精品解析：四川省眉山市仁寿县2025-2026学年八年级上学期期末教学质量监测数学试卷

八年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．不允许使用计算器进行计算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合采用随机抽样调查的是（ ） A. 调查初二（1）班学生感染流感的情况 B. 调查一批灯泡的使用寿命 C. 调查神舟二十一号载人飞船零部件的质量 D. 登机前安检乘客是否携带违禁品 3. 下面四个无理数中最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学做了四道计算题，其中计算正确的一题是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，，，，，，（两个4之间依次增加1个9）中，无理数出现的频数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，有一池塘，要测池塘两端、的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是、的距离，其中的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题逆命题是真命题的为（ ） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的对应角相等 8. 若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 16 11. 日常生活中经常需要密码，如取款、上网等，我们可以用“因式分解”的方法产生密码，方便记忆．如将多项式分解因式为，取，计算因式的值分别为，，，密码就可以设置为018162，180162等．按照上述产生密码的方法，多项式，在取，时，密码不可能设置为（ ） A 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 12. 如图，在中，，和是高，相交于点，是边的中点，与交于点，若平分．下列结论：①，②，③，④，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 因式分解：______． 14. 正数的两个平方根分别是和，则的立方根为_________． 15. 利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 16. 已知，，则___________． 17. 如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为______． 18. 公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式≈a＋ 得到的近似值．他的算法是先将看成，由近似公式得到≈1＋＝ ；再将看成 ，由近似公式得到≈＋ ＝；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值 时，近似公式中的a是________，r是________． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在中，是的平分线，，点在上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. “湘超”足球赛正在火热进行中！上周我市比赛共销售40000张票，赛后主办方对购票渠道和实际到场情况分别进行了统计，其中通过渠道购票后的实际到场率为，根据从，，，共四个渠道分别售票的情况和实际到场人数情况绘制了如图1，图2两幅不完整的统计图． （1）通过渠道销售的票数为_____张，扇形统计图中渠道对应的圆心角为_____．； （2）通过渠道的实际到场人数为_____人，并将图2补充完整； （3）请计算，并说明实际到场率排在前两名的是哪两个购票渠道． 23. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 24. 【资料卡片】 如果、是一元二次方程（）的两根，则有，． 【解决问题】 若、是一元二次方程的两根，请结合“资料卡片”解答下列问题： （1）填空：_________，_________． （2）求代数式的值 ① ② 25. 已知和都等腰直角三角形，将绕点旋转． （1）在旋转过程中，线段与的长度是否相等？如果相等，请结合图给出证明；如果不相等，请说明理由． （2）若和斜边中线分别为，，、之间的距离表示为，则旋转过程中的取值范围是__________； （3）当点恰好落在斜边上时，如图，证明：． 26. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）证明：； （2）动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； （3）在（）条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．不允许使用计算器进行计算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：． 2. 下列调查中，适合采用随机抽样调查的是（ ） A. 调查初二（1）班学生感染流感的情况 B. 调查一批灯泡的使用寿命 C. 调查神舟二十一号载人飞船零部件的质量 D. 登机前安检乘客是否携带违禁品 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断全面调查与抽样调查．随机抽样调查适用于总体数量大、全面调查困难或调查具有破坏性情况，选项A班级人数少可全面调查；选项C和D涉及安全与质量必须全面检查；选项B灯泡测试具有破坏性且数量大，适合抽样，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、调查初二（1）班学生感染流感的情况，人数少可全面调查，故该选项不符合题意； B、调查一批灯泡的使用寿命，测试具有破坏性且数量大，适合抽样，故该选项符合题意； C、调查神舟二十一号载人飞船零部件的质量，涉及安全，必须全面检查，故该选项不符合题意； D、登机前安检乘客是否携带违禁品涉及安全，必须全面检查，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下面四个无理数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先整理得出，，则是四个选项中最大的数，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵，， ∴，， ∴，， 即是四个选项中最大的数， 故选：B． 4. 小明同学做了四道计算题，其中计算正确的一题是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 需根据合并同类项，同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂相乘法则逐一计算，再作判断． 【详解】解：中不是同类项，不能合并， 故A错误； ， 故B错误； ， 故C错误； ， 故D正确， 故选：D． 5. 实数，，，，，，（两个4之间依次增加1个9）中，无理数出现的频数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数的分类，牢记有理数和无理数的概念是关键． 判断每个数是否为无理数，无理数是无限不循环小数. 【详解】是分数，是有理数； 是无理数； 是无理数； 是整数，是有理数； ，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数. 无理数有、、，共个． 故答案为：C． 6. 如图，有一池塘，要测池塘两端、的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是、的距离，其中的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等的性质和判定，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，根据全等三角形的性质，再作出判断． 【详解】解：在与中， ， 所以， 所以， 即量出的长就是、的距离， 故选：A． 7. 下列命题的逆命题是真命题的为（ ） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，逆命题．先分析出每个选项的逆命题内容，再进行分析，即可作答． 【详解】解：A、逆命题是数轴上的点与有理数一一对应，这是假命题，因为数轴上的点还包括无理数，故该选项不符合题意； B、逆命题是若，则，这是真命题，故该选项符合题意； C、逆命题是相等的角是对顶角，这是假命题，故该选项不符合题意； D、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，这是假命题，故该选项不符合题意； 故选：B 8. 若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，展开多项式乘积，合并同类项后，令项的系数为零，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由 ， 又∵乘积不含的二次项， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用折叠的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据三角形外角的性质求出，从而可利用三角形的内角和定理求得． 【详解】解：∵将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处， ∴，， 又， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 10. 如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，列代数式，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，得整理得，即可作答． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴ 则， 即， ∴． 故选：B． 11. 日常生活中经常需要密码，如取款、上网等，我们可以用“因式分解”的方法产生密码，方便记忆．如将多项式分解因式为，取，计算因式的值分别为，，，密码就可以设置为018162，180162等．按照上述产生密码的方法，多项式，在取，时，密码不可能设置为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．将多项式因式分解后代入x和y的值，得到三个因式的值，密码由这些值按任意顺序拼接而成，选项D的拼接结果中包含不在这些值中的数字，因此不可能，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵，： ∴，， ∴的值为12、24、48， 依题意，密码为这些值的任意顺序拼接，选项A、B、C均为的拼接，选项D为，拆分为，其中21不在因式值中， ∴ 密码不可能设置D选项， 故选：D 12. 如图，在中，，和是高，相交于点，是边的中点，与交于点，若平分．下列结论：①，②，③，④，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】先结合是的高，，得是等腰直角三角形，因为是边的中点，得，根据是的高，以及三角形内角和，得出，证明，运用三角形外角性质以及等角对等边得，再运用角平分线的性质，得，运用勾股定理得，化简，即可作答． 【详解】解：∵ 是的高， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是边的中点， ∴（斜边上的中线等于斜边的一半） ∴， 即， 故①是符合题意； ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意； ∵平分． ∴， 则， ， 即， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵平分．， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．观察表达式，提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 正数的两个平方根分别是和，则的立方根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．利用平方根的性质，两个平方根互为相反数，列方程求出值，再求出值，然后计算的立方根即可得答案． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为： 15. 利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【答案】这两条直线不平行 【解析】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 16. 已知，，则___________． 【答案】 71 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用， 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知值的组合，然后代入计算． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：71． 17. 如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，使得，连接，则有，通过等腰三角形性质可得，又平分，所以，则，然后证明，得，即，故当三点共线时，有最小值等于的长，再证明是等边三角形，所以，即的最小值为． 【详解】解：如图，作，使得，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式≈a＋ 得到的近似值．他的算法是先将看成，由近似公式得到≈1＋＝ ；再将看成 ，由近似公式得到≈＋ ＝；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值 时，近似公式中的a是________，r是________． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】根据近似公式得到 ，然后解方程组即可． 【详解】由近似值公式得到， ∴a+， 整理得204a2-577a+408=0， 解得a1=，a2=， 经检验a1=，a2=均为方程的根， 当a=时，r=2-a2=； 当a=时，r=2-a2=． 故答案为或；或． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的应用，利用类比的方法进行解答是解题的关键. 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，乘方，单项式除以单项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算算术平方根，立方根，乘方，再运算加减法，即可作答． （2）先运算单项式除以单项式，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，是的平分线，，点在上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练知识点的应用是解题关键． （）由是的平分线，则，又，所以，然后通过“”证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）由（）得，所以，可得垂直平分，则有，得，最后通过直角三角形性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及到乘法公式等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意计算过程中需注意的事项，是本题的解题关键． 先使用完全平方公式和整式的乘法对小括号内的式子进行计算，然后合并同类项，再做除法即可化简完毕，最后将x、y的值代入即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 22. “湘超”足球赛正在火热进行中！上周我市的比赛共销售40000张票，赛后主办方对购票渠道和实际到场情况分别进行了统计，其中通过渠道购票后的实际到场率为，根据从，，，共四个渠道分别售票的情况和实际到场人数情况绘制了如图1，图2两幅不完整的统计图． （1）通过渠道销售的票数为_____张，扇形统计图中渠道对应的圆心角为_____．； （2）通过渠道的实际到场人数为_____人，并将图2补充完整； （3）请计算，并说明实际到场率排在前两名的是哪两个购票渠道． 【答案】（1）， （2），统计图见解析 （3）购票渠道 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先算出通过渠道销售的票数的占比，再由总票数乘以占比，以及乘以占比即可求解； （2）根据总票数乘以渠道售票数占比再乘以实际到场占比即可渠道的实际到场人数，即可画出条形统计图； （3）分别计算到场率，再比较即可． 【小问1详解】 解：（张）， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 补全条形统计图为： 故答案为：； 【小问3详解】 解：A渠道：； B渠道：； C渠道：； D渠道：， ∴到场率排在前两名的是购票渠道． 23. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， 而，即， ∴， ∴是直角三角形. 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ 过点A作于点G， 由（1）得，是直角三角形， ∴ ∴ ∵滚轮半径 ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为． 24. 【资料卡片】 如果、是一元二次方程（）的两根，则有，． 【解决问题】 若、是一元二次方程的两根，请结合“资料卡片”解答下列问题： （1）填空：_________，_________． （2）求代数式的值 ① ② 【答案】（1）3， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，多项式乘多项式，分式的加减运算，理解题干中的背景资料是解题的关键． （1）根据题干中的背景资料求解； （2）①根据多项式乘多项式法则将变形为，再将（1）中结论代入求解；②利用完全平方公式将变形为，再将（1）中结论代入求解． 【小问1详解】 解：、是一元二次方程的两根， ，， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：①； ②． 25. 已知和都是等腰直角三角形，将绕点旋转． （1）在旋转过程中，线段与的长度是否相等？如果相等，请结合图给出证明；如果不相等，请说明理由． （2）若和斜边中线分别为，，、之间的距离表示为，则旋转过程中的取值范围是__________； （3）当点恰好落在斜边上时，如图，证明：． 【答案】（1），理由解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由和都是等腰直角三角形，则，，，然后证明，再由全等三角形性质即可求解； （）根据题意可得当三点共线时，有最大值；当三点共线时，有最小值，从而求解； （）连接，同理可得，所以，，则，由勾股定理得，，从而可得． 小问1详解】 解：，理由， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 如图，当三点共线时，有最大值， 如图，当三点共线时，有最小值， ∴旋转过程中的取值范围是， 故答案：； 【小问3详解】 证明：连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴． 26. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）证明：； （2）动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； （3）在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）的值为或； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （）由题意可得，所以，然后通过“”证明即可； （）由（）可知，，所以，从而有，，所以，，且，然后分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况求解即可； （）分当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：由（）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴，，且， 当点在线段上时，则，此时， ∴，解得：， 当点Q在的延长线上时，则，此时， ∴，解得：， 综上可得：的值为或； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段的延长线上时， 由（）可知，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴，此时，， ∴， 解得； 如图，当点在线段上时， 同可得，，此时，， ∴， 解得， 综上所述，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $