专题03 —元二次方程的实际应用4大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 一元二次方程的实际应用 一元二次方程实际应用关键步骤： 1.审题：明确题目中的数量关系，找出已知量和未知量； 2.设元：设合适的未知数（直接设元或间接设元）； 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程； 4.解方程：利用合适的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）求解； 5.检验：检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合题意的根； 6.作答：写出最终答案. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 增长率问题 1. 某商品原价200元，经过连续两次相同百分率的降价后，最终售价为162元，若设每次降价的百分率均为a，下列所列方程表示正确的是（　　） A．200（1+a）2＝162 B．200（1﹣a）2＝162 C．200（1﹣2a）＝162 D．200（1﹣a2）＝162 2. 某商店2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，那么该商店这两个月盈利的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 题型二 面积问题 3. 如图，把一块长为30cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为400cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝400 B．（30﹣x）（20﹣x）＝400 C．（30﹣x）（20﹣2x）＝400 D．（30﹣2x）（200﹣x）＝400 4. 如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（　　） A．5m B．（5）m C．（5+3）m D．（5+5）m 5. 周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽AB为（　　）米． A．8 B． C．20 D．24 题型三营销与利润问题 6. 小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打　　 折出售． 7. 第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 题型四数字与行程问题 8. 已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系v＝﹣3t+60．而滑行距离，，其中v0是初始速度，vt是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，则此时飞机的滑行速度（　　）m/s． A．10 B．20 C．30 D．10或30 9. 某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中胜场数是一个两位数．且这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且胜场数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（　　） A．14 B．23 C．32 D．41 题型四动态几何问题 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝5cm．点P从B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以2cm/s的速度向终点A运动．ts后，△PCQ的面积等于4，则t的值为（　　） A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 1. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 2. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 3. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”聪明的你认为竿长为（　　） A．2尺 B．10尺 C．2尺或10尺 D．无法确定 4. 如图，小区工人用长为17m的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为9m），且为了方便出入，在AB段用其他材料做了一扇宽为1m的门．若种植园的面积为40m2，则围栏AD段的长为 　　 m． 5. 学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会　　 名同学． 6. 在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了　　 行． 7. 某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知AB＝42米，AD＝20米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺地毯防污的面积为456平方米， （1）求道路的宽是多少米？ （2）该美食节共有摊位50个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为10125元？ 1. 在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：AD＝8：9，那么m的值为（　　） A．10 B．16 C．18 D．20 2. 如图，若线段MN将边长为6、8、m的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则m＝　　 ． 3. 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，于是得到1+2+3+⋯+（n﹣2）+（n﹣1）+nn（n+1）． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是n（n+1）． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是55吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 一元二次方程的实际应用 一元二次方程实际应用关键步骤： 1.审题：明确题目中的数量关系，找出已知量和未知量； 2.设元：设合适的未知数（直接设元或间接设元）； 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程； 4.解方程：利用合适的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）求解； 5.检验：检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合题意的根； 6.作答：写出最终答案. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 增长率问题 1. 某商品原价200元，经过连续两次相同百分率的降价后，最终售价为162元，若设每次降价的百分率均为a，下列所列方程表示正确的是（　　） A．200（1+a）2＝162 B．200（1﹣a）2＝162 C．200（1﹣2a）＝162 D．200（1﹣a2）＝162 【答案】B 【解析】根据题意得：200（1﹣a）2＝162， 故选：B． 2. 某商店2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，那么该商店这两个月盈利的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【答案】B 【解析】设该商店这两个月盈利的月平均增长率为x， 根据题意，2000（1+x）2＝2880， 解得x120%，x2（舍去）， 答：该商店这两个月盈利的月平均增长率为20%． 故选：B． 题型二 面积问题 3. 如图，把一块长为30cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为400cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝400 B．（30﹣x）（20﹣x）＝400 C．（30﹣x）（20﹣2x）＝400 D．（30﹣2x）（200﹣x）＝400 【答案】A 【解析】根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝400．故选：A． 4. 如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（　　） A．5m B．（5）m C．（5+3）m D．（5+5）m 【答案】D 【解析】设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，根据题意可得π（x+5）2＝2πx2， 解得x＝5+5或x＝5﹣5（不合题意，舍去）， 故选：D． 5. 周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽AB为（　　）米． A．8 B． C．20 D．24 【答案】A 【解析】设养鸡场的长BC为x米，则养鸡场的宽AB为米， 由题意列一元二次方程得：， 整理得，x2﹣44x+480＝0， 解得x＝20或x＝24＞22（不符合题意，舍去）， 则养鸡场的宽AB为（米），故选：A． 题型三营销与利润问题 6. 小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打　9　 折出售． 【答案】9 【解析】设每件商品降价x元，则每件利润为（200﹣x﹣155）元，即（45﹣x）元；每天销售量为（20+2x）件．根据每天盈利1500元，得 （45﹣x）（20+2x）＝1500． 整理得：900+70x﹣2x2＝1500， 即﹣2x2+70x﹣600＝0， x2﹣35x+300＝0， （x﹣15）（x﹣20）＝0， 解得x＝15或x＝20． 为尽快减少库存，取x＝20，折扣率为折．故答案为：9． 7. 第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 【解析】设每件玩具应降价x元， 由题意，得（80+10x）（16﹣x）＝1440， 解得x1＝4，x2＝4， 答：每件玩具应降价4元． 题型四数字与行程问题 8. 已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系v＝﹣3t+60．而滑行距离，，其中v0是初始速度，vt是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，则此时飞机的滑行速度（　　）m/s． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【解析】∵v＝﹣3t+60， ∴v0＝60，vt＝﹣3t+60，﹣3t+60≥0， ∴， ∴， 当s＝450时，根据题意列一元二次方程得，， 整理得：t2﹣40t+300＝0， 解得：t1＝10，t2＝30（不服题意，舍去）， 此时v＝﹣3×10+60＝﹣30+60＝30， 即此时飞机的滑行速度30m/s．故选：C． 9. 某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中胜场数是一个两位数．且这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且胜场数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（　　） A．14 B．23 C．32 D．41 【答案】A 【解析】设该球队的胜场数的十位数字为x，则个位数字为5﹣x， 由题意得：10x+5﹣x＝（5﹣x）2﹣2， 整理得：x2﹣19x+18＝0， 解得：x1＝1，x2＝18（不符合题意，舍去）， ∴5﹣x＝4， 即该球队的胜场数为14， 故选：A． 题型四动态几何问题 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝5cm．点P从B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以2cm/s的速度向终点A运动．ts后，△PCQ的面积等于4，则t的值为（　　） A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 【答案】A 【解析】设运动时间为ts，由题意得0＜t≤4，BP＝tcm，CQ＝2tcm， ∴CP＝（5﹣t）cm，∵△PCQ的面积等于4， ∴，即， 解得t1＝1，t2＝4． 故选：A． 1. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【答案】A 【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 故选：A． 2. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 【答案】C 【解析】设每天“遗忘”的百分比为x， ， 解得x1x（不合题意，舍去）， ∵0.293， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故选：C． 3. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”聪明的你认为竿长为（　　） A．2尺 B．10尺 C．2尺或10尺 D．无法确定 【答案】B 【解析】设竿长为x尺， 由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2． 解这个方程，得x1＝2，x2＝10， 当x＝2时，x﹣2＝0，x﹣4＝﹣2（舍去） ∴x＝10． 故选：B． 4. 如图，小区工人用长为17m的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为9m），且为了方便出入，在AB段用其他材料做了一扇宽为1m的门．若种植园的面积为40m2，则围栏AD段的长为 　　 m． 【答案】5 【解析】根据题意，设AD＝xm，则AB＝（17﹣2x+1）m． 根据题意，得x（17﹣2x+1）＝40． 整理，得x2﹣9x+20＝0． 解得x1＝5，x2＝4． 当x＝5时，17﹣2x+1＝8＜9，符合题意； 当x＝4时，17﹣2x+1＝10＞9，不合题意，舍去． ∴围栏AD段的长为5m， 答：围栏AD段的长为5m， 故答案为：5． 5. 学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会　　 名同学． 【答案】6 【解析】设1人每次能手把手教会x名同学． 根据题意列一元一次方程得，1+x+（x+1）x＝49， 整理得，x2+2x﹣48＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 6. 在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了　　 行． 【答案】3 【解析】设增加了x行数，则增加了x列， 根据题意得：（3+x）（4+x）＝3×4+30． 解得：x1＝﹣10（不符合题意，舍去），x2＝3， 即增加了3行， 故答案为：3． 7. 某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知AB＝42米，AD＝20米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺地毯防污的面积为456平方米， （1）求道路的宽是多少米？ （2）该美食节共有摊位50个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为10125元？ 【解析】（1）根据道路的宽为x米， 根据题意得，（42﹣x）（20﹣2x）＝456， 整理得：x2﹣52x+192＝0， 解得：x1＝48（舍去），x2＝4， 答：道路的宽为4米； （2）设月租金上涨a元，月租金收入为10125元， ， ∴a1＝a2＝25， 答：每个车位月租金上涨25元时，停车场月租金收入为10125元． 1. 在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：AD＝8：9，那么m的值为（　　） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解析】由题意得可知，BC＝CDm，AB15， 设CD＝CB＝8y，则AD＝9y， ∴AC＝CD+AD＝17y， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2， 即（8y）2+152＝（17y）2， 整理得：y2＝1， 解得：y1＝1，y2＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴CD＝8y＝8， ∴m＝8， 解得：m＝16， 即m的值为16， 故选：B． 2. 如图，若线段MN将边长为6、8、m的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则m＝　　 ． 【答案】2或6 【解析】如图，延长NA、MB相交于点C， 则△MNC是直角三角形， 由题意得：（6+8+m）×8﹣m（8﹣m）（62+82+m2）， 整理得：m2﹣8m+12＝0， 解得：m1＝2，m2＝6， ∴m为2或6， 故答案为：2或6． 3. 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，于是得到1+2+3+⋯+（n﹣2）+（n﹣1）+nn（n+1）． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是n（n+1）． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是55吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【解析】（1）能，理由如下：令， 解得：n1＝10，n2＝﹣11（不符合题意，舍）， ∴n＝10； （2）前n行的点数总和为： ； （3）不能，理由如下：令n（n+1）＝120， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∵n为正整数， ∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是120． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $