天津市南开中学2025-2026学年高二上学期质量监测（三）数学试卷

南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（三) 高二数学试卷 考试时间：120分钟 1卷（共60分） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试结束后，将答题卡交 回。 一、选择题（共60分，每题5分) 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+ag=a6+4，则S,=() A.9 B.18 C.27 D.36 2.若直线4x-4y+1=0与mx+2y+4=0互相垂直，则m=（) A.2 B.-4 C.4 D.1 3.圆C:x2+y2-2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4y-5=0的位囹关系为（) A.相交 B.外切 C.外离 D.内含 4。若双曲线2一卡-1的速轴长为反，则该双能续的篇近线方程为(） A.y=tv2x B.y= 2 C.y=+2x D.y=+2v2x 5.己知递增的等比数列{an}满足a6+ag=9，aa1=8,则{an}的公比g=（) A.6 B.3 C.2W2 D.2W5 6.过P(2,)的直线与圆(x-1)2+y2=25交于A,B两点，当弦AB长度最短时，直线AB 的方程是（) A.x+y-1=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0 7.如图，P是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，∠0P=60°， 则PF=（) A.8 B.4 C. D. 第1页共石页 8.若数列{b}满足+362+76++(2”-)b=2n,则b=（) A.32 B.10 c 9.已知等差数列{a}(6,}的前n项和分别为3工，且会=3n n+5则2=（) Tn A. 27 B. 3 C. 7-5 D.3 10.已知椭圆c:芳+y=1es0, 椭圆上一点到直线x~y=0距离的最大值为压 则该椭圆的离心率是() A B号 D.② 2 11.己知各项递增的等比数列{a}，等差数列{b,}其前n项和分别为Sn,Tn,满足 S2=T=6,S4=30,T,=20.将数列{an}与{b}中的项按从小到大依次排列构成一个新 数列{cn},则数列{cn}的前50项和Ho=（) A.2106 B.2196 C.2234 D.2550 2,已知双曲线C:三-为=1Q>0,6>0)的右焦点F与抛物线C2少=2px(2>0)的： 点重合，过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直且交于点A,FA的延长线与抛物线 C2的准线交于点B,=F8,△AOB的面积为V反，O为原点，双曲线C的方程为 () A. 421 8苦1 c.2-号=1 2 第之页共6页 -t Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 13.直线1：3x-4y-10=0被圆C:x2+y2-2x-4y-11=0所截得的弦长为 14.若抛物线yP=2px(p>0)的准线经过椭圆兰+上=1的左焦点，则p= 43 15.已知数列{an}满足a=1,a1=an+2n-1,则a0= 16.设等比数列{an}前n项和为Sn,若a24=72，a5=48,则S6=」 17.过点(N5,0)且与圆x2+y2=2(r>0)相切的两条宜线互相垂直，则r=_ 已知描图r兰+y-e>列与猫圆r子 18. x2 +2京=1相交于A、B、C、D四点， 且与T,和2的四个焦点在同一个圆上，则b2= 19.已知数列{bn}是递增的等差数列，且b2,b是函数f(x)=x2-5x+6的两个零点.设 数列 的前n项和为Tn,若不等式T,>m对任意正整数n恒成立，则m的取值 b2m·62+2 范围为 20.将闭区间[0，]均分为三段，去掉中间的区间段 余下的区间段长度之和为a: 再将余下的两个区问引 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区 间段长度之和为a2,以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区 间段.重复这一过程，记数列{an}表示第n次操作后余下的区间段长度之和.(1) 44= ;(i)若neN,都有n2an≤a,恒成立，则实数2的取值范围 是 (区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如[a,b]的区 间段长度为b-a) 第3页共6页 三、解答题（2122题，每题12分；23~24题，每题13分) 21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°， PD=AD=3AB=LPD⊥底面ABCD. (I)证明：PA⊥BD: (I)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值！ (III)求点C到平面PAB的距离. 22.设{an}是各项均为正数的等差数列，a=5,前n项和为Sn,{也n}是等比数列，=1， 且b22=24,b33=135. (I)求{an}和{}的通项公式： (Ⅱ)求数列 的前n项和为Tn; b (m）求4k.b1的值. Eai ak'akt 第4页共6页 23. 0*2 己知椭圆c: =>b>0)的离心率为三，，3分别为椭圆的左，右焦 2 点，点A是椭圆C上一动点，且△AFF面积最大值为3. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)已知直线x=my+3与椭圆C交于P,2两点. D若户2中点的横坐标为， 求m的值； ()已知点D(2,1),直线DP,D2与直线x=3分别交于点M,N,平面内是否存在一 点H,使得四边形DMN为平行四边形.若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明 理由. 第5页共6页 24.已知等差撇列{an}满足a+a6=16,45=3a2,记数列{an}的前n项和为Sn, (I)求数列{an}的通项公式及Sn: (Ⅱ)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列 的一阶“P拓展”.例如对于数列1,3，一阶“P拓展”得到数列1,3,3，二阶“P拓履” 得到数列1,3,3,9,3：依次构造，设n阶“P拓展得到数列l,,名k,xm3(m∈N), 设bn=log3(1为·xm3),则4=lg3(1×3×3)=2,b2=log3(1×3×3×9×3)=5. (i)数列{bn}的通项公式： (i)已知m为正整数，设cn= 第6页共6页