北京市2025-2026学年高三上学期数学一轮复习模拟训练试题（二）

高三数学一轮复习模拟训练试题（二） 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知（i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 3．已知双曲线，则其离心率是（    ） A．2 B． C． D． 4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 5．已知数列为等差数列，为其前项和，满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 10．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 二、填空题 11．已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 . 12．在的展开式中项的系数为 （用数字作答） 13．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的所有可能的取值为 ． 14．如图，在长方体中，，，动点，分别在线段和上.给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号为 .    ①； ②有可能是等边三角形； ③当时，； ④至少存在两组，，使得三棱锥的四个面均为直角三角形. 15．若，则 . 三、解答题 16．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，且，二面角的大小为为中点．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． (1)求三人都没命中的概率； (2)求恰有一人命中的概率； (3)求至少有两人命中的概率． 19．已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线交于．若与的面积相等，求直线的方程． 20．设函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点的个数，并说明理由； (3)若，成立，求a的取值范围. 21．设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学一轮复习模拟训练试题（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B C B B C C 1．C 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】根据交集的定义可知，. 故选：C. 2．B 【分析】根据复数的除法运算可得的值，从而可得复数的模长. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 3．B 【分析】根据等轴双曲线的性质即可求解. 【详解】为等轴双曲线，则， 所以离心率为. 故选：B 4．C 【分析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论. 【详解】解：因为， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度. 故选：C. 5．B 【分析】由即可求解. 【详解】设等差数列公差为， 则， 所以， 故选：B 6．C 【分析】利用作差法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：，因为， 所以， 所以，即，故A错误； 选项B：，因为， 所以，所以，即，故B错误； 选项C：，因为， 所以，所以，即，故C正确； 选项D：，因为， 所以，所以，即，故D错误. 故选：C 7．B 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 8．B 【分析】应用两角差的正弦结合辅助角公式得出，再应用诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以； 故选：B． 9．C 【分析】在第一阶段解出，在第二阶段解出. 【详解】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练. 故选：C. 10．C 【分析】先求出，设为中点，进而可以用向量表示出，结合数量积运算律即可解求． 【详解】因为，，， 由，所以，所以． ， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以 故选：C. 11． 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又， ，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 12．80 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为. 故答案为：80 13．， 【分析】根据给定关系式，求出值，再分类求出值. 【详解】由对任意的实数x都有，得或， 当时，， 则，而，因此； 当时，， 则，而，因此， 所以满足条件的所有可能的取值为，. 故答案为：， 14．①④ 【分析】根据，结合体积公式，可判定①正确；假设为等边三角形，取，求得，可判定②错误；建立直角坐标系，设，由，得到，结合，可判定③不正确；分为的中点，与重合和点与重合，与重合时，分别得到三棱锥的四个面均为直角三角形，可判定④正确. 【详解】对于①，在长方体中，， 因为平面，且平面， 又因为，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以可得到平面的距离为， 因为，所以①正确； 对于②，假设为等边三角形，因为为上的动点， （i）当的最小值为，即，则，此时点与点重合， 在直角中，可得， 则， 在直角中，可得， 则，则， 即取得最小值时，的长度不能同时取得， （ii）当时，因为为等边三角形，可得， 在直角中，可得， 则， 在直角中，可得， 则，则， 所以的长度不能同时大于， 所以不可能是等边三角形，所以②错误； 对于③，建立如图所示的空间直角坐标系，可得， 设，其中，则， 若，可得，解得， 又由， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立，所以③不正确；    对于④，当为的中点，与重合时，如图（1）所示，此时， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 所以三棱锥的四个面均为直角三角形； 当点与重合，与重合时，如图（2）所示， 此时， 所以三棱锥的四个面均为直角三角形， 综上可得，至少存在两组使得三棱锥的四个面均为直角三角形，所以④正确. 故答案为: ①④.       15．/2.56 【分析】先利用诱导公式化简，结合诱导公式以及同角三角函数商数关系化为只含的式子，将值代入计算即可. 【详解】因为， 由 ， 故答案为：. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到平行四边形为正方形，，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，得到； （2）由线面垂直得到二面角的平面角为，并求出各边长，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由公式得到线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：，为中点， ∴，，则四边形为平行四边形. 又因为，，所以平行四边形为正方形. 连接， 又平面面， 所以， ∵平面， 平面． 又平面．    （2）平面，平面， ． 平面平面． 又平面，故二面角的平面角为， ． 如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为 18．(1)0.06 (2)0.29 (3)0.65 【分析】（1）设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解； （2）设“恰有一人命中”为事件D，即，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解； （3）设“至少有两人命中”为事件E，即，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中， 甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为 所以甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为； （2）设“恰有一人命中”为事件D， 所以甲，乙，丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为； （3）设“至少有两人命中”为事件E， 所以甲，乙，丙各投篮一次，至少有两人命中的概率为． 19．(1)， (2) 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出即可得解； （2）设，由与的面积相等，可得求得点的坐标，得解. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆的方程为，离心率. （2）如图，设，则， 由与的面积相等，则， 又，则， 所以，即，解得或， 又，所以，所以， 所以直线的斜率，所以直线的方程为. 20．(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对求导，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解； （2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解； （3）问题转化为在上恒成立，利用导数求右侧的取值范围，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，，则，所以切点为， 由，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即； （2）由题意知的定义域为，， 令， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 时，，在单调递增，无极值点； 时，，设方程的两根为， 所以，此时， ， ， ， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有两个极值点； 当时，，设方程的两根为， 所以，此时，而， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有一个极值点； 综上： 当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点. （3）由成立等价于在上恒成立. 令且，则， 令且，则， 所以在上单调递增，则，故， 所以在上单调递增，时，时， 所以，则. 21．(1)，或 (2)（i）是，证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $