精品解析：天津市和平区益中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025-2026学年天津市和平区益中学校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式加法运算，熟记特殊角的三角函数值、二次根式加法运算是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，再由二次根式加法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数一定是10次 B. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 C. 概率很小的事情不可能发生 D. 一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖100次就有1次中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义、必然事件等概念，解题的关键是准确理解这些概念的内涵，对每个选项进行分析判断． 根据概率的不确定性、必然事件的定义，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】解：A、－投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，但投掷20次时，正面朝上的次数是随机的，可能是10次，也可能不是10次，因为概率是对事件发生可能性大小的估计，不是确定的结果，所以该选项错误； B、一年有12个月份，13名同学中，至少有两人的出生月份相同，这是必然会发生的，所以13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，该选项正确； C、概率很小的事情不是不可能发生，而是发生的机会较小，例如买彩票中大奖的概率很小，但还是有可能发生的，所以该选项错误; D、抽奖活动中中奖概率为，表示每次抽奖中奖的可能性是，抽奖100次时，可能中奖1次，也可能中奖次数不是1次，因为每次抽奖的结果都是独立的，概率是对整体可能性的描述，不是确定的次数，所以该选项错误． 故选：B． 4. 已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，与三角形的高相关的计算． 由平行四边形的性质，可得，，由平行线分线段成比例，结合已知可得，设点到的距离为，点到的距离为，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴，， ∴． 故选：C． 6. 如图，在正十边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接， 则， 由圆周角定理得，， 故选：B． 7. 下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 先由表格中和时值相等，可知对称轴为，结合对称轴公式得出，再结合时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与轴的交点，从而得到答案． 【详解】解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴化简为． 根据表中的信息得，当时，，抛物线经过点 得：， ， ∴，， ∴ ∵， ∴二次函数开口向上 当时， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， ∵直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质得，进而由得到，再根据圆周角定理得，最后根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 11. 某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（ ） A. 图1 B. 图2 C. 图3 D. 图4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，尺规作图．根据作图痕迹，运用相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 图2中，由作图可知， ∴，， ∴， ∴， ∴为的平分线； 图3为过点O作，则射线不一定是的平分线； 图4中，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线． 故选：C． 12. 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，表示球与点M之间的水平距离，表示球到桌面的高度，在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为，“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到，则点A，B之间的距离是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的对称性质，二次函数的平移，是解题的关键． 由题意可得，抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； 【详解】解：， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的点为 ， 点A，B之间的距离为， 故选：A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】∵一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个白球， ∴从中任意摸出一个球恰好是白球的概率为： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意概率是所求情况数与总情况数之比． 14. 若二次函数有最大值8，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数是由二次函数向右平移3个单位长度得到的，则二次函数的最大值为8，设，，可证明，根据s的最大值可求出t的最小值． 【详解】解：由题意得，二次函数是由二次函数向右平移3个单位长度得到的， ∵二次函数有最大值8， ∴二次函数的最大值为8， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 15. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 16. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，作半径于，连接， 由垂径定理得，， ∵直径为， ∴， 在中，， 当水位上升到圆心以下时，水面宽为，则， 在中，， 此时水面上升的高度为； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为； 综上可得，水面上升的高度为或， 故答案为：或． 17. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点． ， ， ， ， ， 为等边三角形 ， 的最大值为， 故答案为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题 三、解答题：本题共6小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为____________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 ①. ②. 如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 19. 已知关于x的一元二次方程：． （1）当a为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 【答案】（1） （2），另一个根为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根与系数的关系，根的判别式； （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵，即 依题意， ∵方程总有两个不相等的实数根 ∴ 解得：； 【小问2详解】 解：设方程的两个根分别为，其中， ∵ ∴， ∴， 20. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出击球点的高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， 故击球点的高度为； 【小问2详解】 由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， 【小问3详解】 第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 21. 某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； （2）学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】（1）① 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②60； ③2； ④ （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； 【小问2详解】 解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 22. 已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】（1）7 （2）①，理由见解析；②；③ 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 23. 如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，动点在抛物线上，点的横坐标为，作于点E，轴交于点，连接交轴于点 （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）设的周长为，当最大时，求点的坐标； （3）连接，点在抛物线的对称轴上位于第一象限内，且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法直接求解即可； (2)易证为等腰直角三角形，则，再求出直线BC解析式，可得点P、F坐标，进而可求PF最大值，据此得解； (3)根据题意，分别求出t的最大值和最小值： ①当点与点重合时，点与点重合，此时t的值最大，以为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点，运用勾股定理即可求得答案， ②当点与点重合时，点与点重合，此时的值最小，连接，以为圆心，为半径作交抛物线对称轴于点，连接，设抛物线对称轴交轴于点，运用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式， ， ； 【小问2详解】 解：记延长线交轴于点，则， 对于， 当时，可得：， ，即， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为， 则有， 解得：， 直线解析式为， 由题意可得，则， ， 当时，为最大值， 此时， 此时； 【小问3详解】 解：①当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大， 如下图所示， 以为斜边在第一象限内作等腰直角，则， ， 以为圆心，为半径画圆，交抛物线对称轴轴上方部分于点， 则， 过作于点，连接， 对称轴为直线， ， ，， 在中，， 即， 解得负值舍去； ②当点与点重合时，点与点重合，此时的值最小， 如下图所示， 连接，以为圆心，为半径作交抛物线对称轴于点， ， 经过点， 连接，设抛物线对称轴交轴于点， 则，， ， ， 综上，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，圆的性质，圆周角定理，勾股定理等，通过作辅助圆，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解决问题，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年天津市和平区益中学校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列说法正确的是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数一定是10次 B. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 C. 概率很小的事情不可能发生 D. 一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖100次就有1次中奖 4. 已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正十边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 11. 某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（ ） A. 图1 B. 图2 C. 图3 D. 图4 12. 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，表示球与点M之间的水平距离，表示球到桌面的高度，在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为，“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到，则点A，B之间的距离是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是______． 14. 若二次函数有最大值8，则的最小值为__． 15. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 16. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______． 17. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____． 三、解答题：本题共6小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为____________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 19. 已知关于x的一元二次方程：． （1）当a为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 20. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出击球点的高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 21. 某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； （2）学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 22. 已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 23. 如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，动点在抛物线上，点的横坐标为，作于点E，轴交于点，连接交轴于点 （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）设的周长为，当最大时，求点的坐标； （3）连接，点在抛物线的对称轴上位于第一象限内，且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $