第21章《一元二次方程》章末练习题（2）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 章末复习题（2） 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4 2．将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 3．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 4．方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 5．一元二次方程﹣x2+7x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝7 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝0，x2＝﹣7 D．x1＝1，x2＝﹣7 6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 7．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 8．喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价a%后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（　　） A．300（1+a%）2＝225 B．300（1﹣2a%）＝225 C．300（1﹣a2%）＝225 D．300（1﹣a%）2＝225 9．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．写出一个以为根的一元二次方程：　 　 ． 12．若关于x的方程x2+kx+2＝0有一个根为2，则k的值为 　 　 ． 13．对于符号“∇”，我们作如下规定：a∇b＝a2+b2+1，如4∇5＝42+52+1＝16+25+1＝42，若2∇x＝10，则x＝　 　 ． 14．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　 cm2． 15．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简ba　 　 ． 16．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．用指定方法解下列方程： （1）x2﹣6x+4＝0（配方法）； （2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）． 18．关于x的方程为一元二次方程． （1）求m的值． （2）求该一元二次方程的根． 19．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为x1和x2，且m＝2，求的值． 21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 22．关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 23．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S． （1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． （2）点D运动至何处时，SS△ABC？ 25．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　 　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A A C D C B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．x2x＝0（答案不唯一）． 12．﹣3． 13．． 14．9． 15．． 16．3． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）原方程配方得：x2﹣6x+9＝5， （x﹣3）2＝5， ， 所以 ． （2）原方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0， ∴a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）×5＝36＞0， ∴， ∴x1＝1 ． 18．解：（1）根据题意得m﹣2≠0且m2﹣2＝2， 解得m＝﹣2， 即m的值为﹣2； （2）一元二次方程为﹣4x2+8x＝0， 解得x1＝0，x2＝2． 19．解：假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则 ①﹣②，得 a（m﹣2）+（2﹣m）＝0 （m﹣2）（a﹣1）＝0 ∴m＝2 或a＝1． 当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去； 当a＝1时，代入②得m＝﹣3， 把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1． 故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1． 20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0， 解得； （2）当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0， ∴x1+x2＝3，x1x2＝2， ∴． 21．解：（1）该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当x＝1时，方程左边＝5﹣8+3＝0，右边＝0， ∴左边＝右边， ∴x＝1是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）由题意得：7﹣b+c＝0， ∴b＝7+c， ∴b2﹣6c＝（7+c）2﹣6c ＝c2+8c+49 ＝（c+4）2+33， ∵（c+4）2≥0， ∴（c+4）2+33≥33， ∴b2﹣6c的最小值为33． 22．解：（1）由条件可知，且m≠0， 解得m＜2，且m≠0； （2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于x的方程的两个不相等的实数根为x1，x2， 则， ∵方程的两个实数根的倒数之和等于0， ∴， 则， 解得m＝4， 由（1）知，m＜2，且m≠0， ∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 23．解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 24．解：（1）存在，理由如下： 假设存在某一时刻t，使DE∥AB， ∴， ∵AC＝6，BC＝8，CD＝t，CE＝8﹣2t， ∴， ∴t，符合题意（t最大为8÷2＝4秒）， ∴存在某一时刻t秒，使DE∥AB； （2）设运动t秒时，SS△ABC， 根据图示可知，S＝S△ACE﹣S△DCES△ABC， ∵S△ABCAC•CB6×8＝24平方厘米， S△ACEAC•CE6×（8﹣2t）＝（24﹣6t）平方厘米， S△DCECD•CEt（8﹣2t）＝（4t﹣t2）平方厘米， ∴S＝（24﹣6t）﹣（4t﹣t2）＝24﹣6t﹣4t+t2＝（t2﹣10t+24）平方厘米， ∴SS△ABC， ∴t2﹣10t+2424， 解一元二次方程得：t1＝7，t2＝3， ∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4， ∴t＝3秒符合题意， ∴此时CD＝3（cm）， ∴CD＝3cm时，SS△ABC． 25．解：（1）x2﹣6＝x， x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， 故答案为3或﹣2； （2）2x2﹣x+1＝x， 2x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝4﹣4×2＝﹣4＜0， ∴原方程无解， ∴关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值， （3）①a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， ∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， ∵仅有一个不动值， ∴Δ＝0， [﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝0， 整理得：a4+4a3+4a2＝0， a2（a2+4a+4）＝0， a2（a+2）2＝0， 解得：a＝0（不合题意，舍去），a＝﹣2， ∴a＝﹣2； ②a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， 整理得：a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， 设方程两个解为s，t， ∴s+t，st， ∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st， ∵s﹣t为整数， ∴1为整数， ∴正整数a＝1或2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $