精品解析：安徽省芜湖市无为市部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安徽无为市部分学校联考2025-2026学年上学期九年级 1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较函数值即可． 【详解】解：∵， 抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 点是抛物线的点， 点关于对称轴的对称点是 ， ． 故选：D． 3. 如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知C(0,0)，且过点(2,3)，设该抛物线的解析式为y=ax2，将两点代入即可得出a的值，进一步得出解析式. 【详解】根据题意，得 该抛物线的顶点坐标为C(0,0)，经过点(2,3). 设该抛物线的解析式为y=ax2. 3=a22. a=. 该抛物线的解析式为y=x2. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出两个坐标是解题的关键. 4. 已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将代入求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：A． 7. 如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个． ①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•AB A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】有三个 ①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； 故选C 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键 8. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 9. 如图，在6×7网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积的计算及锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求三角形的高是解题的关键． 通过割补法求的面积，用勾股定理求、的长度，结合三角形面积公式求边上的高，最后根据正弦定义计算． 【详解】解：设每个小方格边长为1， ， 由勾股定理得，， ∵ ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义，勾股定理及其逆定理，正确理解正切函数的定义和勾股定理及其逆定理是解答本题的关键，先根据勾股定理计算，，的值，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切函数的定义，即可得到答案． 【详解】根据勾股定理计算得 ， ， ， ， ， ， 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2＋4．把（5，0）代入函数解析式求得a的值，即可求得该函数解析式，然后把x＝1代入函数解析式，来求相应的y值即可． 【详解】依题意得，该函数的顶点坐标是（0，4）．故设该函数解析式为：y＝ax2＋4（a≠0）． 把点（5，0）代入，得a×52＋4＝0， 解得： a＝−， 所以该函数解析式为：y＝−x2＋4． 把x＝1代入得到：y＝−×12＋4＝． 即桥洞离水面的高是 米， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，学会用待定系数法求解抛物线解析式，设出点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题． 12. 已知点在线段上，且．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解一元二次方程，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 设，则，根据，则，化简整理得，再解这个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴或(不符合题意，舍去)， 故答案为：． 13. 如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 14. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米， ∵斜坡的坡度， ∴汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1） （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 16. 的三边分别是、、，且， （1）如果的周长为60，求的值； （2）如果的面积为 60，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 17. 已知，． （1）若，，，比较，的大小，并说明理由； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2） 或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、整式： （1）当，时，，，求得； （2）根据题意可知，二次函数为，对称轴为，当时，二次函数图象开口向上，可知；当时，二次函数图象开口向下，可知． 【小问1详解】 解：当，时， ，． ． 因为， 所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 解：根据题意可知，二次函数为，对称轴为． （Ⅰ）当时，二次函数图象开口向上，如图所示，根据题意可知 ． 解得． （Ⅱ）当时，二次函数图象开口向下，如图所示，根据题意可知 ． 解得 ． 所以． 综上所述，或． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． （1）求点的坐标． （2）根据图象直接写出的自变量的范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数结合问题，待定系数法求反比例函数解析式． （1）先求出点坐标，再求出反比例函数解析式，联立方程组即可求出本题答案； （2）根据图像即可得出本题答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ∴将代入中得：，即：， ∴， ∴将代入中得： ， ∴，解得：或， ∴点的坐标为：； 【小问2详解】 解：∵通过函数图像可知： ， 点，点， ∴的自变量的范围：或． 19. 如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ． ． ． ． 【小问2详解】 证明：， ． 由（1）可知：， ． 20. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作； 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 21. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 【答案】（1），； （2）路灯的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到，； （）过作于，则，，证明，求得，进而求得即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 根据反射可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：路灯的长约为． 22. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． （1）若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． （2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 【答案】（1）； （2）的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质． （1）在中，利用余切函数的定义求解即可； （2）作出如图所示的辅助线，求得，根据，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，交于点， ∴四边形是矩形， 如图，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴的长度为． 23. 在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． (1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由； (2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标； (3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式． 【答案】(1)四边形OKPA是正方形，理由见解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形OKPA是矩形，又PA＝PK，故可得四边形OKPA是正方形； （2）证明△PBC为等边三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，设PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝，所以P（a，），将P点坐标代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求解； （3）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，将（2）中三点坐标分别代入，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】(1)四边形OKPA是正方形， 理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴PA⊥OA，PK⊥OK， ∴∠PAO＝∠OKP＝90°， 又∵∠AOK＝90°， ∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°， ∴四边形OKPA是矩形， 又∵PA＝PK， ∴四边形OKPA是正方形； (2)连接PB，过点P作PG⊥BC于G， ∵四边形ABCP为菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC， ∴△PBC为等边三角形， 在Rt△PBG中，∠PBG＝60°， 设PB＝PA＝a，BG＝， 由勾股定理得：PG＝， 所以P(a，)，将P点坐标代入y＝， 解得：a＝2或﹣2(舍去负值)， ∴PG＝，PA＝BC＝2， 又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1， ∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3． ∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)； (3)二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， 根据题意得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、切线的性质、待定系数法求二次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关的性质定理以及待定系数法是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽无为市部分学校联考2025-2026学年上学期九年级 1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个． ①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•AB A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在6×7网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米． 12. 已知点在线段上，且．若，则的长为__________． 13. 如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 14. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 16. 的三边分别是、、，且， （1）如果的周长为60，求的值； （2）如果的面积为 60，求的值． 17. 已知，． （1）若，，，比较，的大小，并说明理由； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． （1）求点的坐标． （2）根据图象直接写出的自变量的范围． 19. 如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： （1）； （2）． 20. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 21. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 22. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． （1）若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． （2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 23. 在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． (1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由； (2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标； (3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $