河南省信阳市淮滨县王店乡初级中学2025-2026学年九年级上学期期末总复习专项练习之一元二次方程

2025-2026学年度(上)河南省信阳市淮滨县王店乡初级中学 期末总复习专项练习之一元二次方程 【考点过关】 1.(2025扬州)关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　 　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 2.(2025甘肃)关于x的一元二次方程3x2－6x＋m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　 　） A.m＜3 B.m≤3 C.m＞3 D.m≥3 3.(2025北京)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　 　） A.－4 B.－1 C.1 D.4 4.(2025湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　 　） A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3 5.(2025河北)若一元二次方程x（x＋2）－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　 　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(2025广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人今年5月产值达到了2500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　 　） A.2500(1＋x)2＝9100 B.2500(1－x)2＝9100 C.2500(1－2x)2＝9100 D.2500(1＋2x)2＝9100 7.(2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　 　） A.5x2＝6 B.5(1＋x2)＝6 C.x(5－x)＝6 D.5(1＋x)2＝6 8.(2025黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由1月份的8 000辆增加到3月份的12 000辆，设该汽车1月至3月销售量的平均每月增长率为x，则可列方程为（　 　） A.8000（1＋2x）＝1200 B.8000（1＋x）2＝12000 C.8000＋8000(1＋x)＋8000(1＋x)2＝12000 D.8000×2(1＋x)＝12000 9.(2025重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　 　） A.10％ B.20％ C.22％ D.44％ 10.(2025青海)若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值为　 　. 11.(2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为　 　. 12.(2025广东)不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是　 　. 13.(2025上海)一元二次方程2x2＋x＋m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 . 14.(2025眉山)已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1＋1）（x2＋1）的值为　 　. 15.(2025广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为　 　. 16.(2025齐齐哈尔)解方程：①x2－7x＝－12 ②4x－x2＝3. 17.(2025常州二模)如图，在长宽比为8∶5的矩形场地修筑同样宽为2m的道路（道路与矩形边平行或垂直），余下的部分种上草坪，且草坪的面积为540m2，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少？ 18.(2025威海)如图，某校有一块长20 m，宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 【能力提升】 19.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是（　 　） A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 20.(2024泰安）如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第　 　个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”个数的3倍. 21.(2024广州)定义新运算：a⊗b＝例如：－2⊗4＝（－2）2－4＝0，2⊗3＝－2＋3＝1.若x⊗1＝－，则x的值为 . 22.(2025南充)设x1，x2是关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2的两根. （1）当x1＝－1时，求x2及m的值.（2）求证：（x1－1）（x2－1）≤0. 23.(2025潍坊一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. （1）若（x＋3）（x－m）＝0是“邻根方程”，求m的值. （2）若一元二次方程x2＋bx＋c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由. 2025-2026学年度(上)河南省信阳市淮滨县王店乡初级中学 期末总复习专项练习之一元二次方程 【考点过关】 1.(2025扬州)关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　A　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 2.(2025甘肃)关于x的一元二次方程3x2－6x＋m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　B　） A.m＜3 B.m≤3 C.m＞3 D.m≥3 3.(2025北京)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　C　） A.－4 B.－1 C.1 D.4 4.(2025湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　D　） A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3 5.(2025河北)若一元二次方程x（x＋2）－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　C　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(2025广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人今年5月产值达到了2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　A　） A.2500（1＋x）2＝9100 B.2500（1－x）2＝9100 C.2500（1－2x）2＝9100 D.2500（1＋2x）2＝9100 7.(2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　C　） A.5x2＝6 B.5（1＋x2）＝6 C.x（5－x）＝6 D.5（1＋x）2＝6 8.(2025黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由1月份的8 000辆增加到3月份的12 000辆，设该汽车1月至3月销售量的平均每月增长率为x，则可列方程为（　B　） A.8000（1＋2x）＝1200 B.8000（1＋x）2＝12000 C.8000＋8000（1＋x）＋8000（1＋x）2＝12000 D.8000×2（1＋x）＝12000 9.(2025重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　B　） A.10％ B.20％ C.22％ D.44％ 10.(2025青海)若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值为　3　. 11.(2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为　2　. 12.(2025广东)不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是　有两个不相等的实数根　. 13.(2025上海)一元二次方程2x2＋x＋m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　m＞　. 14.(2025眉山)已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1＋1）（x2＋1）的值为　－2　. 15.(2025广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为　29　. 16.(2025齐齐哈尔)解方程：①x2－7x＝－12. 解：整理得，x2－7x＋12＝0， 因式分解得，（x－4）（x－3）＝0， ∴x－4＝0或x－3＝0， 解得x1＝4，x2＝3. ②4x－x2＝3. 解：原方程配方得x2－4x＋4＝－3＋4， ∴（x－2）2＝1. ∴x－2＝1或x－2＝－1. ∴x1＝3，x2＝1. 17.(2025常州二模)如图，在长宽比为8∶5的矩形场地修筑同样宽为2m的道路（道路与矩形边平行或垂直），余下的部分种上草坪，且草坪的面积为540m2，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少？ 解：设矩形场地的长是8x m，则宽是5x m. 根据题意，得（8x－2）（5x－2）＝540， 整理，得20x2－13x－268＝0， 解得x1＝4，x2＝－（不符合题意，舍去）. ∴8x＝8×4＝32，5x＝5×4＝20. 答：矩形场地的长是32 m，宽是20 m. 18.(2025威海)如图，某校有一块长20 m，宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20－4x）m，宽为（14－4x）m的矩形. 根据题意得，（20－4x）（14－4x）＝24×9， 整理得，2x2－17x＋8＝0， 解得x1＝0.5，x2＝8（不符合题意，舍去）. 答：小路的宽度为0.5 m. 【能力提升】 19.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是（　B　） A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 【解析】设原来的方程为ax2＋bx＋c＝0（a≠0），由题知，－＝6＋1＝7，＝－2×（－5）＝10，所以b＝－7a，c＝10a，所以原来的方程为ax2－7ax＋10a＝0，即x2－7x＋10＝0.故选B. 20.(2024泰安）如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第　12　个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”个数的3倍. 21.(2024广州)定义新运算：a⊗b＝例如：－2⊗4＝（－2）2－4＝0，2⊗3＝－2＋3＝1.若x⊗1＝－，则x的值为　－或　. 【解析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程.当x≤0时，x⊗1＝x2－1＝－，解得x＝－或x＝（不合题意，舍去）；当x＞0时，x⊗1＝－x＋1＝－，解得x＝.综上可得，x的值为－或.故答案为－或. 22.(2025南充)设x1，x2是关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2的两根. （1）当x1＝－1时，求x2及m的值. （2）求证：（x1－1）（x2－1）≤0. （1）解：把x1＝－1代入方程（x－1）（x－2）＝m2，得m2＝6， ∴m＝±， ∴（x－1）（x－2）＝6，即x2－3x－4＝0， ∴（x－4）（x＋1）＝0， ∴x1＝－1，x2＝4. ∴x2＝4，m＝±. （2）证明：方程（x－1）（x－2）＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0. ∵Δ＝9－4（2－m2）＝4m2＋1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. ∵方程（x－1）（x－2）＝m2，即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2， ∴（x1－1）（x2－1） ＝x1·x2－（x1＋x2）＋1 ＝2－m2－3＋1 ＝－m2. ∵m2≥0， ∴－m2≤0，即（x1－1）（x2－1）≤0. 23.(2025潍坊一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. （1）若（x＋3）（x－m）＝0是“邻根方程”，求m的值. （2）若一元二次方程x2＋bx＋c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由. 解：（1）∵（x＋3）（x－m）＝0， ∴x1＝－3，x2＝m. ∵方程是“邻根方程”， ∴｜－3－m｜＝1， ∴－3－m＝±1， ∴m＝－2，或m＝－4. （2）在x2＋bx＋c＝0中， x1＋x2＝－b，x1·x2＝c， ∵｜x1－x2｜＝1， ∴＝－4x1x2＝b2－4c＝1， ∴b，c滿足的数量关系为b2－4c＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $