安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学周末作业2026.1.23

阜阳三中高二数学周末作业2026.1.23 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知直线是曲线的一条切线，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 4．把正整数以下列方法分组，，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有数的和，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 6．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 7．椭圆（）的左右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，求椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列命题正确的是（ ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，m，n为互不相等的正整数，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 13．设数列满足，且，则 . 14．某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 四、解答题：本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题分 在数列中，，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)求． 16．本小题分 已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 17．本小题分 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． (1)证明：； (2)若点在棱上，且平面，求线段的长； (3)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 18．本小题7分 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 19．本小题7分已知函数及定点. (1)设，，过A，B作曲线的切线，两切线交点为P，求的值（用，表示）； (2)数列满足，，以为曲线上点的横坐标，得到点列，，曲线在和处切线的交点记为. ①若，求的最小值； ②若，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学周末作业2026.1.23 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 2．已知直线是曲线的一条切线，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】首先设切点为，根据直线是曲线的一条切线得到，再将切点代入曲线方程即可得到答案. 【详解】解：设切点坐标为，. 因为直线是曲线的一条切线， 所以，解得. 将切点代入得到，. 故选：A. 3．已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】设，则，再根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 4．把正整数以下列方法分组，，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有数的和，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列的简单应用 【分析】由等差数列的性质和求和公式结合题意计算可得. 【详解】第组共有个数，构成一个等差数列，公差为，首项比第组的最后一个数大，所以先求前组一共有多少个数. 因为第组有个数，所以前组一共有个数， 于是第组的第一个数为，这组一共有个数， 所以. 故选：B. 5．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、由二面角大小求线段长度或距离、空间向量的加减运算 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 6．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 7．椭圆（）的左右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，求椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，可得，将代入椭圆可得，两点坐标，用参数表示，即得解 【详解】    由椭圆方程，可知： 过垂直于轴的直线交椭圆于，两点， 因此将代入椭圆，可得 ， （舍负） 故选：A 8．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 2、 多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列命题正确的是（ ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量基本定理及其应用、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】求出投影向量的坐标判断A；利用空间向量位置关系的向量证明判断B；根据空间共面向量定理的推论判断C；利用空间向量的基本定理求在基底下的坐标判断D. 【详解】A，在上的投影向量为，A正确； B，，则，或，B错误； C，点为平面上的一点，， 由空间共面向量定理的推论，得，解得，C正确； D，令在基底下的坐标为， 则， 而，又不共面，则，解得， 因此在基底下的坐标为，D正确. 故选：ACD 10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，m，n为互不相等的正整数，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断等差数列、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行计算即可. 【详解】因为等差数列的前n项和为，公差为d，所以. 所以，所以数列是首项为公差为的等差数列，A正确； 因为，所以. 两式相减得，即， 因为m，n为互不相等的正整数，所以，所以. 代入得，所以，B正确； 因为， 当时，. 所以，又， 所以，则，所以C错误； 因为，所以， 化简得，因为m，n为互不相等的正整数，所以， 所以，所以，D正确. 故选：ABD. 11．已知，函数有两个极值点，，则（   ） A．可能是负数 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．为定值 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的数乘运算 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13．设数列满足，且，则 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、正项等比数列的对数成等差数列的应用 【分析】由可知数列是正项数列，且是等比数列，由公比及等比数列的性质可得到结果. 【详解】因为数列满足， 所以数列是正项数列，且， 所以，所以数列是公比的等比数列. 又， 所以. 故答案为：4. 14．某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据题意求出两条渐近线的方程分别为和，从而焦点所在直线的方程为，求出实轴顶点坐标可得，再结合求解. 【详解】由题意，当趋于无穷大时，， 可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为， 依据题意重新建立直角坐标系， 以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴， 由解得或 记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 可得，又，所以， 故此时双曲线的标准方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题分 在数列中，，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）已知递推式，结合等差数列的定义，判断是等差数列，进而求出； （2）设，用利用等比数列求和公式求出. 【详解】（1）由，得． 所以是首项为1，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）记， 则， 所以， 所以． 16．本小题分 已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，最大值小于等于即可. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 17．本小题分 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． (1)证明：； (2)若点在棱上，且平面，求线段的长； (3)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）建立适当的空间直角坐标系，设出的长，表示出直线的方向向量及平面的法向量后计算即可得； （3）分别求出两平面的法向量，由平面夹角公式、二面角的定义即可列出方程，计算即可得. 【详解】（1）连接，因为为棱台，所以四点共面， 又因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）取中点，连接， 因为底面是菱形，且，所以是正三角形， 所以，即， 由于平面，以为原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则， 设，则，， ，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，即， 由平面，则， 即有， 解得，即； （3）假设点存在，设点的坐标为，其中， 可得， 设平面的法向量，则， 令，即，所以， 又由平面的法向量为， 所以，解得， 由于二面角为锐角，则点在线段上， 所以，即， 故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为. 18．本小题7分 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线相交求直线方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 19．本小题7分已知函数及定点. (1)设，，过A，B作曲线的切线，两切线交点为P，求的值（用，表示）； (2)数列满足，，以为曲线上点的横坐标，得到点列，，曲线在和处切线的交点记为. ①若，求的最小值； ②若，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①3；②8. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线方程及P点坐标，进而可求的值； （2）①先由（1）的结果可得，再令，，从而可得，结合题中条件可得的最小值；②将函数看成抛物线的一部分，再用抛物线的定义可得，从而，再通过求和及适当放缩可得最小值. 【详解】（1）由函数，得，所以函数在A处切线方程为，即. 同理，在B处切线方程为. 联立与，解得，所以两条切线的交点为. 从而. （2）①因为曲线在和处切线的交点为，由（1）结果可得，且. 所以 设，由，，所以，. 设，则，即. 又，所以，即. 所以，又因为. 所以，，. 故的最小值为3. ②注意到F恰为的焦点，曲线为该抛物线的上半部分，由抛物线的定义得. 所以，又，，所以， 故， 因为，故为单调递增数列，当时， 所以由，得. 故的最小值为8. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $