2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试卷（适用于江苏省常州市）

2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试卷（适用于江苏省常州市） 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．经过A（﹣1，2），B（0，3）两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+1），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为（　　） A． B． C．2 D．4 3．经过点（1，2），且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+1＝0或2x﹣y＝0 4．若双曲线的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a8+a11＝24，且S7＝14，则a13＝（　　） A．24 B．20 C．16 D．12 6．已知直线l1：mx+y﹣m﹣3＝0与l2：x﹣my+m﹣3＝0相交于点M，直线AB的方程为x+y+2＝0，则点M到直线AB距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的实数x都有，且x＞0时，f′（x）＞f（x）．若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1．若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分） （多选）9．以下四个命题中，正确的是（　　） A．设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝4，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则2＜t＜5 C．方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．椭圆与双曲线有相同的焦点 （多选）10．已知函数f（x）＝x（x﹣2）（x﹣1）2，则（　　） A．曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称 B．f（x）的极大值为0 C．存在x∈（﹣1，0），f（x）≥f（x﹣1） D．f（x）有最小值，无最大值 （多选）11．已知抛物线 的焦点为F,过F 的直线l与抛物线交于A,B两点,点T(2,0),直线AT,BT与抛物线的另一个交点分别为C，D，则下列说法正确的有 ( ) A.直线CD过定点(3,0) 与 的面积之比为1：4 C.若直线AB，CD斜率都存在，且分别为 k1 k2则 与 的面积之和的最小值为 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆D：（x﹣2）2+y2＝b2相切，切点分别为M，N，且|MN|＝2，则双曲线C的离心率是 　 　 ． 13．已知数列{an}满足，，Sn为数列{bn}的前n项和．若对任意实数λ，都有Sn＜λ成立．则实数λ的取值范围为 　 　 ． 14．已知函数f（x）＝﹣ex﹣2lnx，g（x）＝a2x2+x﹣2lna（a＞1），若f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 　 　 ． 四．解答题（共5小题，共77分） 15．（1）若直线l沿x轴向右平移5个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率； （2）一束光线从点P（﹣2，4）射出，与y轴相交于点Q（0，﹣1），经y轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程． 16．已知圆C经过点A（1，3）和B（2，4），且圆心C在直线2x﹣y﹣1＝0上， （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）过点M（3，﹣1）作圆C的切线l，求直线l的方程． 17．在①a1＝1，②2Sn＝（n+1）an，③这三个条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，_____，_____，设等比数列{bn}满足b2＝a3，b5＝a81． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前n项和为Tn． 18．已知函数f（x）＝eax+（a﹣1）x，a∈R． （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）若关于x的方程f（x）＝lnx（x＞0）有两根x1，x2（其中x1＜x2）， ①求a的取值范围； ②当x2＜ex1时，求x1的取值范围． 19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； （3）已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且∠APM＝∠OPN．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．经过A（﹣1，2），B（0，3）两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：若倾斜角为θ∈[0，π） 因为A（﹣1，2），B（0，3） 所以，即． 故选：B． 2．已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+1），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为（　　） A． B． C．2 D．4 【解答】解：因为y（t）＝ln（2t+1），所以， 所以该质点在t＝2s时的瞬时速度为． 故选：B． 3．经过点（1，2），且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+1＝0或2x﹣y＝0 【解答】解：当直线在x轴和y轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点（1，2）代入解得a＝3， 此时直线方程为x+y﹣3＝0， 当直线在x轴和y轴上截距都为0时，设直线方程为y＝kx， 将点（1，2）代入解得k＝2， 此时直线方程为2x﹣y＝0， 所以满足题意的直线方程为x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0， 故选：B． 4．若双曲线的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵双曲线的离心率， ∴， ∴， ∴双曲线的渐近线方程为． 故选：A． 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a8+a11＝24，且S7＝14，则a13＝（　　） A．24 B．20 C．16 D．12 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由题意得， 即， 解得a1＝﹣4，d＝2， 所以a13＝a1+12d＝20． 故选：B． 6．已知直线l1：mx+y﹣m﹣3＝0与l2：x﹣my+m﹣3＝0相交于点M，直线AB的方程为x+y+2＝0，则点M到直线AB距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：直线l1：mx+y﹣m﹣3＝0变形为l1：m（x﹣1）+y﹣3＝0，过定点P（1，3）； 直线l2：x﹣my+m﹣3＝0变形为l2：x﹣3﹣m（y﹣1）＝0，过定点Q（3，1）； 因为m•1+1•（﹣m）＝0，所以l1⊥l2， 又直线l1：mx+y﹣m﹣3＝0与l2：x﹣my+m﹣3＝0相交于点M， 所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆， 又PQ的中点坐标为（2，2），则半径为， 所以圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2． 由于圆心（2，2）到直线AB：x+y+2＝0的距离为， 所以点M到直线AB距离的最小值为． 故选：C． 7．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的实数x都有，且x＞0时，f′（x）＞f（x）．若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【解答】解：令， 对于任意的实数x都有，即g（﹣x）＝g（x）⇒g（x）为偶函数； a＝g（1），b＝g（ln2），c＝g（﹣ln3）＝g（ln3）； 当x＞0时，， 当x＞0时，g（x）为增函数； 又ln2＜1＜ln3， ∴g（ln3）＞g（1）＞g（ln2），即c＞a＞b． 故选：C． 8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1．若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，由已知可得，|PF1|＝|F1F2|＝2c，F1H⊥PF2， 由椭圆定义，得2a﹣|PF1|＝|PF2|＝2a﹣2c， 在△PF1F2中，由余弦定理得： cos∠PF1F2＝， 所以＝， 又a2＝b2+c2， 整理得2c2+3ac﹣2a2＝0，又椭圆的离心率， 所以2e2+3e﹣2＝0， 解得或e＝﹣2（舍去）， 所以C的离心率． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．以下四个命题中，正确的是（　　） A．设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝4，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则2＜t＜5 C．方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．椭圆与双曲线有相同的焦点 【解答】解：对A选项，因为A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝4＝|AB|， 所以动点P的轨迹为一条射线，所以A选项错误； 对B选项，若曲线表示椭圆， 则，则2＜t＜5且t≠，所以B选项错误； 对C选项，因为方程3x2﹣10x+3＝0的两根分别为，3， 所以方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以C选项正确； 对D选项，因为椭圆与双曲线的焦点均在x轴上， 且c2＝25﹣8＝12+5， 所以椭圆与双曲线有相同的焦点，所以D选项正确． 故选：CD． （多选）10．已知函数f（x）＝x（x﹣2）（x﹣1）2，则（　　） A．曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称 B．f（x）的极大值为0 C．存在x∈（﹣1，0），f（x）≥f（x﹣1） D．f（x）有最小值，无最大值 【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为R， f（2﹣x）＝（2﹣x）[（2﹣x）﹣2]•（2﹣x﹣1）2＝x（x﹣2）（x﹣1）2＝f（x）， 所以曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称，故A正确； 对于B，因为f（x）＝（x2﹣2x）（x﹣1）2＝[（x﹣1）2﹣1]（x﹣1）2＝（x﹣1）4﹣（x﹣1）2， 则f′（x）＝4（x﹣1）3﹣2（x﹣1）＝2（x﹣1）（2x2﹣4x+1）， 由f′（x）＜0可得或， 由f′（x）＞0可得或， 所以函数f（x）的减区间为、，增区间为、， 所以函数f（x）的极大值为f（1）＝0，故B正确； 对于C，当x∈（﹣1，0）时，x﹣1＜x＜0， 因为f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）＜f（x﹣1），故C错误； 对于D，令t＝（x﹣1）2≥0，则f（x）＝t2﹣t， 设g（t）＝t2﹣t，其中t≥0，则，当且仅当时，等号成立， 故函数g（t）在[0，+∞）上只有最小值，无最大值， 故函数f（x）有最小值，无最大值，故D正确． 故选：ABD． （多选）11．已知抛物线 的焦点为F,过F 的直线l与抛物线交于A,B两点,点T(2,0),直线AT,BT与抛物线的另一个交点分别为C，D，则下列说法正确的有 ( ) A.直线CD过定点(3,0) 与 的面积之比为1：4 C.若直线AB，CD斜率都存在，且分别为 k1 k2则 与 的面积之和的最小值为 【解答】当l与x垂直时, A(1,2),B(l,-2), 又∵T(2,0), AT 与抛物线方程联立 得C(4,-4), BT 与抛物线方程联立 得D(4,4), , 不过定点(3,0),所以A 错误. 如图： 设 CD交x轴于E, 设A 得 则 设BD: 得 则 AB: 得 则 直线 所以直线CD过定点(4，0) 所以B 正确. 所以C正确. 所以D 正确. 故选: BCD 三．填空题（共3小题） 12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆D：（x﹣2）2+y2＝b2相切，切点分别为M，N，且|MN|＝2，则双曲线C的离心率是 　　 ． 【解答】解：双曲线线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝b2的圆心为（2，0），半径为b， 由题意知，点（2，0）到直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝b，可得c＝2， 两条渐近线均与圆D：（x﹣2）2+y2＝b2相切，切点分别为M，N，且|MN|＝2， 可得2＝2，ab＝2，a2+b2＝4，解得a＝b＝， 故双曲线C的离心率为：e＝＝＝． 故答案为：． 13．已知数列{an}满足，，Sn为数列{bn}的前n项和．若对任意实数λ，都有Sn＜λ成立．则实数λ的取值范围为 　[2，+∞）　 ． 【解答】解：∵， ∴， 两式相减可得， 又n＝1时，2a1＝1，∴也满足上式， ∴， ∴， ∴， 又Sn＜λ恒成立，∴λ⩾2， ∴实数λ的取值范围为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 14．已知函数f（x）＝﹣ex﹣2lnx，g（x）＝a2x2+x﹣2lna（a＞1），若f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 　　 ． 【解答】解：f（x）＝﹣ex﹣2lnx关于x轴对称的函数为y＝ex+2lnx， 因为f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点， 所以方程ex+2lnx＝a2x2+x﹣2lna在[1，+∞）上恰有两个不相等的实根， 即a2x2+x﹣2lna﹣ex﹣2lnx＝0，即a2x2﹣ln（a2x2）+x﹣ex＝0， 即， 即在[1，+∞）上恰有两个不相等的实根， 令t（x）＝ex﹣x，x∈[1，+∞），则t′（x）＝ex﹣1＞0，x∈[1，+∞）， 所以函数t（x）＝ex﹣x在[1，+∞）上单调递增， 所以ln（a2x2）＝x，即a2x2＝ex，， 故原问题等价于y＝a2与在[1，+∞）上恰有两个不同的交点， 令，则， 当1≤x＜2时，h′（x）＜0，当x＞2时，h′（x）＞0， 所以函数h（x）在[1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 又，当x→+∞时，h（x）→+∞， 如图，作出函数h（x）在[1，+∞）上的大致图象， 要使函数y＝a2与在[1，+∞）上恰有两个不同的交点， 只要， 因为a＞1，所以， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．（1）若直线l沿x轴向右平移5个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率； （2）一束光线从点P（﹣2，4）射出，与y轴相交于点Q（0，﹣1），经y轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程． 【解答】解：（1）由题意，直线l存在斜率，可设直线方程为y＝kx+b， 直线沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后， 所得直线的方程为：y＝k（x﹣5）+b+2， 化简得y＝kx﹣5k+b+2， 因为平移后与原直线重合，则kx+b＝kx﹣5k+b+2， 解得，即直线的斜率为； （2）由P（﹣2，4），Q（0，﹣1）两点坐标，可得直线PQ的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为，即5x+2y+2＝0， 因为反射光线与入射光线所在直线关于y轴对称， 所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数， 所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为， 即5x﹣2y﹣2＝0． 16．已知圆C经过点A（1，3）和B（2，4），且圆心C在直线2x﹣y﹣1＝0上， （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）过点M（3，﹣1）作圆C的切线l，求直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b） 2＝r2， ∵圆C经过两点A（1，3），B（2，4），且圆心C在直线2x﹣y﹣1＝0上， ∴，解得， 故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1． （Ⅱ）当k存在时， 设过点M（3，﹣1）的直线方程为y+1＝k（x﹣3）， 即kx﹣y﹣3k﹣1＝0， 所以， 即|﹣k﹣4|＝， 即k2+8k+16＝k2+1， 即， 此时， 即15x+8y﹣37＝0； 当k不存在时， 此时过点M（3，﹣1）的直线与x轴垂直， 即x＝3， 此时直线与圆相切， 综上：所求直线方程为15x+8y﹣37＝0或x＝3． 17．在①a1＝1，②2Sn＝（n+1）an，③这三个条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，_____，_____，设等比数列{bn}满足b2＝a3，b5＝a81． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前n项和为Tn． 【解答】解：（1）选①②： 当n＝2时，由a1＝1，2Sn＝（n+1）an，可得2S2＝3a2＝2（a1+a2）＝2+2a2，解得a2＝2， 由2Sn＝（n+1）an， 当n≥2时，2Sn﹣1＝nan﹣1， 两式相减得2（Sn﹣Sn﹣1）＝2an＝（n+1）an﹣nan﹣1，解得（n﹣1）an＝nan﹣1， 则，所以an＝n（n≥2），n＝1，2均成立，所以an＝n； 选①③： 当n＝1时，由③得：，解得a2＝2， 因为， 当n≥2时，， 两式相减得，化简得， 对n＝1也成立； 当n≥2时，， 两式相减得， 化简得2an＝an﹣1+an+1，所以数列{an}为a1＝1，公差d＝a2﹣a1＝1的等差数列， 所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n； 选②③： 当n＝2时，由②得2S2＝3a2＝2（a1+a2），即a2＝2a1（i）， 当n＝1时，由③得（ii），联立（i）（ii）解得：a1＝1，a2＝2， 接下来的过程与选①②，或与选①③的过程完全相同，都得到an＝n； 设等比数列{bn}公比为q，则， 所以b1＝1，公比q＝3，所以； （2）由（1）得， ， ， 两式相减得， 所以． 18．已知函数f（x）＝eax+（a﹣1）x，a∈R． （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）若关于x的方程f（x）＝lnx（x＞0）有两根x1，x2（其中x1＜x2）， ①求a的取值范围； ②当x2＜ex1时，求x1的取值范围． 【解答】解：（1）当时，，所以， 由f′（x）＞0解得x＞0，由f′（x）＜0解得x＜0， 故f（x）的单调递增区间为（0，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）． （2）①由f（x）＝eax+（a﹣1）x＝lnx，即eax+ax＝lnx+x，即eax+ax＝elnx+lnx， 令g（x）＝ex+x，上式为g（ax）＝g（lnx），因为g′（x）＝ex+1＞0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（ax）＝g（lnx）等价于ax＝lnx， 即在（0，+∞）上有两根x1，x2， 令，则， 由h′（x）＞0解得0＜x＜e，由h′（x）＜0解得x＞e， 所以h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减， 所以h（x）有极大值，且当x＞1时，h（x）＞0， 其图象如图所示： 所以a的取值范围为． ②由①得在（0，+∞）上有两根x1，x2，所以， 在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减， 0＜x1＜e＜x2＜ex1，所以， 可得，所以，所以x1∈（，e）． 19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； （3）已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且∠APM＝∠OPN．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以a＝2c，， 又a2＝b2+c2， 解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆C的方程； （2）设直线l的方程为y＝x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得7x2+8mx+4m2﹣12＝0， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点， 所以， 即（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0， 整理得， 因为，， 所以， 即7m2+16m+4＝0， 解得m＝﹣2或， 因为Δ＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝16（21﹣3m2）＞0， 所以当m＝﹣2或时，满足条件， 则直线l的方程为y＝x﹣2或； （3）证明：当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不符合题意； 所以直线l斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， 与韦达定理得，， 因为∠APM＝∠OPN， 所以kPM+kPN＝0， 即， 整理得， 解得m＝﹣6k， 则直线l的方程为y＝kx﹣6k＝k（x﹣6）． 故直线l过定点（6，0）． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $