与轴相切，故，必分别为的长轴和短轴的一个端点，所以. 当且斜率存在时，设，， 则，即. 同理，. 所以. 由得. 同理，.又，所以. 设关于直线的对称点为，则所以，， 所以，又易知，所以. 设线段的中点为，则因为，所以， 所以线段的中点在定圆上. 18．(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】由递推关系证明等比数列、元素（位置）有限制的排列问题、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】（1）确定的位置，再利用组合公式即可，可以排在上，再讨论的位置即可得到； （2）首先分析得的所有可能取值为0，2，3，4，再写出其分布列，然后再计算，，再计算得，最后计算其期望值即可； （3）首先分析得，记，构造得是以1为首项，为公比的等比数列，求出通项，变形得，最后累加即可证明. 【详解】（1）可以排在上，有种排法， 当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法． 所以． 可以排在上，有种排法． 不妨设排在上，接下来讨论． 当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）． 当不排在上时，可以排在上，有种情况． 若排在上，剩下两个元素只有1种排法． 所以． （2）易知当时，的所有可能取值为0，2，3，4． ， ， 所以的分布列为： 0 2 3 4 所以， 于是， 则 ， 由的分布列可得随机变量的分布列为： 0 于是，得证． （3）根据定义，， 先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上， 所以，所以． 不妨记，则，且， 得， 则，又， 故是以1为首项，为公比的等比数列， 所以， 变形得， 则当时，， 将上式累加得， 经检验也符合上式，所以， 所以，得证． 19．(1)，等号当且仅当所有​相等时成立. (2)最大的整数a是 2184. (3)证明见详解 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、均值不等式、反向归纳法 【分析】（1）由算数-几何平均不等式得到结论； （2）化简后，利用对数函数的性质求解； （3）利用累加法求得，得到，进一步构造函数，利用导数得到不等式放缩，最后分，结合列项求和方法证明. 【详解】（1）结论：， 由著名的算术-几何平均不等式（AM-GM Inequality），可知上面结论. 等号当且仅当所有​相等时成立. 证明方法： 当时显然成立，当时基本不等式知道命题成立. 正向归纳（蛙跳方法）： 假设对于 时不等式成立，即： 对于 个数，可以分成两组，每组 个数： 根据归纳假设： 因此： 反向归纳：假设对于 时不等式成立，证明对于 时也成立. 设 ，则： 左边： 右边： 两边取 次方： 整理得： 即： 通过正向和反向归纳，A-G不等式对所有正整数 成立. （2）. . 定义域：（题目给定），即. 值域：. 值域 中的整数是：2，3，4，…，我们需要值域中包含最多 5 个整数，即：2，3，4，5，6， 则，解得, 因此，最大的整数a是 2184. （3）若当时，始终满足， 取 ， ，...， ， 累加得， 又因为，所以，所以， 所以， 定义函数 ，求导得： ， 对于，显然 ，即 在 时单调递减。 又因为 ，所以对于 ，有： ，即：，所以. 对于 ，由，所以. 所以对于都成立. 所以现给定一正整数： 当时，， 当时， . ， 为证原不等式，只需证明，即， 因为，所以，所以成立， 综上所述，给定一正整数，成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学周考练（三） 2025年11月15日 注意事项: 1. 本试卷满分150分,考试用时120分钟。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。) 1. 集合A＝｛(x,y)|x2＋y2＝a｝,B＝｛(x,y)||x|＋|y|＝a2｝,若A∩B中有8个元素,则a的取值范围是 A．(1,) B．(1,) C．(,) D．(,2) 2. 若正实数x,y,z满足2x2＋y2＋z2＝4,则的最小值为 A．2 B． C． D．3 3. 已知sin()＝且,则＝ A． B． C． D． 4. 已知函数f(x)＝sin()()在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,给出下列四个结论:①f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点;②f(x)的最小正周期可能是;③的取值范围是[);④f(x)在区间()上单调递增．其中所有正确结论的序号是 A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 5. 已知数列｛｝满足(n∈N*),且0＜＜1．给出下列四个结论:①;② ;③,当n＞m时,＞;④,当n≥m时,．其中所有正确结论的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 6. 已知f(x)＝在(－∞,＋∞)上满足,且方程只有一个根,则实数a的取值范围为 A．[) B．[) C．() D．[) 7. 蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆(a＞b＞1)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为“蒙日圆”,且其方程为．已知椭圆E:的焦点在x轴上,A,B为椭圆E上任意两点,动点P在直线上．若∠APB恒为锐角,则椭圆E离心率的取值范围为 A．() B．() C．() D．() 8. 如图,已知平面α∩β＝l,A,B∈l,P∈α,C,D∈β,AD＝2,AB＝6,且DA⊥AP,CB⊥BP,AD∥BC．若∠APD＝∠BPC,则四棱锥体积的最大值是 A. B. 8 C. 24 D. 72 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。) 9. 已知,其中n＝a＋b＋c＋d．下列说法正确的是 A. 已知一组数据:－1,1,2,4,3,5,10,9,若n为这组数据的第75百分位数,则(2x－1)的展开式中x的系数为－560 B. 数据()(i＝1,2,3,…,10)组成一个样本,其回归直线方程为,其中,去除一个异常点(1,7)后,得到新的回归直线必过点(9,5) C. 若随机变量,则函数f(x)＝P(x≤≤x＋2)为偶函数 D. 在2×2列联表中,若每一个数据均变为原来的3倍,则变为原来的9倍 10. 对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同构造等式,这称为“算两次”的思想．利用这种方法,结合二项式定理,可以得到很多有趣的组合恒等式．例如:考察恒等式(1＋x)＝(1＋x)(1＋x),左边x的系数为,而右边(1＋x)(1＋x)＝()(),x的系数为＝()＋()＋…＋(),因此可得到组合恒等式＝()＋()＋…＋()．利用算两次的思想方法或其他方法,可以得出下面有关组合数的等式,其中正确的是 A. B. C. D. 11. 在△ABC中,D,E为边AB上的两点,且AE＝ED＝DB＝2,则 A. 若CD＝2,则 B. 若∠ACD＝,则△ABC的面积最大值为 C. 若∠ACD＝,则BC长的最大值为 D. 若∠ACD＝∠BCE＝,则 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。) 12. 已知数列｛｝,｛｝的通项公式分别为,(n∈N*),数列｛｝满足． 若对任意的∈[0,1],,,的值均能构成三角形,则满足条件的正整数n的所有取值和为_______． 13. 已知:M是椭圆(a＞b＞0)上一点,,分别是椭圆的左焦点和右焦点,点I是的内心,延长MI交线段于点N,若椭圆的离心率为e,则e·的值为_______． 14. 已知锐角α,β,γ满足,若不等式≤＋恒成立,则实数k的最大值为_______． 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15. (本题满分13分) 有一个不断分裂的细胞,每秒钟分裂1次,每次分裂生成1个细胞的概率为,生成2个细胞的概率为,生成3个细胞的概率为,原来的细胞分裂后消失,分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立．假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑,不分开考虑每个细胞．记1个细胞分裂n(n∈N*)次后共有m(m∈N*)个细胞的概率为． (1) 求、; (2) 求． 16. (本题满分15分) 函数f(x)＝Msin()＋N()的图象如图所示,图象最高点、最低点处分别记为A,B,在x轴上的射影分别为,．已知图象过点O(0,0),C(4,0),D(6,0),沿x轴将坐标平面折叠,使平面AOD⊥平面OBD,此时AB＝． (1) 求f(x)的解析式; (2) 求四面体ABCD外接球的表面积; (3) 若P(x,y)为已知图象上一点,且x∈[1,3],设四面体PCBD外接球的半径为R,求证:R＞2． 17. (本题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中,从圆O:上任取一点A向x轴作垂线段AB,B为垂足．当点A在圆O上运动时,线段AB的中点P的轨迹为曲线C．(当A为x轴上的点时,规定A与P重合) (1) 求C的方程; (2) 若P在第四象限,点,,直线交x轴于点D,若与的面积相等,求点P的坐标; (3) 已知Q,R两点在曲线C上,O,Q,R三点不共线,且直线OQ,OR均与以P为圆心、为半径的圆相切．若Q在轴上的射影为M,R关于直线的对称点在轴上的射影为N,求证:线段MN的中点在定圆上． 18. (本题满分17分) 伯努利－欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题．现有,,,…,共n个元素及,,,…,共n个位置,的对应位置为(k∈N*,k≤n),定义错排数F(n,m)(n∈N*,m∈N*)为将,,,…,共n个元素排列在,,,…,共n个位置上,其中有m个元素不在其对应位置上的情况数,例如F(1,1)＝0,F(2,2)＝1．另外,规定F(0,0)＝1． (1) 计算:F(3,3),F(4,4); (2) 在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量X,Y之间的总体偏差,定义协方差为·．当n＝4时,记错排的元素个数为X,正确排列的元素个数为Y,求证:＜0; (3) 定义错排概率P(n,m)为随机将,,,…,共n个元素排列在,,,…,共n个位置上,其中恰有m个元素不在其对应位置上的概率,证明:P(n,m)＝·． 19. (本题满分17分) 定义:＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n)． (1) 试比较与的大小,其中都是正实数; (2) 若定义函数g(n)＝,f(m)＝,若m∈(1,a),试求出满足f(m)在定义域内的值域中的整数值最多有5个的条件的最大整数a; (3) 已知数列｛｝与｛｝,且．若当n＞1时,｛｝始终满足,现给定一正整数m＞1,求证:． 数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $