黑龙江省绥化市第九中学2026-2027学年高三上学期10月期中数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绥化市第九中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，是实数，那么“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知直线：，圆关于轴对称，且过点，，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于(    ) A. B. C. D. 3.已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是(    ) A. ， B. ， C. ，， D. ， 4.一盏路灯视为一个质点安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度为常数，其中是路灯到地面该点的距离，是路灯照射到该点的光线与水平面的夹角现有一个距离杆子底部水平距离为米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六个完全一样的正四棱柱分成三组，经榫卯起来若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面展开图的面积至少为容器壁的厚度忽略不计 A. B. C. D. 6.已知，，成等差数列，，，则(    ) A. B. C. D. 7.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，，，若，，则(    ) A. B. C. D. 8.要得到函数的图象，只须将的图象上的所有的点(    ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知关于的方程有两个根，且一个大于，一个小于，则实数的可能取值为(    ) A. B. C. D. 10.下列说法中，正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11.数列中，，，则下列说法正确的是(    ) A. 当，时， B. 当，时， C. 当，时， D. 当，时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某学习小组由名男生和名女生组成，从中依次随机抽取人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于        ． 13.二项式的展开式中的系数为，则        ． 14.甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖次，每次抽奖可随机获得元、元、元的奖金． 方案：通过景点购票的游客，可从装有个红球和个白球的抽奖箱中，不放回地取球次，每次取个球，第次取到红球，可得元奖金，取到白球没有奖金． 游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； 游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； 试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 16.本小题分 设函数在处取得极大值． 求的解析式； 求在区间上的最值． 17.本小题分 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，． 求角； 若，求边上的角平分线长； 若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18.本小题分 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”已知等差数列的首项为，公差不为，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，，且． 求数列，的通项公式； 令，求数列的前项和． 19.本小题分 已知点满足，求： 的最大值与最小值； 的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由可得， 但不能得到，比如，但是， 故”是“”的充分不必要条件． 故选：． 根据余弦函数的性质，结合充分必要条件的判断即可求解． 本题考查余弦函数的性质，考查充要条件的判断，是基础题． 2.【答案】  【解析】解：由题意，因为圆关于轴对称， 所以设圆的方程为， 因为圆过点，， 所以，解得， 所以圆心与半径分别为， 所以到的距离为， 所以圆上的点到的距离的最大值与最小值分别为， 其和为． 故选：． 求出圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，即可求出圆上的点到的距离的最大值与最小值的和． 本题考查圆的方程，考查点到直线的距离，正确求出圆的方程是关键，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：因为，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面， 所以将问题放置到长方体中， 所以逐一分析各个选项如下： 选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面， 显然有，，但不满足，所以A错误； 选项B：记为直线，则满足，，但不满足，所以B错误； 选项C：记为直线，为直线， 则满足，，，但不满足，所以C错误； 选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以选项正确． 故选：． 结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得． 本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题． 4.【答案】  【解析】解：如图所示： 由题意得，由勾股定理得， 则，其中， 对函数求导得 ， 令，得，解得舍去或． 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 因此，当时，取得最大值，即点光照最强． 故选：． 利用直角三角形边角关系，将光照强度转化为关于杆高的函数；对目标函数求导，通过导数符号判断函数单调性，找到函数取得最大值对应的值，即为所求路灯杆的高度． 本题考查了锐角三角函数的运用，考查了利用导数确定函数的单调性及最值，属于中档题． 5.【答案】  【解析】解：因为正四棱柱的高为，底面正方形的边长为， 若将该鲁班锁放进一个圆柱形容器内， 则该圆柱形容器的半径的最小值为， 所以该圆柱形容器的侧面展开图面积的最小值为． 故选：． 先求出外接圆柱的底面半径，再结合其侧面积公式计算． 本题考查圆柱的侧面积及其求法，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】  【解析】解：根据、、成等差数列，可得，即， 设，，则，，． 因为，， 所以， 整理得， 即，解得，即． 故选：． 根据等差中项的概念转化角的关系，结合同角三角函数的平方关系建立方程组求解，即可得到本题的答案． 本题主要考查等差中项的概念、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的关系等知识，属于中档题． 7.【答案】  【解析】解：由题可设，则，， 所以，解得， 所以． 故选：． 先求出，，每个取值所对应的概率，再求方差． 本题考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：令， 则， 要得到函数的图象，只要将的图象向左平移． 故选：． 利用函数的图象变换即可求得答案． 本题考查函数的图象变换，属于中档题． 9.【答案】  【解析】解：可化为， 解得，， 则，解得． 故选：． 结合二次方程根的分布即可求解． 本题主要考查了二次方程根的分布，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：因为，， 所以，即，故A正确； 对于，当时，由，得，当时，由，得，故B错误； 对于，， 又因为，所以，又，所以，所以， 所以，故C正确； 对于，因为，所以，又因为，所以，故D错误． 故选：． 结合不等式的性质，结合作差法，即可求解． 本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 11.【答案】  【解析】解：由，，可得，则数列是首项为，公差为的等差数列，所以，故A正确； 由，，可得，，则数列是首项为，公比为的等比数列，，故B错误； 由，，可得， 可得，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以，所以，故C错误； 由，，可得，可得，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，可得，故D正确． 故选：． 对于，先根据已知条件判断数列的类型，再根据等差数列和等比数列的定义求解通项公式；对于，利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得． 本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的定义与通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：原小组共有人，在第一次抽到男生的条件下，小组剩余个人，其中男生名，女生名， 所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是． 故答案为：． 根据给定条件，利用缩小样本空间的方法求出条件概率． 本题考查条件概率，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，求得． 再根据，求得， 故答案为：． 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出、的关系，再根据展开式中的系数为，求得的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为． 故答案为：． 根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解． 本题考查条件概率相关知识，属于中档题． 15.【答案】；   答案见解析；   游客选择网上购票更划算．  【解析】根据题意可知，，即两次都抽到元的红包，或次抽到元的红包， 次抽到元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以； 由题意得的可能取值为，，，，，，， ， ， ，， 所以的分布列为： 通过景点购票，由得： ， 的可能取值为，，，，， ， ， ， 所以， 故E， 所以游客选择网上购票更划算． 利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； 利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； 先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可． 本题考查了分布列的性质，属于中档题． 16.【答案】  最小值为，最大值为  【解析】解：函数的定义域为，求导得， 由在处取得极大值，得，解得，， 此时，当或时，；当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值， 所以，，． 由知，函数在，上单调递增，在上单调递减， 而，，，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以在上的最小值为，最大值为． 求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，，再验证即可． 利用导数求出指定区间上的最值． 本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题． 17.【答案】解：因为， 可得， 又因为， 所以， 又， 可得； 如图： 因为， 由余弦定理可得， 又，可得， 由，得， 所以； 由是边上的中线，可得， 两边平方可得， 由已得，代入可得， 可得， 可得， 可得 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 可得， 可得， 可得 所以边上的中线的取值范围为．  【解析】解：因为， 可得， 又因为， 所以， 又， 可得； 如图： 因为， 由余弦定理可得， 又，可得， 由，得， 所以； 由是边上的中线，可得， 两边平方可得， 由已得，代入可得， 可得， 可得， 可得 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 可得， 可得， 可得 所以边上的中线的取值范围为． 由诱导公式化简得到，得到； 由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； 由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围． 本题考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，向量基本定理和数量积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 18.【答案】解：等差数列的首项为，公差不为，且数列为“吉祥数列”； 可得， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以． 非零数列满足，，且， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则． 由知， 可得数列的前项和 ．  【解析】解：等差数列的首项为，公差不为，且数列为“吉祥数列”； 可得， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以． 非零数列满足，，且， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则． 由知， 可得数列的前项和 ． 设等差数列  的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用  为常数建立关于  的恒等式，求出 ，进而得到 ； 再由  判断  为等比数列，结合前两项求其通项公式． 由 ，将  的前  项和拆成等差数列  与等比数列  的前  项和，分别求和后相加即可． 本题考查数列的新定义和等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 19.【答案】解：表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ，， 即的最大值为，最小值为． 解法一：设，， 则， 其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即．  【解析】解：表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ，， 即的最大值为，最小值为． 解法一：设，， 则， 其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； 解法一：设，，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $